第2章b随机变量的函数的分布

1、问题：已知二维随机变量 (X, Y) 的分布，如何求出 Z=g (X, Y)的分布？为某种目的将试验数据“加工”而得的量统计量(1) 设(X1, X2, , Xn) 是n维离散随机变量， 则 Z = g(X1, , Xn) 是一维离散随机变量.(2) 多维离散随机变量函数的分布是容易求的： i) 对(X1, X2, , Xn)的各种可能取值对， 写出 Z 相应的取值. ii) 对Z的 相同的取值，合并其对应的概率.oP77o例4.1o例4.2o例4.3定理3.3.1 设连续随机变量X与Y 独立， 则 Z=X+ Y 的密度函数为( )( )()d =()( )dZXYXYpzpx pzxxpzy

2、 pyy设离散随机变量 X 与 Y 独立，则 Z=X+ Y 的分布列为11)() () () ()( = liliiljjjP Xx P YzxP XzyP YyP Zz X与Y 是独立同分布的标准正态变 量，求 Z = X+ Y 的分布.( )( )()dZXYpzpx pzxx解：2211()expexp2222dxzxx21exp2222z所以 Z = X+ Y N(0, 2).进一步的结论见后若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布，则称此类分布具有可加性.若 X b(n1, p)，Y b(n2, p)，注意：若 Xi b(1, p)，且独立，则 Z = X1 + X2 + +

3、Xn b(n, p).且独立，则 Z = X+ Y b(n1+n2, p).若 X P(1) ，Y P(2)，注意： X Y 不服从泊松分布.且独立，则 Z = X+ Y P(1+2).若 X N( )，Y N( ) ，注意： X Y 不服从 N( ).211, 222, 且独立，则 Z = X Y N( ).221212, 221212, X Y N( ).221212, 独立正态变量的线性组合仍为正态变量. (见下)Xi N(i, i2), i =1, 2, . n. 且 Xi 间相互独立, 实数 a1, a2, ., an 不全为零, 则22111 , iiinniiiniiiaaa X

4、N若 X Ga(1, )，Y Ga(2, ) ，注意： X Y 不服从 Ga(12, ).且独立，则 Z = X + Y Ga(1+2, ).若 X 2( n1 )，Y 2( n2 ) ，注意： (1) X Y 不服从 2 分布.且独立，则 Z = X + Y 2( n1+n2). (2) 若 Xi N(0, 1)，且独立，则 Z = 2( n ).21niiX (1) 独立的0-1分布随机变量之和服从二项分布. (2) 独立的指数分布随机变量之和服从伽玛分布. 设 X 与 Y 独立，XU(0, 1), YExp(1). 试求 Z = X+Y 的密度函数.解:11, 01( )0, xXp x

5、其 它2, 0( ) 0,0yeyYpyy12( )( )()dZpzp x p zxx被积函数的非零区域为：0 x0用卷积公式：(见下图)xz1z = x因此有(1) z 0 时pZ(z) = 0 ;(2) 0 z 1 时()0d1zz xzexe pZ(z) =(3) 1 z 时pZ(z) =1()0d(1)z xzexee1已知 (X, Y) 的分布， (X, Y) 的函数 求 (U, V) 的分布.12(, )(, )Ug X YVgX Y有连续偏导、存在反函数则 (U, V) 的联合密度为若12( , )( , )ug x yvgx y( , )( , )xx u vyy u v(

6、, )( ( , ), ( , )|UVXYpu vpx u vy u vJ其中J为变换的雅可比行列式：1( , )( , )( , )( , )x yu vJu vx y可增补一个变量V = g2(X, Y) ，若要求 U = g1(X, Y) 的密度 pU(u) ，先用变量变换法求出 (U, V)的联合密度pUV(u, v)，用此方法可以求出卷积公式、积的公式、商的公式然后再由联合密度pUV(u, v)，去求出边际密度pU(u)202.8.4 两个随机变量的函数的分布 (, )( , ),X Yf x y设的概率密度为 ZXY的分布 ()( )( )()XYXYXYXYZXYfffzy f

7、y dyfx fzx dx卷积公式：将 和 相互独卷积立时，的密度函数公式称为公式即 ZXY则的分布函数为：( )()( , )( , )z yZx y zFzP Zzf x y dxdyf x y dx dy (, )zf uy y du dy(, )( )zzZf uy y dy dufu du( )(, )ZZfzf zy y dy故 的概率密度为：,( )( )( ,)ZZX Yfzfzf x zx dx由的对称性，又可写成, z yxuy固定令？21例1：设X和Y是相互独立的标准正态随机变量，求 的概率密度。 ZXY( )( )()ZXYfzfx fzx dx221122(,),(,

8、)XNYN 221212 (,)ZXYN 则22221212(,)aXbYcN abc ab22()2212z xxeedx22()4212zzxeedx222412zt xztee dt 2412ze2412ze 0,2ZN即解：由卷积公式：一般：设X,Y相互独立，22 例2：X,Y相互独立，同时服从0,1上的均匀分布，求 的概率密度。 ZXY( )( )()ZXYfzfx fzx dxxx=zz120 x=z-1 1011 01( )2 12 0 zZzdxzzfzdxzz其他0101 011xxzxzxz 即 时上述积分的被积函数不等于零 解：根据卷积公式：易知仅当参考图得：23 例3：

9、设X,Y相互独立、服从相同的指数分布，概率密度为： 求 的概率密度。1 0( )0 0 xexf xx ZXY( )( )()ZXYfzfx fzx dx(2,)这 是 参 数 为的分 布 (Gamma)的 密 度 函 数0( )0Zzfz当时，000zxzx当时，仅当、时，上述积分的被积函数不等于零22010( )xz xzzZzzfzeedxe于是当时，2 0 ( )0 0zZzezfzz即 解：根据卷积公式：2422121 0( )()0 0yYyeyfyy20,011111 0( )()0 0 xXyexfxx10,0一般的，可以证明一般的，可以证明：若X,Y相互独立，且分别服从参数为

10、X,Y的概率密度分别为证明：这是例3的推广，由卷积公式12(,),(,) 的 分布12,ZXY则服从参数为的 分布( )( )()ZXYfzfx fzx dx0( )0Zzfz当时，1212121(1,), ()ZA且常数由此可知：121211012()0( )() ()xz xzZxzxzfzedx 当时，121211012()() ()zzexzxdx12211211 11012(1)() ()zx z tzettdt121zAze25 ,( )( ),( ),)maxYminXX YFxFyMFzFzN 设是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为和现在来求的分布函数和。( )()(

11、,)() ()maxMFzP MzP Xz YzP Xz P Yz 的分布函数为： ( )( )( )maxXYFzFz Fz即()(,)P NzP Xz Yz因为( )()1()1(,)1() ()minFzP NzP NzP Xz YzP Xz P Yz ( )1 (1( )(1( )minXYFzFzFz 即N所以的分布函数为：,Mmax X YNmin X Y的分布26 推广推广到n个相互独立的随机变量的情况 设X1,X2,Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为： 则：( ) 1,2,iXiFxin 11iimaxmini ni nMmax XNmin XFzFz 及 的分

12、布函数和为:1212( )( )( )( )( )1 1( )1( )1( )nnmaxXXXminXXXFzFz FzFzFzFzFzFz ( )( ( )( )1 1( )nmaxnminFzF zFzF z 12,( )nXXXF x特别，当相互独立且具有相同分布函数时，27例4:设X与Y的联合分布律为： 1210.20.120.30.4XY,max(, ),)UXY VX YU V令，求(的联合分布率。1220.20300.4400.4UV解：28 例5：设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联结而成，联结的方式分别为：(1)串联；(2)并联；(3)备用(当系统L1损坏时，系统L2开

13、始工作)。如图，设L1,L2的寿命分别为X,Y，已知它们的概率密度分别为：试分别就以上三种联结方式写出L的寿命Z的概率密度。 0( )0 0 xXexfxx0,0，且 0( )0 0 xYeyfyyXYL1L2XYL2L1XYL2L129A.A.串联的情况串联的情况 由于当L1,L2中由一个损坏时，系统L就停止工作，所以L的寿命为Z=min(X,Y)Z=min(X,Y)； 而X,Y的分布函数分别为：故Z的分布函数为：于是Z的概率密度为：()min1 0( )0 0zezFzz 1 0( )0 0 xXexFxx 1 0( )0 0yYeyFyy 即Z仍服从指数分布L1L2()min() 0( )0 0zezfzz30B.B. 并联的情况并联的情况 由于当且仅当L1,L2都损坏时，系统L才停止工作，所以这时L的寿命为Z=max(X,Y)，Z的分布函数为：于是Z的概率密度为：max( )( )( )XYFzFz F