第2章初等模型

1、2022-3-20MCM1第二章、初等模型第二章、初等模型 对于一些较简单的问题，只需要应用初等数学对于一些较简单的问题，只需要应用初等数学或简单的微积分知识即可建模加以研究。而对于一或简单的微积分知识即可建模加以研究。而对于一些过于复杂的黑箱模型，如果目前还没有可能作深些过于复杂的黑箱模型，如果目前还没有可能作深入细致的研究，那么，应用初等方法对它先作一番入细致的研究，那么，应用初等方法对它先作一番粗略的分析研究也是十分有意义的。本章将结合实粗略的分析研究也是十分有意义的。本章将结合实例，介绍一些对问题作粗略研究的技巧与方法。例，介绍一些对问题作粗略研究的技巧与方法。2022-3-20MCM

2、2 某航空母舰派其护卫舰去搜寻一名被迫跳伞的飞行员，某航空母舰派其护卫舰去搜寻一名被迫跳伞的飞行员，护卫舰找到飞行员后，航母向护卫舰通报了航母当前的位护卫舰找到飞行员后，航母向护卫舰通报了航母当前的位置、航速与航向，并指令护卫舰尽快返回，问护卫舰应当置、航速与航向，并指令护卫舰尽快返回，问护卫舰应当怎样航行，才能在最短时间内与航母汇合。怎样航行，才能在最短时间内与航母汇合。 2.1 2.1 舰艇的会合舰艇的会合 为计算方便，我们为计算方便，我们假设海洋是一个平面，假设海洋是一个平面，建立平面直角坐标系如建立平面直角坐标系如图图 2 - 12 - 1 所 示 ， 航 母 在所 示 ， 航 母 在

3、A(0,b)A(0,b)处，护卫舰在处，护卫舰在B(0B(0，b)b)处，两者间的距离处，两者间的距离设为设为2b2b。图图2-12-12022-3-20MCM3 设航母沿与设航母沿与x x轴正向夹角为轴正向夹角为 的方向以速度的方向以速度v v1 1行驶行驶( (假设假设v v1 1为常数为常数) )，护卫，护卫 舰将沿与舰将沿与x x轴正向夹角为轴正向夹角为 的的方向以速度方向以速度v v2 2行驶行驶, , 并设汇合地点为并设汇合地点为P(x,y)P(x,y)。我们记。我们记 ( (设设v v2 2为常数，从而为常数，从而 亦为常数，后面会说明，令亦为常数，后面会说明，令v v2 2为为

4、常数是有理由的常数是有理由的) )。1221vava讨论讨论 根据题意，护卫舰和航母将在某段时间之后同根据题意，护卫舰和航母将在某段时间之后同时到达会合地点，护卫舰到达会合地点所行进的距离时到达会合地点，护卫舰到达会合地点所行进的距离应该为航母行进距离的应该为航母行进距离的 倍，即倍，即 ，将各点坐，将各点坐标带入得：标带入得：aBPa AP22222()() )xybaxyb2022-3-20MCM4此方程为会合地点的轨迹方程。此方程为会合地点的轨迹方程。故故 2222222(1)(1)2(1)(1)0axayabyab（2.12.1） 若若 ，即航母速度与护，即航母速度与护卫舰速度相等，则

5、卫舰速度相等，则(2.1)(2.1)式可式可化为化为 ，其解为，其解为y=0y=0。因。因此这种情况下会合地点必然在此这种情况下会合地点必然在线段线段ABAB的垂直平分线即的垂直平分线即x x轴上轴上( (见右面的图见右面的图2-2)2-2)，护卫舰只，护卫舰只需沿与需沿与x x轴正向成轴正向成 的方向以的方向以速度速度v v1 1行驶即可完成会合。行驶即可完成会合。1a 40by1图图2-22-22022-3-20MCM5若若 ，(2.1)(2.1)式可化为式可化为 即即令令 ，则上式可以简记为，则上式可以简记为1a 2222212()01axybyba22222222141(1)aa bx

6、ybaa22212,11aabhb raa222()xyhr（2.22.2） 此时会合地点的轨迹为一个以此时会合地点的轨迹为一个以(0,h)(0,h)为圆心、为圆心、r r为半径的圆。为半径的圆。 2022-3-20MCM6 显然，显然，h h的正负由的正负由a a的大小的大小来确定，但不论来确定，但不论h h是正是负，易是正是负，易见见|h|b|h|b且且|h|r|h|r，即圆心，即圆心(0,h)(0,h)位于位于ABAB所在直线所在直线( (即即y y轴轴) )上，但上，但不在线段不在线段ABAB上，整个圆上，整个圆(2.2)(2.2)位位于于x x轴上方轴上方( (若若a1)(a1)(见

7、图见图2-3)2-3)或或整个位于整个位于x x轴下方轴下方( (若若a1)a1a1，护卫舰的速度，护卫舰的速度v v2 2大于大于航母的速度航母的速度v v1 1 。2022-3-20MCM7由于由于 222222 (1)40,0(1)(1)drbadhabdaadaa 不难看出：不难看出：a a越大，越大，r r也越小；也越小；h h越小，越小，|AP|AP|也越小，也越小，故为了与航母尽早会合，护卫舰必以其最大可能的行驶故为了与航母尽早会合，护卫舰必以其最大可能的行驶速度行驶，这也说明，我们假设速度行驶，这也说明，我们假设v v2 2与与a a均为常数是合理均为常数是合理的。的。 假如假

8、如a1 a1a1，在获知航母的航向，在获知航母的航向和速度之后，根据护卫舰自身的和速度之后，根据护卫舰自身的最大速度，马上可以求出最大速度，马上可以求出a a。假设。假设按照航向按照航向 与航母会合的时间为与航母会合的时间为T T，则在时间则在时间T T内护卫舰行进的距离应内护卫舰行进的距离应为航母的为航母的a a倍。如图倍。如图2-42-4所示所示图图2-42-422022-3-20MCM10 ， ， ， ，由正弦定理由正弦定理马上可以确定出护卫舰的航向马上可以确定出护卫舰的航向1PAvT1PBavT12PAB22PBA1211sin()sin()22avTvT12cosarccos()a2

9、022-3-20MCM11 2.2 2.2 三村短路问题三村短路问题 有三个村庄，由于条件所限，打算合建一所小学，有三个村庄，由于条件所限，打算合建一所小学，并且共同修筑从小学到各村的道路。问应该将小学的并且共同修筑从小学到各村的道路。问应该将小学的地址选在什么地方，才能使修筑的道路总长度最短呢？地址选在什么地方，才能使修筑的道路总长度最短呢？这是一个著名的趣味数学问题，称为三村短路问题。这是一个著名的趣味数学问题，称为三村短路问题。 设三个村庄的位置分别为点设三个村庄的位置分别为点A A1 1，A A2 2，A A3 3，小学的位，小学的位置是点置是点P P，则三村短路问题可叙述为：，则三村

10、短路问题可叙述为：A A1 1，A A2 2，A A3 3为平为平面上三个不同的点面上三个不同的点P P，在平面上求一点，使得它到这三，在平面上求一点，使得它到这三个已知点的距离之和个已知点的距离之和S=|PAS=|PA1 1|+|PA|+|PA2 2|+|PA|+|PA3 3| |最小。最小。2022-3-20MCM12解法一：解法一：( (微分法微分法) )在平面上建立直角坐标系，设已知在平面上建立直角坐标系，设已知A Ai i坐标为坐标为(x(xi i,y,yi i)(i=1,2,3)(i=1,2,3)，所求点，所求点P P坐标为坐标为(x,y)(x,y)则则我们只需求二元函数我们只需求

11、二元函数S=f(x,y)S=f(x,y)的最小值点即可。的最小值点即可。222222112233()()()()()()Sx xy yx xy yx xy y解法二：解法二：( (几何方法几何方法) )如图如图2-52-5所示，所示，设设P P是是A A1 1A A2 2A A3 3内的任意点，将内的任意点，将A A1 1A A2 2P P绕绕A A2 2向外旋转向外旋转6060，到达，到达A A2 2PAPA3 3的位置。显然：的位置。显然：|PA|PA1 1|=|PA|=|PA3 3|，又因为，又因为A A2 2A A3 3是是由由 A A2 2A A1 1旋 转旋 转 6 06 0 而

12、来 ， 故而 来 ， 故|A|A2 2A A3 3|=|A|=|A1 1A A2 2| |，A A1 1A A2 2A A3 3为正为正三角形。三角形。 图图2-52-52022-3-20MCM13 同 理 ，同 理 ， P A 2 P P A 2 P 也 为 正 三 角 形 ， 故 可 知也 为 正 三 角 形 ， 故 可 知|PP|=|PA|PP|=|PA2 2| |。于是，即可得到。于是，即可得到 |PA|PA1 1|+|PA|+|PA2 2|+|PA|+|PA3 3|=|A|=|A3 3P|+|PP|+|PAP|+|PP|+|PA3 3| | 那么要使那么要使|PA|PA1 1|+|P

13、A|+|PA2 2|+|PA|+|PA3 3| |最短，只须使最短，只须使|A|A3 3P|+|PP|+|PAP|+|PP|+|PA3 3| |最短即可，而后者是折线最短即可，而后者是折线A A3 3PPAPPA3 3的长度，因为的长度，因为A A3 3、A A3 3都是定点，我们知道，都是定点，我们知道，两点之间的最短路径是连接它们的线段，故最短时的点两点之间的最短路径是连接它们的线段，故最短时的点P P和和 P P 必 在 线 段必 在 线 段 A A3 3A A3 3 上 。 此 时 可 得上 。 此 时 可 得AA2 2PAPA3 3=A=A2 2PAPA3 3=120=120，而，而

14、AA2 2PAPA3 3=A=A2 2PAPA1 1，故故 A A2 2P AP A1 1= 1 2 0= 1 2 0 ， 最 终 我 们 有， 最 终 我 们 有AA1 1PAPA2 2=A=A2 2PAPA3 3=A=A3 3PAPA1 1=120=120。三角形内满足此关系的。三角形内满足此关系的点点P P就是所求之点就是所求之点( (注：这样的点被称为斯坦纳点或费马注：这样的点被称为斯坦纳点或费马点，关于斯坦那点，后面我们还将作进一步的介绍点，关于斯坦那点，后面我们还将作进一步的介绍) )。 2022-3-20MCM14 由点由点P P的特征的特征AA1 1PAPA2 2=A=A2 2

15、PAPA3 3=A=A3 3PAPA1 1均为均为120120，我们知道，我们知道P P点就是三角形点就是三角形中的费马点中的费马点( (后面的章节将有详细后面的章节将有详细介绍介绍) )。费马点位置的确定方法数。费马点位置的确定方法数学上已经有很多了，我们介绍一学上已经有很多了，我们介绍一种较为简便的方法：分别以种较为简便的方法：分别以A A1 1A A2 2，A A1 1A A3 3为一边，向为一边，向A A1 1A A2 2A A3 3的外部作的外部作正三角形正三角形A A1 1A A2 2A A3 3 和和A A1 1A A2 2AA3 3( (如图如图2-62-6所示所示) )图图2

16、-62-6 连结连结A3A3A3A3、A2A2A2A2，设其交点为，设其交点为P P，则点，则点P P即为小学即为小学选址地点。选址地点。 2022-3-20MCM15 以上的讨论只适用于以上的讨论只适用于A A1 1A A2 2A A3 3的每个角均小于的每个角均小于120120的的情形，如果情形，如果A A1 1A A2 2A A3 3中有一个角大于或等于中有一个角大于或等于120120，则应该，则应该将小学的位置取在钝角的顶点上。将小学的位置取在钝角的顶点上。2022-3-20MCM16图图2-72-7 为什么线结会自动停在长度之和最小的为什么线结会自动停在长度之和最小的位置呢？位置呢？

17、设每个重物的质量为设每个重物的质量为m m。首先，由力学。首先，由力学原理，系统处于平衡位置时，三个重物原理，系统处于平衡位置时，三个重物的总势的总势E E能达到最小值。薄板所在位置能达到最小值。薄板所在位置的水平高度我们记为的水平高度我们记为0 0，由于三个重物，由于三个重物均在薄板的下方，故它们的高度均取负均在薄板的下方，故它们的高度均取负值，且高度的绝对值等于细线长度值，且高度的绝对值等于细线长度l l与与薄板上洞口和结点之间的距离之差，即薄板上洞口和结点之间的距离之差，即第第i i个重物的高度个重物的高度|0iihPAl 其势能为其势能为 (12 3)iiEmgh i ， ，2022-

18、3-20MCM17三个重物的总势能为三个重物的总势能为123123123(|)3EEEEmghmghmghPAPAPAmgl由于由于m, g, lm, g, l均为常量，故均为常量，故E E取到最小值当且仅当取到最小值当且仅当|321PAPAPAS因此，系统处于平衡位置时，结点所在位置即为我们要因此，系统处于平衡位置时，结点所在位置即为我们要寻找的点的位置。寻找的点的位置。2022-3-20MCM18另一方面，系统处于平衡位置时，另一方面，系统处于平衡位置时，P P点所受合力应为点所受合力应为0 0。假。假设结点的平衡位置设结点的平衡位置P P与与 均不重合，则点只受到来均不重合，则点只受到来

19、自三条线的拉力自三条线的拉力 , ,其大小相等，等于每个重物的其大小相等，等于每个重物的重量重量 ，其方向分别指向，其方向分别指向 三点。三个大小相等三点。三个大小相等的力，的力， , ,平衡的条件为：三个力在同一平面内且两平衡的条件为：三个力在同一平面内且两两夹角均等于两夹角均等于120120。也就是说：线段，。也就是说：线段， , ,两两的两两的夹角均为夹角均为120120。123,A A Amg123,F F F123,A A A123,FFF123,PA PA PA 若若 中有某个角大于或等于中有某个角大于或等于120120，则，则P P点在合力点在合力作用下将被拉到点作用下将被拉到点

20、 ， 点就是我们的选址地点。点就是我们的选址地点。123A A AiAiA2022-3-20MCM19三村短路问题其实是最简单的斯坦纳（三村短路问题其实是最简单的斯坦纳（SteinerSteiner）树问题，）树问题，原问题是：给定平面上的原问题是：给定平面上的n n个点，要求找出连接这个点，要求找出连接这n n个点的个点的最短网络。对于一般的最短网络。对于一般的SteinerSteiner树问题，由于计算量的原树问题，由于计算量的原因，求解极其困难（参见第六章中的计算复杂性），但因，求解极其困难（参见第六章中的计算复杂性），但n=3n=3时并不难解。最先研究时并不难解。最先研究Steiner

21、Steiner树的其实并非树的其实并非SteinerSteiner，而是大名鼎鼎的高斯（而是大名鼎鼎的高斯（GaussGauss）。高斯的一个儿子是铁路）。高斯的一个儿子是铁路工程师，他想知道建造铁路连接三个城市时应当怎样建才工程师，他想知道建造铁路连接三个城市时应当怎样建才能使总长度最短，就写信请教了自己的父亲，高斯在回信能使总长度最短，就写信请教了自己的父亲，高斯在回信时作了解答。大数学家费马也曾用本题考过自己的学生，时作了解答。大数学家费马也曾用本题考过自己的学生，要求学生给出连接三点的最短方法。只要你能想出办法，要求学生给出连接三点的最短方法。只要你能想出办法，其实证明并不太困难。其实

22、证明并不太困难。 2022-3-20MCM20费马的办法是这样的：作费马的办法是这样的：作 ，任取其中的一边，例，任取其中的一边，例如，取边如，取边 。以。以 为一边，在三角形的另一侧作一为一边，在三角形的另一侧作一个等边三角形个等边三角形 ，作此等边三角形的外接圆，连接，作此等边三角形的外接圆，连接 和和 ，设，设 与等边三角形的外接圆相交与与等边三角形的外接圆相交与S S，则，则S S点即点即为所求之点。为所求之点。S S点为什么就是所求之点，请读者自行分析点为什么就是所求之点，请读者自行分析并加以证明。并加以证明。123A A A23A A23A A23A A B1ABBA1读者还可以进

23、一步讨论一下问题：如果有四村或更多的读者还可以进一步讨论一下问题：如果有四村或更多的村庄要合建一所小学，那么小学的位置应如何选取，如村庄要合建一所小学，那么小学的位置应如何选取，如果村庄果村庄i i有学生数有学生数 ，那么，为了让学生走，那么，为了让学生走的总路程最少，学校又该建在何处。请读者考虑一下：的总路程最少，学校又该建在何处。请读者考虑一下：上面叙述的几种方法能否继续使用，如果能，怎么使用，上面叙述的几种方法能否继续使用，如果能，怎么使用，优缺点如何？（注：这一被推广的问题即著名的最优选优缺点如何？（注：这一被推广的问题即著名的最优选址问题，它有很强的实际背景）。址问题，它有很强的实际

24、背景）。），niKi.1( ,2022-3-20MCM21到过东北地区的同学可能会发现，那里的大部分建筑物到过东北地区的同学可能会发现，那里的大部分建筑物的窗户都是双层的，即窗户上装有两层玻璃且中间留有一的窗户都是双层的，即窗户上装有两层玻璃且中间留有一定的空隙。据当地居民说，安装双层玻璃窗户的房间与同定的空隙。据当地居民说，安装双层玻璃窗户的房间与同类型的只安装单层玻璃窗户的房间相比，保暖效果要强得类型的只安装单层玻璃窗户的房间相比，保暖效果要强得多。仅仅是多装了一层玻璃就会有这么强的保暖效果吗？多。仅仅是多装了一层玻璃就会有这么强的保暖效果吗？在本节中，我们将建立数学模型来描述热量通过窗户

25、的流在本节中，我们将建立数学模型来描述热量通过窗户的流失（传导）过程，并将双层玻璃与用同样多材料做成的单失（传导）过程，并将双层玻璃与用同样多材料做成的单层玻璃的热量流失（传导）作一对比，对双层玻璃窗能够层玻璃的热量流失（传导）作一对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出一定程度的定量分析。减少多少热量损失给出一定程度的定量分析。双层玻璃和单层玻璃的图形如图双层玻璃和单层玻璃的图形如图2-82-8所示：所示： 2.3 2.3 双层玻璃的功效双层玻璃的功效2022-3-20MCM22图图2-82-8 2022-3-20MCM23模型所需的符号见下表：模型所需的符号见下表：符号符号意义单位双层玻

26、璃厚度厘米室内温度摄氏度室外温度摄氏度双层玻璃内层玻璃外侧温度摄氏度双层玻璃外侧玻璃内侧温度摄氏度双层玻璃热量损失焦耳单层玻璃热量损失焦耳d1T2TaTbTQQ2022-3-20MCM24l1k2k双层玻璃内间隔距离厘米玻璃的热传导系数焦耳/厘米秒摄氏度空气的热传导系数焦耳/厘米秒摄氏度2022-3-20MCM25模型假设：模型假设：（1 1）热量的传播过程中只有传导没有对流，即假定房间）热量的传播过程中只有传导没有对流，即假定房间的密封性能很好。的密封性能很好。（2 2）热传导过程已处于稳定状态，室内温度）热传导过程已处于稳定状态，室内温度 和室外温和室外温度度 保持不变，即沿着热传导方向，

27、单位时间通过单位面保持不变，即沿着热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。积的热量是常数。（3 3）玻璃材料均匀，热传导系数是常数。）玻璃材料均匀，热传导系数是常数。在上述假设下，由热传导过程遵循的物理规律可知：单位在上述假设下，由热传导过程遵循的物理规律可知：单位时间内由温度较高的一侧向温度较低的一侧通过单位面积时间内由温度较高的一侧向温度较低的一侧通过单位面积的热量传导与两侧间的温差成正比，与厚度成反比，即的热量传导与两侧间的温差成正比，与厚度成反比，即1T2TdTkQ（k k与传导物质有关）与传导物质有关）此即牛顿热传导方程。此即牛顿热传导方程。2022-3-20MCM26于是双层

28、玻璃在单位时间里通过单位面积传导的热量（即于是双层玻璃在单位时间里通过单位面积传导的热量（即热量流失）为热量流失）为dTTklTTkdTTkQbbaa21211（2.42.4） 从此式中消去从此式中消去 可得：可得： baTT 、)2()(211sdTTkQ（2.52.5） 其中其中 dlhkkhs,212022-3-20MCM27对于厚度为对于厚度为2d2d 的单层玻璃，容易写出其单位时间单位面的单层玻璃，容易写出其单位时间单位面积的传导热量为积的传导热量为dTTkQ2211（2.62.6） 二者相比得二者相比得 22sQQ（2.72.7） 显然显然 。为了得到更具体的结果，我们需要。为了得

29、到更具体的结果，我们需要 和和 的的数据。从有关资料中查得，常用玻璃的热传导系数数据。从有关资料中查得，常用玻璃的热传导系数 ( (焦耳焦耳/ /厘米厘米秒秒摄氏度），不流通的干燥空气的热传导系摄氏度），不流通的干燥空气的热传导系数数 （焦耳（焦耳/ /厘米厘米秒秒摄氏度），于是摄氏度），于是QQ1k2k331108104k42105 . 2k321621kk2022-3-20MCM28在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多少热量损在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多少热量损失时，让我们来做一个最保守的估计，即取失时，让我们来做一个最保守的估计，即取1621kk代入代入(2.7)(2.7)式得式

30、得181hQQdlh 其中其中 （2.82.8） 比值反映出了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它与比值反映出了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它与h h有关，即只和有关，即只和l l与与d d的比值的比值 有关，图有关，图2-92-9给出了给出了 的曲线，显然的曲线，显然 但考虑到但考虑到h h的实际意义，的实际意义，h h不可不可能取无穷大，当能取无穷大，当h h由由0 0增加时，增加时， 迅速下降，而迅速下降，而h h当达到当达到一定数值（比如一定数值（比如h4h4）后）后 的下降明显变缓。由于两层的下降明显变缓。由于两层玻璃间的距离不宜过大，故玻璃间的距离不宜过大，故h h的选择应当

31、恰当。的选择应当恰当。 dlhQQ, 0)(limhfhQQQQ2022-3-20MCM290123456700.10.20.30.40.50.60.70.80.91hQ/Q图图2-92-9 2022-3-20MCM30此模型具有一定的应用价值。制作双层玻璃窗虽然工艺复此模型具有一定的应用价值。制作双层玻璃窗虽然工艺复杂会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的，杂会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的，在可利用自然资源日益减少的今天，通过减少热量损失而在可利用自然资源日益减少的今天，通过减少热量损失而减少自然资源的消耗也变的越发重要了。通常，建筑规范减少自然资源的消耗也变的越

32、发重要了。通常，建筑规范要求要求 。按照这个模型，。按照这个模型， ，即双层玻璃窗，即双层玻璃窗比用同样多的玻璃材料制成的单层玻璃窗可节约能量比用同样多的玻璃材料制成的单层玻璃窗可节约能量90%90%多达左右。不难发现，之所以有如此高的功效，主要是由多达左右。不难发现，之所以有如此高的功效，主要是由于层间空气有极低的热传导系数于层间空气有极低的热传导系数 ，而这要求空气是干，而这要求空气是干燥而又不流通的。作为模型假设的这个条件在实际环境中燥而又不流通的。作为模型假设的这个条件在实际环境中当然不可能完全满足，所以实际上装有双层玻璃的窗户的当然不可能完全满足，所以实际上装有双层玻璃的窗户的功效会

33、比上述结果稍差一些。功效会比上述结果稍差一些。4dlh2k3%Q Q 事实上，双层玻璃窗的功效不仅体现在节能方面，在科技事实上，双层玻璃窗的功效不仅体现在节能方面，在科技事业飞速发展的今天，城市交通、城市建设等带来的噪声事业飞速发展的今天，城市交通、城市建设等带来的噪声污染也变得日益严重，双层玻璃在减噪方面也起到不小的污染也变得日益严重，双层玻璃在减噪方面也起到不小的作用，有兴趣的同学也可建立数学模型来研究一下这一问作用，有兴趣的同学也可建立数学模型来研究一下这一问题。题。2022-3-20MCM31 2.4 2.4 崖高的估算崖高的估算假如你站在崖顶，身上只带了一只具有跑表功能的计算器，假如

34、你站在崖顶，身上只带了一只具有跑表功能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估你也许会出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计出山崖的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来计出山崖的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。推算山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。（方法一）（方法一）假定空气阻力不计，你可以直接利用自由落体假定空气阻力不计，你可以直接利用自由落体运动的公式运动的公式221gth 来计算。例如，设来计算。例如，设t=4t=4秒，秒，g=9.81g=9.81米米/ /秒秒2 2，则可求得，则可求得h78.5h78.5米

35、，中学生采用得就是这一方法。米，中学生采用得就是这一方法。2022-3-20MCM32（方法二）（方法二）假定你已学过微积分，你就可以做得更好些。假定你已学过微积分，你就可以做得更好些。除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当属空气阻力。除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当属空气阻力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系数为常数，因而，由牛顿第二定律可得：速度，阻力系数为常数，因而，由牛顿第二定律可得：KvmgdtdvmF上式上式 的与你手中的石块有关，而石块的下落时间却与你的与你手中的石块有关，而石块的下落时间却

36、与你捡的石块无关（除非你捡的石块形状太过特殊）。在等式捡的石块无关（除非你捡的石块形状太过特殊）。在等式两边同时除以石块的质量两边同时除以石块的质量m m，并令，并令 ，则有，则有KmKk kvgdtdv（注：由于这里的（注：由于这里的k k与石块无与石块无关，可查资料得到）关，可查资料得到） 2022-3-20MCM33这是一个一阶常系数线性微分方程，其解为这是一个一阶常系数线性微分方程，其解为kgcevkt代入初始条件代入初始条件 , ,得得 ，故有，故有0)0(vkgc ktekgkgv再积分一次，得到：再积分一次，得到：cekgtkghkt2（2.92.9） 查资料确定空气的阻力系数，

37、若设查资料确定空气的阻力系数，若设0.050.05，并仍设，并仍设4 4秒，则秒，则可求得可求得h73.6h73.6米。由于考察了空气阻力，这一结果应当米。由于考察了空气阻力，这一结果应当比方法一得到的结果更接近实际高度。比方法一得到的结果更接近实际高度。2022-3-20MCM34细心的读者一定会发现，还有一些问题需要考虑。细心的读者一定会发现，还有一些问题需要考虑。 问题问题1 1 方法一既然是不考虑空气阻力时得出的公式，那么方法一既然是不考虑空气阻力时得出的公式，那么在（在（2.92.9）中令）中令k=0k=0应当还原成自由落体公式。但（应当还原成自由落体公式。但（2.92.9）中中k

38、k在分母上，不能直接令在分母上，不能直接令k=0k=0，这一困难如何解决呢？办，这一困难如何解决呢？办法不难找到，你已有了极限概念，只要将法不难找到，你已有了极限概念，只要将 用泰勒公式用泰勒公式展开展开 ，代入（，代入（2.92.9）式，并）式，并令令 ，即可得出，即可得出困难就迎刃而解了。困难就迎刃而解了。kte2 22 21()2ktk tekto k t 0k201lim2khgt2022-3-20MCM35问题问题2 2 听到回声再按跑表，计算得到的时间中还包含了听到回声再按跑表，计算得到的时间中还包含了反应时间，反应时间虽然不长，但石块落地时的速度已变反应时间，反应时间虽然不长，但

39、石块落地时的速度已变得较大，对计算结果的影响仍然较大。如何解决这一问题得较大，对计算结果的影响仍然较大。如何解决这一问题呢？我们根本无法知道某次具体测量时的反应时间究竟有呢？我们根本无法知道某次具体测量时的反应时间究竟有多长，只好用平均反应时间来代替。例如，不妨设平均反多长，只好用平均反应时间来代替。例如，不妨设平均反应时间为应时间为0.10.1秒，假如你还不放心，可多测几次自己的反秒，假如你还不放心，可多测几次自己的反应时间，用测得时间的平均值作为你的反应时间。假如仍应时间，用测得时间的平均值作为你的反应时间。假如仍设设t=4t=4秒，反应时间为秒，反应时间为0.10.1秒，扣除反应时间后应

40、为秒，扣除反应时间后应为3.93.9秒，秒，代入公式（代入公式（2.92.9），求得），求得h69.9h69.9米。米。2022-3-20MCM36问题问题3 3 细心的读者一定已经想到，其实，石块下落的时细心的读者一定已经想到，其实，石块下落的时间还不是间还不是3.93.9秒，因为这秒，因为这3.93.9秒里还包括了声音传回来所需秒里还包括了声音传回来所需要的时间，即回声时间。为此，令石块下落的真正时间要的时间，即回声时间。为此，令石块下落的真正时间为为 ，声音传回来的时间为，声音传回来的时间为 ，还必须解一个方程组：，还必须解一个方程组：1t2t1122121()3403.9ktgghte

41、kkkhttt在这里，我们已假定声音速度为在这里，我们已假定声音速度为340340米米/ /秒。麻烦的是这一秒。麻烦的是这一方程组是非线性的，求解不太容易，为了估算山崖大约有方程组是非线性的，求解不太容易，为了估算山崖大约有多高竟要去解一个非线性主程组，似乎不合情理。多高竟要去解一个非线性主程组，似乎不合情理。 2022-3-20MCM37我们的一些学生想出了一个十分简便的方法，他们认为，我们的一些学生想出了一个十分简便的方法，他们认为，相对于石块速度，声音速度要快得多，可用方法二先求一相对于石块速度，声音速度要快得多，可用方法二先求一次次h h，令，令 ，校正，校正t t，求石块下落时间，求

42、石块下落时间 将代入（将代入（2.92.9）再算一次，即可得出崖高的近似值。例）再算一次，即可得出崖高的近似值。例如，若如，若h=69.9h=69.9米，则米，则 秒，故秒，故 秒，秒， 求得求得 米，显然，最后的结果应当最接近山崖米，显然，最后的结果应当最接近山崖的实际高度。这一做法虽不难想到，但这样做却非常聪明。的实际高度。这一做法虽不难想到，但这样做却非常聪明。至此，我们求得的高度与实际高度之差已只有几米，用跑至此，我们求得的高度与实际高度之差已只有几米，用跑表测量时间所造成的误差早已超过了计算中所产生的误差，表测量时间所造成的误差早已超过了计算中所产生的误差，事实上，在这种情况下，希望

43、把事实上，在这种情况下，希望把 求得更精确一点的任求得更精确一点的任何努力都是毫无意义的。何努力都是毫无意义的。2340ht 12ttt 62.3h 20.21t 13.69t 2t2022-3-20MCM38 2.5 2.5 经验模型经验模型当问题的机理非常不清楚难以直接利用其它知识来建模时，当问题的机理非常不清楚难以直接利用其它知识来建模时，一个常见的方法就是利用已有数据进行曲线拟合，找出变一个常见的方法就是利用已有数据进行曲线拟合，找出变量之间函数关系的近似表达式，我们称之为经验公式。通量之间函数关系的近似表达式，我们称之为经验公式。通过经验公式建立的模型称为经验模型。过经验公式建立的模

44、型称为经验模型。经验模型区别于其它类型模型的特点是它的建立不需要根经验模型区别于其它类型模型的特点是它的建立不需要根据问题机理去提出假设，它只是建模者对数据分析所做的据问题机理去提出假设，它只是建模者对数据分析所做的经验判断。建模者要首先对照数据特点根据自己的经验判经验判断。建模者要首先对照数据特点根据自己的经验判断该函数关系应当用哪类函数中的一个来近似表达，两者断该函数关系应当用哪类函数中的一个来近似表达，两者的偏差才不会太大。其后，只需在此类函数中找出在某种的偏差才不会太大。其后，只需在此类函数中找出在某种意义下偏差最小的一个即可。意义下偏差最小的一个即可。2022-3-20MCM39建立

45、经验模型的一般步骤为：建立经验模型的一般步骤为：(1)(1)将数据画在某坐标系中，观察这些点的分布，根据经将数据画在某坐标系中，观察这些点的分布，根据经验判定哪类函数作为近似表达式较为合适验判定哪类函数作为近似表达式较为合适(2)(2)然后确定函数中的参数，使经验公式与数据的相符性然后确定函数中的参数，使经验公式与数据的相符性在某种意义下最好在某种意义下最好(3)(3)最后，对公式做试用检验，考察其造成的误差是否在最后，对公式做试用检验，考察其造成的误差是否在可接受的范围内，若不能接受，则需要修正经验公式，可接受的范围内，若不能接受，则需要修正经验公式，重新建模。重新建模。建立经验公式较为常用

46、的方法有最小二乘法和插值方法。建立经验公式较为常用的方法有最小二乘法和插值方法。2022-3-20MCM40( (最小二乘法）最小二乘法）假设经过测量得到的假设经过测量得到的n n组数据列表如下：组数据列表如下：ixiy0123456727.026.826.526.326.125.725.324.8将这些数据画在平面直角坐标系中，见散点图将这些数据画在平面直角坐标系中，见散点图2-102-10。从图。从图上可看出，这些点的分布大致在一条直线附近，于是我们上可看出，这些点的分布大致在一条直线附近，于是我们根据经验判断根据经验判断 是线性函数，并设是线性函数，并设 ，其中、，其中、 为待定常数。为

47、待定常数。)(xfy baxxf)(, a b2022-3-20MCM41012345672424.52525.52626.52727.5图图2-102-102022-3-20MCM42常数常数a,ba,b如何选定呢？我们当然希望如何选定呢？我们当然希望 经过所有的经过所有的数据点，即对于每个数据点，即对于每个 ，能有，能有 ，但此式一，但此式一般是不成立的般是不成立的 baxyix0)(baxyii我们只能要求我们只能要求 与与 的偏差的偏差 , ,都都很小。那么所有偏差之和很小。那么所有偏差之和 最小能否保证每个最小能否保证每个偏差都很小呢？显然不行，因为偏差有正有负，求和时有偏差都很小呢

48、？显然不行，因为偏差有正有负，求和时有可能会互相抵消从而将偏差掩盖起来。若要求偏差的绝对可能会互相抵消从而将偏差掩盖起来。若要求偏差的绝对值之和值之和 很小的话，虽然可以避免这种相互很小的话，虽然可以避免这种相互抵消，但函数不具备连续的导函数，不利于进一步的讨论。抵消，但函数不具备连续的导函数，不利于进一步的讨论。为避免上述两种情况的产生，我们一般都采用以误差的平为避免上述两种情况的产生，我们一般都采用以误差的平方和方和 达到最小的方法来保证总体偏差较小。达到最小的方法来保证总体偏差较小。这种选择参数这种选择参数a a、b b的方法叫做最小二乘法。的方法叫做最小二乘法。iybaxi(),(1,

49、2, )iiyaxbinniiibaxy1niiibaxy1niiibaxy122022-3-20MCM43niiibaxy12 是一个二元函数，由多元微积分知识，为是一个二元函数，由多元微积分知识，为使它取到最小，只需令其对变量、的一阶偏导数均为零，使它取到最小，只需令其对变量、的一阶偏导数均为零，解相应的二元一次方程组即可，据此，不难求得：解相应的二元一次方程组即可，据此，不难求得：xaybxxyyxxaniiniii121其中其中 niixnx11niiyny112022-3-20MCM44例例2.12.1（刀具的更换）（刀具的更换）用自动化机床连续加工某零件，由于刀具损坏等原因会生用自

50、动化机床连续加工某零件，由于刀具损坏等原因会生产出次品，但实际情况是，当发现刀具已坏时，利用这把产出次品，但实际情况是，当发现刀具已坏时，利用这把坏刀具也许已经生产了若干个次品。如果我们能在平时生坏刀具也许已经生产了若干个次品。如果我们能在平时生产中留意一下，掌握刀具磨损的规律，在其坏掉之前就将产中留意一下，掌握刀具磨损的规律，在其坏掉之前就将它更换下来，也许可以减少因出次品而造成的损失。为此，它更换下来，也许可以减少因出次品而造成的损失。为此，我们做了这样一个实验，每隔一小时，测量一次刀具的厚我们做了这样一个实验，每隔一小时，测量一次刀具的厚度，得到后面表格中的数据，其中度，得到后面表格中的

51、数据，其中：刀具使用时间（单位：小时）：刀具使用时间（单位：小时）：刀具厚度（单位：毫米）。：刀具厚度（单位：毫米）。 ixiy2022-3-20MCM45经拟合，我们可得经验公式为经拟合，我们可得经验公式为 ，其图形见图其图形见图2-112-11。假如我们发现在刀具的厚度为。假如我们发现在刀具的厚度为10mm10mm时损时损坏的概率极大，那么我们只需令坏的概率极大，那么我们只需令 ，得得 ，即当刀具使用了近，即当刀具使用了近5656个小时之后，刀具的个小时之后，刀具的厚度将变为厚度将变为10mm10mm。因此我们可以考虑使用刀具。因此我们可以考虑使用刀具5555或或5656个小个小时后更新刀

52、具（注：这里我们没有考虑更换刀具的费用。时后更新刀具（注：这里我们没有考虑更换刀具的费用。如果刀具较为昂贵，还应求解一个优化问题），已确定怎如果刀具较为昂贵，还应求解一个优化问题），已确定怎样做可以使总费用最省。样做可以使总费用最省。125.273036. 0)(xxfy10)(xf964.55x2022-3-20MCM46图图2-112-1101234567824.52525.52626.52727.52022-3-20MCM47例例2.22.2（地高辛的使用）（地高辛的使用）地高辛是用来治疗心脏病的一种药物。医生在开处方时必地高辛是用来治疗心脏病的一种药物。医生在开处方时必须写明用药量，要

53、便保持血液中地高辛的浓度，使之既高须写明用药量，要便保持血液中地高辛的浓度，使之既高于有效水平以保持药效，又不至于超过安全用药水平而导于有效水平以保持药效，又不至于超过安全用药水平而导致危险，为此，医生必须研究地高辛在血液中的衰减率。致危险，为此，医生必须研究地高辛在血液中的衰减率。假定地高辛在血液中的初始剂量为假定地高辛在血液中的初始剂量为0.5mg0.5mg（毫克），经过（毫克），经过检测得到下表的数据如下：检测得到下表的数据如下： 表表2.32.3 xy0123456780.5000.3450.2380.1640.1130.0780.0540.0370.026xy2022-3-20MCM

54、48其中其中x x表示使用初始剂量之后的天数，而则表示某特定病表示使用初始剂量之后的天数，而则表示某特定病人血液中剩余的地高辛含量。根据表中的数据，我们想建人血液中剩余的地高辛含量。根据表中的数据，我们想建立立y y与之与之x x间的关系。间的关系。将上述数据点画在将上述数据点画在x-yx-y平面上，（如图平面上，（如图2-122-12所示）显然这所示）显然这些点并不在任何一条直线的附近，不能使用我们前述的最些点并不在任何一条直线的附近，不能使用我们前述的最小二乘法，但根据经验，这些数据好像在一条指数函数图小二乘法，但根据经验，这些数据好像在一条指数函数图形的附近，因此我们考虑是否用指数函数来

55、拟合形的附近，因此我们考虑是否用指数函数来拟合y y与与x x之间之间的关系的关系 对对y y取对数得取对数得 对照表：对照表： lnxy表表2.42.4 xyln012345678-0.693-1.064-1.435-1.808-2.180-2.551-2.919-3.297-3.6502022-3-20MCM49图图2-122-12 01234567800.050.10.150.20.250.30.350.40.450.52022-3-20MCM50再将数据画在再将数据画在x xy y平面上，如图平面上，如图2-132-13所示，这次你就会发所示，这次你就会发现这些点几乎就分布在一条直线的

56、附近了，令这条直线的现这些点几乎就分布在一条直线的附近了，令这条直线的方程为方程为 ，并用最小二乘法求得，并用最小二乘法求得 故可令故可令 , ,即即 ，此即我们希望，此即我们希望得到的关系式。此方程图形与原散点图的对照图可见图得到的关系式。此方程图形与原散点图的对照图可见图2-2-1414。若地高辛的有效水平为。若地高辛的有效水平为0.0055mg,0.0055mg,令令0.00550.0055得得12.1612.16。因此我们考虑服药因此我们考虑服药1212天之后补充药物。天之后补充药物。baxyln371. 0a693. 0b693. 0371. 0lnxyxey371. 05 . 02

57、022-3-20MCM51图图2-132-13 012345678-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.501234567800.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5图图2-142-14 2022-3-20MCM52最小二乘法的使用需要对各种常用函数的图形有大致的了最小二乘法的使用需要对各种常用函数的图形有大致的了解，也需要一定的技巧，如例解，也需要一定的技巧，如例2.22.2中对中对y y取对数后取对数后x x与与 构构成线性关系。有时，需要对成线性关系。有时，需要对x x、y y均取对数值得到新的数均取对数值得到新的数据据 ；观察新的数据点是否满足线性

58、关系，若满；观察新的数据点是否满足线性关系，若满足用最小二乘拟合为足用最小二乘拟合为 ，即，即 来拟合，来拟合，此时此时y y是是x x的幂函数。有时也需要对、之一取倒数值或二者的幂函数。有时也需要对、之一取倒数值或二者均取倒数值得到新的数据均取倒数值得到新的数据ln y)ln,(lnyxxbaylnlnbaxey1(, )yx1( ,)xy1 1( ,)x y观察新的数据点是否近似满足线性关系，假如基本满足再观察新的数据点是否近似满足线性关系，假如基本满足再用线性函数拟合。用线性函数拟合。 2022-3-20MCM53比如，若比如，若 满足线性关系满足线性关系 ，则原先的变量，则原先的变量x

59、 x、y y满足双曲函数满足双曲函数 1 1( ,)x y11ayxxyaxb如果的数据点如果的数据点 明显地分布在一条抛物线附近，我们还明显地分布在一条抛物线附近，我们还可以用去拟合曲线，采用最小二乘法，我们类似可以导出可以用去拟合曲线，采用最小二乘法，我们类似可以导出求参数求参数a a 、 b b、c c的公式，但公式较为复杂，好在现在许多的公式，但公式较为复杂，好在现在许多数学软件中均有专用的最小二乘拟合命令，利用这些命令，数学软件中均有专用的最小二乘拟合命令，利用这些命令，几乎可以拟合所有类型的函数，我们所做的只是输入数据几乎可以拟合所有类型的函数，我们所做的只是输入数据点和想要的拟合

60、函数类型表达式，马上就可以得到结果，点和想要的拟合函数类型表达式，马上就可以得到结果，这给我们带来了很大的便利。这给我们带来了很大的便利。),(yx2022-3-20MCM54（插值法）（插值法）在使用最小二乘法时，我们并未要求得到的拟合曲线一定在使用最小二乘法时，我们并未要求得到的拟合曲线一定要经过所有的样本点，而只是要求总偏差最小。然而，当要经过所有的样本点，而只是要求总偏差最小。然而，当实际问题（如某地区人口统计）要求拟合曲线必须经过样实际问题（如某地区人口统计）要求拟合曲线必须经过样本点时，我们则一般选取多项式函数让其通过这些点，但本点时，我们则一般选取多项式函数让其通过这些点，但在样