第2章 拉伸压缩、剪切

1、拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)1/138Chapter 2. Tension, Compression & ShearMechanics of Materials 材材 料料 力力 学学拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)2/138助教助教 李雅利：李雅利出版楼出版楼402拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)3/138 2-1 轴向拉压的概念及实例轴向拉压的概

2、念及实例第二章第二章 拉伸、压缩与剪切拉伸、压缩与剪切Chapter 2. Tension, Compression & Shear 2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力2-3 轴向拉伸或压缩时斜截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩时斜截面上的内力和应力2-4 材料在拉伸时的力学性能材料在拉伸时的力学性能2-5 材料在压缩时的力学性能材料在压缩时的力学性能拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)4/1382-7 失效、安全系数与拉压强度条件失效、安全系数与拉压强度条件2-8 拉压杆的变

3、形拉压杆的变形2-10 拉压杆超静定问题拉压杆超静定问题 2-13 剪切与挤压的实用计算剪切与挤压的实用计算2-11 温度应力与装配应力温度应力与装配应力2-12 应力集中的概念应力集中的概念2-9 拉压杆的应变能拉压杆的应变能拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)5/138钢压杆钢压杆2-1 轴向拉压的概念及实例轴向拉压的概念及实例Concepts and example problems of axial tension & compression一、工程实例一、工程实例（ Engineering examples)

4、拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)6/138三、变形特点：三、变形特点： 沿轴向伸长或缩短沿轴向伸长或缩短二、受力特点：二、受力特点： 外力的合力作用线与杆的轴线重合外力的合力作用线与杆的轴线重合四、受力简图四、受力简图轴向压缩，对应的力称为压力。轴向压缩，对应的力称为压力。轴向拉伸，对应的力称为拉力。轴向拉伸，对应的力称为拉力。FFFF拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)7/138mmFF横截面上的内力横截面上的内力设一等直杆在两端轴向拉力设一等直杆在两端轴向

5、拉力 F 的作用下处于平衡，欲求杆的作用下处于平衡，欲求杆件件 横截面横截面 mm 上的内力上的内力.22 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)8/138在求内力的截面在求内力的截面m-m处，处，假想地将杆截为两部分假想地将杆截为两部分. .取左部分部分作为研究对取左部分部分作为研究对象。弃去部分对研究对象象。弃去部分对研究对象的作用以截开面上的内力的作用以截开面上的内力代替，合力为代替，合力为FN .mmFFN1 1、截面法、截面法（Method of

6、section)截开截开mmFF代替代替拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)9/138对研究对象列平衡方程对研究对象列平衡方程FN = F式中：式中：FN 为杆件任一横截为杆件任一横截面面 mm上的内力上的内力. .与与杆的轴杆的轴线重合，即垂直于横截面线重合，即垂直于横截面并通过其形心并通过其形心. .称为称为轴力轴力(axial force).平衡平衡mmFFmmFFN拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)10/138FN若取若取 右侧为研究对象，右侧为研究对象

7、，则在截开面上的轴力与则在截开面上的轴力与部分左侧上的轴力数值部分左侧上的轴力数值相等而指向相反相等而指向相反.mmFFmmFFNmFm拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)11/1382 2、轴力符号的规定、轴力符号的规定 (Sign convention for axial force)mFFmmFFN（1）若轴力的指向背离截面，）若轴力的指向背离截面，则规定为则规定为正正的的，称为称为拉力拉力.（2）若轴力的指向指向截面，）若轴力的指向指向截面，则规定为则规定为负负的的，称为称为压力压力.mmFFm11/138mFmFN拉压

8、、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)12/1383.3.轴力的表示：轴力图轴力的表示：轴力图（Axial force diagram)用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与横截的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与横截面位置关系的图线，称为面位置关系的图线，称为 轴力图轴力图. .将将正正的轴力画在的轴力画在x x轴上侧轴上侧，负负的画在的画在x x轴下侧轴下侧. .xFNOFN (x) 的图象表示的图象表示反

9、映出轴力与截面位置变化关系，直观。反映出轴力与截面位置变化关系，直观。确定出最大轴力的数值及其所在横截面确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。算提供依据。拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)13/138例题例题 1一等直杆其受力情况如图所示，一等直杆其受力情况如图所示， 作杆的轴力图作杆的轴力图.CABD600300500400E40kN55kN 25kN20kN拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression,

10、 Shear)14/138CABD600300500400E40kN55kN 25kN20kNCABDE40kN55kN 25kN20kNR解解: 求支座反力求支座反力kN10100 020202525555540400 0 RRFx拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)15/138求求AB段内的轴力段内的轴力RFN1CABDE40kN55kN 25kN20kNR10 01 1 RFN)()(RF kNN10101 1)()kN(10R拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, She

11、ar)16/138 R40kNFN220kNCABDE40kN55kN 25kNR20 040402 2 RFN)()(RF kNN505040402 2拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)17/138FN320kN25kNCABDE40kN55kN 25kN20kNR30 0202025253 3 NF)()kN(N 5 53 3F拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)18/13820kNFN440kN55kN 25kN20kNR4)()(F kNN20204 4

12、拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)19/138FN1=10kN （拉力）（拉力）FN2=50kN （拉力）（拉力） FN3= - 5kN （压力）（压力）FN4=20kN （拉力）（拉力）5010520+CABD600300500400E40kN55kN 25kN20kN 发生在发生在BC段内任一横截面上段内任一横截面上Nmax50(kN)FxFNO拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)20/138FF=20kNAB1. A、B段截面的轴力大小？段截面的轴力大小？

13、2. 如果发生断裂，如果发生断裂，A、B段谁先断裂？段谁先断裂？拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)21/138+xFNO相同的轴力，不同的抵抗破坏的能力强度相同的轴力，不同的抵抗破坏的能力强度杆件的强度，不仅与轴力相关，与横截面积也有关！杆件的强度，不仅与轴力相关，与横截面积也有关！拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)22/138横截面上的应力横截面上的应力FFN=20kNFFN=20kNBA拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Com

14、pression, Shear)23/138内力的分布内力的分布（Distribution of internal force)F FN 均匀分布均匀分布(uniform distribution)纵向纤维伸缩量相等纵向纤维伸缩量相等材料均匀材料均匀纵向纤维受力相同纵向纤维受力相同横截面上的横截面上的正应力正应力轴力引起的正应力轴力引起的正应力 在横截面上均布在横截面上均布拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)24/138式中，式中， FN 为轴力，为轴力，A 为杆的横截面面积为杆的横截面面积, 的符号与轴力的符号与轴力FN 的符

15、号相同的符号相同.当轴力为正号时当轴力为正号时（拉伸）（拉伸），正应力也正应力也为为正正号，号， 称为称为拉拉应力应力 ;当轴力为负号时当轴力为负号时（压缩）（压缩），正应力也正应力也为为负负号，号， 称为称为压压应力应力 .正应力公式正应力公式（Formula for normal stress )AFN 拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)25/138轴力引起的正应力轴力引起的正应力 在横截面上均匀分布，在横截面上均匀分布，确实如此吗确实如此吗？拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compress

16、ion, Shear)26/138Saint-Venants Principle(圣维南原理圣维南原理) 直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定的距离。（等截面直杆） （圣维南原理）公式的应用条件公式的应用条件离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)27/138拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)28/138Fkk FcoscosAFAFp斜截面上的应力（斜截面上的应力（Stress on an i

17、nclined plane) ) 以以 p 表示斜截面表示斜截面 k - k上的全应力上的全应力AFp cosAA FF kFkF p 23 直杆轴向伸长或压缩时斜截面上的应力直杆轴向伸长或压缩时斜截面上的应力 应力应力p 均匀分布，合力均匀分布，合力F 仍等于仍等于F拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)29/138n 沿截面法线方向的沿截面法线方向的正应力正应力 n 沿截面切线方向的沿截面切线方向的剪应力剪应力 将应力将应力 p 分解为两个分量：分解为两个分量： 2coscoscoscospsinsin22cosp Fkk F

18、Fkkxn p p 可见，可见， 和和 均是均是 的函数的函数 ( ) ( )拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)30/138(1) 当当 = 0o 时时， (3) = 45o 时，时， (4) = -45o时，时， maxmax2min2 (2) 当当 = 90o 时，时，0 00 0 ,2coscospsinsin22p xnFkk 讨 论9045045900.500.51 () ()拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)31/138（1） 角角2 2、符号的规

19、定、符号的规定(Sign convention)（2）正应力）正应力拉伸为正拉伸为正压缩为负压缩为负 （3）切应力）切应力 对研究对象任一点取矩对研究对象任一点取矩. pFkk FFkkxn p顺时针为正顺时针为正逆时针为负逆时针为负逆时针时逆时针时 为正号为正号顺时针时顺时针时 为负号为负号自自 x 转向转向 n 拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)32/1381 1、试验条件、试验条件 (Test conditions) 2-4 材料在拉伸时的力学性能材料在拉伸时的力学性能 (Mechanical properties of

20、 materials in axial tension)一、实验方法一、实验方法（Test method)(1) 常温常温: 室内温度室内温度(2) 静载静载: 以缓慢平稳的方式加载以缓慢平稳的方式加载(3) 标准试件：采用国家标准统一规定的试件标准试件：采用国家标准统一规定的试件常温静载试验拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)33/1382、试验设备、试验设备(Test instruments) (1)万能材料试验机万能材料试验机(2)游标卡尺游标卡尺拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compre

21、ssion, Shear)34/138二、拉伸试验二、拉伸试验（ Tensile test)取试样中间等直部分作为测取试样中间等直部分作为测试段杆，称为试段杆，称为标距标距 l (original gage length).l = 10d 或或 l =5d 1 1、 低碳钢拉伸时的力学性质低碳钢拉伸时的力学性质(Mechanical properties for a low-carbon steel in tension )(1)(1)拉伸试件拉伸试件dl标距标距拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)35/138试验方法试验方法

22、拉力拉力 F F 从从 0 0 渐增渐增标距标距 l 的伸长的伸长l 随之随之渐增渐增lp 得得 F- l 曲线（拉伸图）曲线（拉伸图）拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)36/138(2) 拉伸图拉伸图 ( F- l 曲线曲线 )拉伸图与试样的尺寸有关。拉伸图与试样的尺寸有关。为了消除试样尺寸的影响，为了消除试样尺寸的影响，把拉力把拉力F除以试样的原始面积除以试样的原始面积A，得正应力；同时把得正应力；同时把 l 除以标距除以标距的原始长度的原始长度l , 得到应变得到应变e e= l /l。表示表示F和和 l关系的曲线，关系

23、的曲线，称为称为拉伸图拉伸图(tension diagram )或者或者F- l 曲线曲线FOlefhabcddgfl0拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)37/138 p(3) 应力应变图应力应变图 ( -e e曲线曲线) (a) 弹性阶段 试样的变形完全弹性试样的变形完全弹性. 此阶段内的直此阶段内的直线段材料满足线段材料满足胡克定律胡克定律(Hookes law)e e E 比例极限比例极限(proportional limit)p fOfhe eab eb点是弹性阶段的最高点点是弹性阶段的最高点.弹性弹性极限极限(ela

24、stic limit)e 拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)38/138 sc点为下屈服极限点为下屈服极限s 屈服屈服极限极限(yielding strength) e p fOfhe eabc(b) 屈服阶段当应力超过当应力超过b点后，试样的点后，试样的应力基本不变而变形却急剧应力基本不变而变形却急剧增加，这种现象称为增加，这种现象称为屈服屈服(yielding). 拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)39/138 s b(c)强化阶段过屈服阶段后，材料又恢复

25、了过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力，抵抗变形的能力， 要使它继续要使它继续变形必须增加拉力。这种现象变形必须增加拉力。这种现象称为材料的称为材料的强化强化 (hardening) e点是强化阶段的最高点点是强化阶段的最高点 强度强度极限极限，抗拉强度，抗拉强度(ultimate Strength)b e p fOfhe eabce拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)40/138(d) 局部变形阶段过过e点后，试样在某一段内的点后，试样在某一段内的横截面面积显箸地收缩，出横截面面积显箸地收缩，出现现 颈缩颈缩 (necki

26、ng)现象现象. 一直一直到试样被拉断到试样被拉断. s b e p fOfhe eabce拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)41/138试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由 l 变为变为 l1，横截面积原为横截面积原为 A ，断口处的最小横截面积为，断口处的最小横截面积为 A1 . 断面收缩率断面收缩率 (percent reduction in area ) 伸长率伸长率(percent elongation) 5%的材料，称作的材料，称作塑性材料塑性材料

27、 (ductile material). 碳钢，黄铜，铝合金碳钢，黄铜，铝合金 5%的材料，称作的材料，称作脆性材料脆性材料 (brittle material) . 灰铸铁，玻璃，陶瓷灰铸铁，玻璃，陶瓷(4)伸长率和端面收缩率伸长率和端面收缩率%1001001 1 lll %1001001 1 AAA 材料塑性的指标拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)42/138(5)卸载定律及冷作硬化卸载定律及冷作硬化卸载定律卸载定律 (Unloading law)若加载到强化阶段的某一点若加载到强化阶段的某一点d ，停止加载，并逐渐卸载，

28、在卸载停止加载，并逐渐卸载，在卸载过程中，荷载与试样伸长量之间过程中，荷载与试样伸长量之间遵循直线关系的规律称为材料的遵循直线关系的规律称为材料的卸载定律卸载定律(Unloading law). abcefOgfhddepeee ee e - - 弹性应变弹性应变(elastic strain)e ep p - - 塑性应变塑性应变(plastic strain)pee ee ee e 拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)43/138在常温下把材料预拉到强化在常温下把材料预拉到强化阶段然后卸载，当再次加载阶段然后卸载，当再次加载

29、时，试样在线弹性范围内所时，试样在线弹性范围内所能承受的最大荷载将增大能承受的最大荷载将增大. .这种现象称为这种现象称为冷作硬化冷作硬化冷作硬化冷作硬化 abcdefOdgfhe edepee拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)44/138Refer to Fig.2.15 in the textbook拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)45/1382 2、无明显屈服极限的塑性材料、无明显屈服极限的塑性材料（Ductile materials without

30、clearing defined yield point) 0.2 3 3、铸铁拉伸时的力学性能、铸铁拉伸时的力学性能 - - 铸铁拉伸强度铸铁拉伸强度极限极限（Mechanical properties for a cast iron in tension )e e 0.20.2%割线弹性模量割线弹性模量 tg E名义屈服应力用名义屈服应力用 表示表示.2 20 0. oO /MPa/%e e 脆性材料拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)46/138拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compres

31、sion, Shear)47/138 2-5 材料在压缩时的力学性能材料在压缩时的力学性能 (Mechanical properties of materials in axial compression)1 1、实验试件、实验试件 (Test specimen)dh0 03 35 51 1. dhFFFF拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)48/138 sO e e 压缩的实验结果表明压缩的实验结果表明低碳钢压缩时的弹性模量低碳钢压缩时的弹性模量E屈服极限屈服极限 s都与拉伸时大致都与拉伸时大致相同。相同。屈服阶段后，试件越压

32、越扁屈服阶段后，试件越压越扁, 横截面面积不断增大，抗压横截面面积不断增大，抗压能力不断增高，得不到压缩能力不断增高，得不到压缩时的强度极限。时的强度极限。由于从拉伸测试中可得到主由于从拉伸测试中可得到主要的压缩性能，因此对低碳要的压缩性能，因此对低碳钢不一定要进行压缩测试。钢不一定要进行压缩测试。2 2、低碳钢压缩时的低碳钢压缩时的-曲线曲线( Stress- strain curve for a low-carbon steel in compression)拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)49/138 E=tg dgd

33、低碳钢拉伸低碳钢拉伸应力应变曲线应力应变曲线c( s)b( e)a( p)e( b) f Ey= tg (MPa)200400e e0.10.2O低碳钢压缩低碳钢压缩应力应变曲线应力应变曲线低碳钢的拉伸和压缩-e曲线拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)50/138 e eO bL灰铸铁的灰铸铁的拉伸曲线拉伸曲线 by灰铸铁的灰铸铁的压缩曲线压缩曲线120MPa620MPa铸铁的抗压强度极限是铸铁的抗压强度极限是抗拉强度极限的抗拉强度极限的45倍倍破坏断面与横截面大致成破坏断面与横截面大致成450 550倾角，剪切破坏倾角，剪切破

34、坏3 3、铸铁压缩时的、铸铁压缩时的- -曲线曲线（Stress- strain curve for cast iron in compression) 拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)51/138塑性材料和脆性材料力学性能比较塑性材料和脆性材料力学性能比较塑性材料塑性材料脆性材料脆性材料断裂前有很大塑性变形断裂前有很大塑性变形断裂前变形很小断裂前变形很小抗压能力与抗拉能力相近抗压能力与抗拉能力相近抗压能力远大于抗拉能力抗压能力远大于抗拉能力延伸率延伸率 5%延伸率延伸率 5%可承受冲击载荷，适合于可承受冲击载荷，适合于锻压

35、和冷加工锻压和冷加工适合于抗压构件，如机床床适合于抗压构件，如机床床身、机座、缸体及轴承座等。身、机座、缸体及轴承座等。材料的塑性和脆性会因为制造方法工艺条件材料的塑性和脆性会因为制造方法工艺条件的改变而改变的改变而改变材料力学性能的主要指标材料力学性能的主要指标Epsb拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)52/138拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)53/1382、许用应力许用应力(Allowable stress) 1、极限应力极限应力(Ultimate s

36、tress u ) n 安全系数安全系数（factor of safety） 塑性材料 (ductile materials)脆性材料 ( brittle materials)塑性材料（塑性材料（极限应力极限应力或危险应力）：或危险应力）： s 脆性材料脆性材料（极限应力极限应力或危险应力）：或危险应力）： b以大于以大于1的因数除极限应力，所得结果称为的因数除极限应力，所得结果称为许用应力许用应力, 用用 表示表示.nu ns nb 3、强度条件强度条件（Strength condition)： 杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力N AFmaxmax

37、2-7 失效、安全系数与拉压强度条件失效、安全系数与拉压强度条件拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)54/138强度条件强度条件（Strength condition)： 杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力1 1、数学表达式、数学表达式（Mathematical formula)N AFmaxmax2 2、强度条件的应用、强度条件的应用(Application of strength condition)maxN FA (2) 截面设计截面设计(1) 强度校核强度校核NAFmax AFm

38、axN (3)确定许可载荷确定许可载荷拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)55/138例例1 正方形的砖柱分上，下两段，其受力正方形的砖柱分上，下两段，其受力情况、各段尺寸如图所示情况、各段尺寸如图所示. 已知已知F = 50kN，试求荷载引起的最大工作应力试求荷载引起的最大工作应力.FABCFF3000400037024021 解：解：(1)(1)截面法求内力截面法求内力kNN50501 1 FFkNN1501503 32 2 FF拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, She

39、ar)56/138FABCFF300040003702402150kN150kN(2) 求应力求应力N11216250000N0.24 0.24m0.87 10 N/m0.87MPaFA N222262150000N0.37 0.37m1.1 10 N/m1.1MPaFA 结论：结论： 在柱的下段，其在柱的下段，其值为值为1.1MPa，是压应力，是压应力.max 画出轴力图画出轴力图拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)57/138例例2 已知一等直圆杆受拉力已知一等直圆杆受拉力P =25 k N，直径，直径 d =14mm，许用

40、，许用应力应力 =170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。，试校核此杆是否满足强度要求。解：解： 轴力：轴力：N = P =25kN3max2224425 10 N162.48MPa3 140 014 mNPAd .应力：应力：强度校核：强度校核： max162.48MPa170MPa结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)58/138例例3 简易起重设备中，简易起重设备中，AC杆由两根杆由两根 80 80 7等边角钢组等边角钢组成，成，AB杆由两根杆由两

41、根 10号工字钢组成号工字钢组成. 材料为材料为Q235钢，许用钢，许用应力应力 =170MPa . 求许可荷载求许可荷载 F.ABCF1m30o拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)59/138解：解：(1) 取结点取结点A为研究对象，受力分析如图为研究对象，受力分析如图所示所示.FAxyFN1FN230oABCF1m30o拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)60/138结点结点A的平衡方程为的平衡方程为由型钢表由型钢表(附录附录II)查得查得FAxyFN1FN2

42、3000 030300 01 1 FFFysinN0 00 01 12 2 cos30NNFFFx得到得到FFFF7327321 12 22 21 1.NN 426214262210.86 10 m22172 10 m14.345 10 m22869 10 mAA等边角钢p.341工字钢p.352拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)61/138(2) 许可轴力为许可轴力为(3)各杆所对应的许可荷载各杆所对应的许可荷载(4) 结论：许可荷载结论：许可荷载 F=184.6kNAFmaxN FFFF7327321 12 22 21 1

43、.NN 662N11 170 10 Pa2172 10 m369240N369.24kNFAN22 487.73kNFAN11184.6kN2FF N22281.6kN1.732FF121 min ,184.6kNFFFF拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)62/138例例4 刚性杆刚性杆ACB有圆杆有圆杆CD悬挂在悬挂在C点，点，B端作用集中力端作用集中力F=25kN，已知，已知CD杆的直径杆的直径d=20mm，许用应力，许用应力 =160MPa，试校核试校核CD杆的强度，并求：杆的强度，并求：（1）结构的许可荷载）结构的许可

44、荷载F；（2）若）若F=50kN，设计，设计CD杆的杆的直径直径.2aaFABDC拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)63/138解：解：(1) 求求CD杆受杆受力力2aaFABDCFNCDFACBYXFFMNCDA2 23 30 0 N23/2/4119MPa CDFFAd（2）求结构的许可荷载）求结构的许可荷载FN AFCDCD由由拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)64/138223 222 160MPa20 mm33433510N=33.51kNFAFA2

45、aaFABDCFNCDFACBYNN3 , 2CDCDFFAF同时，得得/N 2 23 3FFACD 得得/ 2 23 34 42 2Fd d=24.4mm取取d=25mmF=33.5kN(3) 若若F=50kN，设计，设计CD杆的杆的直径直径N AFCDCD由由拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)65/1385拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)66/138拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)67

46、/1382-8 拉压杆的变形拉压杆的变形 (Calculation of axial deformation)FFbh 一、纵向变形一、纵向变形（Axial deformation)h1b1ll12、纵向应变、纵向应变（Axial strain)e e lllll 1 11、纵向变形、纵向变形（Axial deformation)拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)68/138二、二、横向变形横向变形（Lateral deformation)三、泊松比三、泊松比 (Poissons ratio) 称为称为泊松比泊松比 (Pois

47、sons ratio)2、横向应变、横向应变（Lateral strain)1bbbbbe 1、横向变形横向变形（Lateral deformation)1bbbe ee e e ee e FFbhh1b1ll1拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)69/138四、胡克定律四、胡克定律 (Hookes law)式中式中 E 称为称为弹性模量弹性模量(elastic modulus) ， EA称为抗拉（压）称为抗拉（压）刚度刚度( (rigidity).实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段，在此弹性实验表明工程上大多数材料都有一

48、个弹性阶段，在此弹性范围内，正应力与线应变成正比范围内，正应力与线应变成正比. .上式改写为上式改写为 AFNe e lle e E 由由EAlFlN 长度相同，受力相等的杆件，长度相同，受力相等的杆件，EA越大，变形越大，变形l 越小越小拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)70/138EAlFlN NFNF拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)71/138拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)72/1

49、38F1F2F3l1l2l3ABCDF1FN1)(kNNN 20200 01 11 11 1FFF拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)73/138F2F1FN2F1F2F3l1l2l3ABCD)(kNNN 15150 02 22 22 21 1FFFFRFN3)(kNNN 50500 03 33 3FRF拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)74/138FN2 =-15kN （-）FN1 =20kN （+）FN3 =- 50kN （-）15+-2050F1F2F3l

50、1l2l3ABCD拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)75/138(2) 杆的最大正应力杆的最大正应力 maxAB段：段：DC段：段：BC段：段：FN2 =-15kN ( - )FN1 =20kN （+）FN3 =- 50kN ( - )F1F2F3l1l2l3ABCDR)(MPa.N 8 81761761 11 1AFAB )(MPa.N 6 674742 22 2AFBC )(MPa.N 5 51101103 33 3AFDC max = 176.8MPa 发生在发生在AB段段.拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tensi

51、on & Compression, Shear)76/138(3) B截面的位移及截面的位移及AD杆的变形杆的变形F1F2F3l1l2l3ABCDRm102.534-N 1 11 11 1EAlFlABm101.424-N 2 22 22 2EAlFlBCm101.584-N 3 33 33 3EAlFlCD-0.3mm BCCDBllumm10-0.474- CDBCABADllll拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)77/138例题例题6 6 图所示杆系由两根钢杆图所示杆系由两根钢杆 1 和和 2 组成组成. 已知杆

52、端铰接，两杆已知杆端铰接，两杆与铅垂线均成与铅垂线均成 =300 的角度，的角度， 长度均为长度均为 l = 2m，直径均为，直径均为 d=25mm，钢的弹性模量为，钢的弹性模量为 E=210GPa.设在点处悬挂一重物设在点处悬挂一重物 F=100 kN，试求，试求 A点点的位移的位移 A.ABC12 拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)78/138ABC12 解：解：(1) 列平衡方程，求杆的轴力列平衡方程，求杆的轴力FyFN1FN2A12 x0 00 00 00 02 21 11 12 2 FFFFFFFyx coscoss

53、insinNNNNN1N22cosFFF拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)79/138A(2)(2)两杆的变形为两杆的变形为变形的几何条件相容是，变形后，两杆仍应铰结在一起变形的几何条件相容是，变形后，两杆仍应铰结在一起. .ABC12 ABC12 （伸长）（伸长） cosNEAFlEAlFll2 21 11 12 21 1 拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)80/138以两杆伸长后的长度以两杆伸长后的长度 BA1 和和 CA2 为半径作圆弧相交于为半径作圆弧

54、相交于 A ，即为即为A点的新位置点的新位置. .AA 就是就是A A点的位移点的位移. .AABC12 A A2 2A1Al 1 12因变形很小，故可过因变形很小，故可过 A1 1，A2 分别做两杆的垂线，相交于分别做两杆的垂线，相交于 A A 可认为可认为AAAAA )(mm.coscos 2932931 12 22 21 1 EAFllAAA拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)81/138F FAFN1FN2x300yA1 1l 1 例题例题7 7 图示三角形架图示三角形架 AB 和和 AC 杆的弹性模量杆的弹性模量 E=

55、200=200GPa， A1=2172mm2，A2=2548mm2. 求求 当当F=130=130kN时节点的位移时节点的位移. .2mABCF3001 12 2解解 (1)(1)由平衡方程得两杆的轴力由平衡方程得两杆的轴力FFFFNN7327321 12 22 21 1. 1 杆受拉，杆受拉，2 杆受压杆受压A2 2l 2mm.mm.NN7657650 01981981 12 22 22 22 22 21 11 11 11 11 1 EAlFlAAEAlFlAA(2)两杆的变形两杆的变形拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)82

56、/13830300 0AA1A2l 1l 2A300 0AA3 为所求为所求A点的位移点的位移A1 1l 12mABCF3001 12 2A2 2l 2A30 01 12 22 22 23030cosllAAAAAA 0 01 10 02 22 23 32 230303030sintgtg300llAAAA mm.)()(78783 32 23 32 22 22 23 3 AAAAAA拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)83/1382-9 拉压杆的应变能拉压杆的应变能 (strain energy of axially load

57、ed members)拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)84/138拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)85/138拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)86/138拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)87/138拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)88/138拉压、剪

58、切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)89/138拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)90/138拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)91/138一、静定与超静定问题一、静定与超静定问题(Statically determinate & indeterminate problem )2-10 拉压超静定问题拉压超静定问题 Statically indeterminate problem of axia

59、lly loaded members1 1、静定问题、静定问题(Statically determinate problem ) 杆件的轴力可以用静力平衡条件求出杆件的轴力可以用静力平衡条件求出,这种情况称作静定问题这种情况称作静定问题.2 2、超静定问题、超静定问题(Statically indeterminate problem ) 只凭静力平衡方程不能解出全部未知力，则为超静定问题只凭静力平衡方程不能解出全部未知力，则为超静定问题.拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)92/1381 1、超静定的次数、超静定的次数 (Deg

60、rees of statically indeterminate problem ) 未知力数超过独立平衡方程数的数目未知力数超过独立平衡方程数的数目,称作超静定的次数称作超静定的次数.二、超静定问题求解方法二、超静定问题求解方法 (Solution methods for statically indeterminate problem） 2 2、求解超静定问题的步骤、求解超静定问题的步骤 (Procedure for solving a statically indeterminate)(1) 确定静不定次数；列静力平衡方程确定静不定次数；列静力平衡方程(2) 根据变形协调条件列变形几何方

61、程根据变形协调条件列变形几何方程(3) 将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得补充方程得补充方程(4) 联立补充方程与静力平衡方程求解联立补充方程与静力平衡方程求解n = 未知力的个数未知力的个数 - 独立平衡方程的数目独立平衡方程的数目拉压、剪切拉压、剪切 (Axial Tension & Compression, Shear)93/138 例题例题8 8 设设 1、2、3 三杆用绞链连结，如图所示三杆用绞链连结，如图所示, ,l1 = l2 = l，A1 = A2 = A, E1 = E2 = E, 3杆的长度杆的长度 l3 , ,横截面积横截面积 A3 , ,弹性模量弹性模量E3试求在沿铅垂方向的外力试求在沿铅垂方向的外力 F 作用下各杆的轴力作用下各杆的轴力. . CAB