现代控制理论第三章1-2

1、第三章第三章 线性系统的能控性和线性系统的能控性和能观性能观性本本 章章 简简 介介q 本章讨论线性系统的结构性分析问题。 主要介绍 动态系统的状态空间模型分析的两个基本结构性质-状态能控性和能观性,以及 这两个性质在状态空间模型的结构分解和线性变换中的应用, 并引入能控规范形和能观规范形, 以及实现问题与最小实现的概念。q 动态系统的能控性和能观性是揭示动态系统不变的本质特征的两个重要的基本结构特性。 卡尔曼在60年代初首先提出状态能控性和能观性。其后的发展表明,这两个概念对回答被控系统能否进行控制与综合等基本性问题,对于控制和状态估计问题的研究,有着极其重要的意义。 系统能控性指的是控制作

2、用对被控系统的状态和输出进行控制的可能性。 状 态 n维维x(t) r维维u(t) m维维y(t) 能控? 能控? 能观性反映由能直接测量的输入输出的量测值来确定反映系统内部动态特性的状态的可能性。 状 态 x(t) u(t) y(t) 能观测? q 为什么经典控制理论没有涉及到这两个结构性问题?q 这是因为经典控制理论所讨论的是SISO系统输入输出的分析和综合问题,它的输入输出间的动态关系可以唯一地由传递函数所确定。 因此,给定输入,则一定会存在唯一的输出与之对应。 反之,对期望输出信号,总可找到相应的输入信号(即控制量)使系统输出按要求进行控制,不存在能否控制的问题。 此外,输出一般是可直

3、接测量,不然,则应能间接测量。 否则,就无从对进行反馈控制和考核系统所达到的性能指标。 因此,在这里不存在输出能否测量(观测)的问题。 所以,无论是从理论还是实践,经典控制理论和技术一般不涉及到能否控制和能否观测的问题。q 现代控制理论中着眼于对表征MIMO系统内部特性和动态变化的状态进行分析、优化和控制。 状态变量向量的维数一般比输入向量的维数高,这里存在多维状态能否由少维输入控制的问题。 此外,状态变量是表征系统动态变化的一组内部变量,有时并不能直接测量或间接测量,故存在能否利用可测量或观测的输入输出的信息来构造系统状态的问题。q 本章讨论线性定常系统的定性分析-结构性问题主要内容有: 结

4、构性问题-能控性、能观性、 对偶原理 结构分解 能控规范形和能观规范形 系统实现3.1 3.1 线性连续系统的能控性线性连续系统的能控性q 本节主要讨论线性定常连续系统的状态能控性和输出能控性问题。 关键问题:1. 基本概念: 状态能控性和输出能控性2. 基本方法: 状态能控性和输出能控性的判别方法q 本节首先从物理直观性来讨论状态能控的基本含义,然后再引出状态能控性的定义。q 本节讲授顺序为: 能控性的直观讨论能控性的直观讨论 状态能控性的定义状态能控性的定义 线性定常连续系统的状态能控性判别线性定常连续系统的状态能控性判别 线性定常连续系统的输出能控性线性定常连续系统的输出能控性 线性时变

5、连续系统的状态能控性线性时变连续系统的状态能控性3.1.1 能控性的直观讨论q 状态能控性反映输入u(t)对状态x(t)的控制能力。 如果状态变量x(t)由任意初始时刻的任意初始状态引起的运动都能由输入(控制项)来影响,并能在有限时间内控制到空间原点,那么称系统是能控的, 或者更确切地说,是状态能控的。 否则,就称系统为不完全能控的。q 下面通过实例来说明能控性的意义 。 该电路系统中,电源电压u(t)为输入变量,并选择两电容器两端的电压为状态变量x1(t)和x2(t)。 试分析电源电压u(t)对两个状态变量的控制能力。q例1 某电路系统的模型如图3-1所示 。 u R + + + - - C

6、1 C2 x1 x2 - R R R 图图3-1 电路系统电路系统 q 由电路理论知识可知, 若图3-1所示的电桥系统是平衡的(例Z1=Z2=Z3=Z4),电容C2的电压x2(t)是不能通过输入电压u(t)改变的,即状态变量x2(t)是不能控的,则系统是不完全能控的。 u R + + + - - C1 C2 x1 x2 - R R R 若图3-1所示的电桥系统是不平衡的, 两电容的电压x1(t)和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制,则系统是能控的。q 由状态空间模型来看, 当选择两电容器两端电压为状态变量x1(t)和x2(t)时,可得如下状态方程:2221111111xRCxuRCxRCx

7、 u R + + + - - C1 C2 x1 x2 - R R R 由上述状态方程可知,状态变量x2(t)的值,即电桥中电容C2的电压,是自由衰减的,并不受输入u的控制。 具有这种特性的系统称为状态不能控的。uxxxxx212112q 例2 给定系统的状态空间模型与结构图分别为q 状态变量x1的运动只受初始状态x1(0)的影响,与输入无关, 即输入u(t)不能控制x1(t)的运动,而且x1(t)不能在有限时间内衰减到零。 因此,状态x1(t)不能控,则整个系统是状态不完全能控的。1/s-1-2 2x1x1/syuuxxxuxxx21221122p 由该状态方程可知,状态变量x1(t)和x2(

8、t)都可由输入u单独控制, 可以说,x1(t)和x1(t)都是单独能控的。 对该状态方程求解后可得x1(t)-x2(t)=e-3tx1(0)-x2(0)即状态x1(t)和x2(t) 总是相差一个固定的,不受u(t)控制的函数值。q 例3 给定系统的状态空间模型为 因此,x1(t)和x2(t) 不能在有限时间内同时被控制到零或状态空间中的任意状态,只能被控制在满足由状态方程解所规定的状态空间中的曲线上。 所以,虽然状态x1(t)和x2(t)都是单独能控的,但整个系统并不能控。q 前面几个例子,可通过直观分析来讨论系统的状态能控性,但对维数更高、更复杂的系统,直观判断能控性是困难的。 下面将通过给

9、出状态能控性的严格定义,来导出判定系统能控性的充要条件。x1(t)-x2(t)=e-3tx1(0)-x2(0)3.1.2 状态能控性的定义状态能控性的定义q 由状态方程x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)及其第2章的状态方程求解公式可知, 状态的变化主要取决于系统的初始状态和初始时刻之后的输入,与输出y(t)无关。 因此研究讨论状态能控性问题,即输入u(t)对状态x(t)能否控制的问题,只需考虑系统在输入u(t)的作用和状态方程的性质,与输出y(t)和输出方程无关。q 对线性连续系统,有如下状态能控性定义。q 定义定义3-1 若线性连续系统x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)

10、对初始时刻t0(t0T,T为时间定义域)和初始状态x(t0), 存在另一有限时刻t1(t1t0,t1T), 可以找到一个控制量u(t), 能在有限时间t0,t1内把系统状 x2 x1 0 x(t0) x(t0) x(t0) 态从初始状态x(t0)转移到原点,即x(t1)=0,则称t0时刻的状态x(t0)能控; 若对t0时刻的状态空间中的所有状态都能控,则称系统在t0时刻状态完全能控; 若系统在所有时刻状态完全能控,则称系统状态完全能控,简称为系统能控。 即,若逻辑关系式t0T x(t0) t1T(t1t0) u(t)(tt0,t1) (x(t1)=0)为真,则称系统状态完全能控。 若存在某个状

11、态x(t0)不满足上述条件,称此系统是状态不完全能控的,简称系统为状态不能控。q 对上述状态能控性的定义有如下讨论:1. 控制时间t0,t1是系统状态由初始状态转移到原点所需的有限时间。 对时变系统,控制时间的长短,即t1-t0的值,与初始时刻t0有关。 对于定常系统,该控制时间与t0无关。所以,对于线性定常系统状态能控性,可不必在定义中强调“在所有时刻状态完全能控在所有时刻状态完全能控”,而为“某一时刻状态完全某一时刻状态完全能控能控,则系统状态完全能控则系统状态完全能控”。 即,若逻辑关系式 t0T x(t0) t1T(t1t0) u(t) (tt0,t1) (x(t1)=0)为真,则称线

12、性定常连续系统(A,B)状态完全能控。2. 在上述定义中,对输入u(t)没有加任何约束,只要能使状态方程的解存在即可。 如果矩阵A(t)和B(t)以及向量u(t)的每个元素都是t的分段连续函数,则状态方程存在唯一解。 u(t)为分段连续的条件,在工程上是很容易满足的。3. 在状态能控性定义中,对状态转移的轨迹未加以限制,这表明能控性是表征系统状态运动的一个定性特性。3.1.3 线性定常连续系统的状态能控性判别线性定常连续系统的状态能控性判别q 线性定常连续系统状态能控性判据有许多不同形式,下面分别讨论常用的 代数判据代数判据 模态判据模态判据1. 代数判据（秩判据）代数判据（秩判据）q 定理3

13、-1(线性定常连续系统能控性秩判据) 线性定常连续系统(A,B)状态完全能控的充要条件为:如下定义的能控性矩阵Qc=B AB An-1B满秩,即rankQc=rankB AB An-1B=n ：证明目标证明目标：对系统的任意的初始状态对系统的任意的初始状态 ，能否找到输入，能否找到输入u(t)，使之在使之在 的有限时间内转移到零的有限时间内转移到零 。则系统状态能控。则系统状态能控。,0ftt)(0tx0)( ftx ttdButtxtttx0)()()()()(00 已知：线性定常非齐次状态方程的解为：已知：线性定常非齐次状态方程的解为： fttdButtx0)()()(00 （2）由（由（

14、1）式得：）式得：0)()()()()(000 fttfffdButtxtttx 将将 代入上式：代入上式：ftt （1） 10)()(njjjtAAtae由凯利哈密顿定理由凯利哈密顿定理 有：有： 100)(0)()(0njjjtAAtaet （3） fffffttnnttttttjnjjttnjjjdutaBAdutaABdutaBdutaBAdBuAtatx00000)()()()()()()()()()()(01101000101000 （4）将（将（3）式代入（）式代入（2）式得：）式得：1, 1 , 0,)()(00 njdutaUfttjj （5）令：令：（6）将（将（5）式代入

15、（）式代入（4）式得：）式得：UUUUBAABBBUAABUBUtxTTTTnnnnM)()(110111100（4）由以上可以看出式（由以上可以看出式（6）中各参数维数如下：）中各参数维数如下：维向量为维为维向量为维为维为维向量为1nr,1rnrnM,rn,rn1n)(0UUABBtxj式（式（6）是关于）是关于U的非齐次方程组。由线性代数知识知道，的非齐次方程组。由线性代数知识知道，其有解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等，即：其有解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等，即：)(M)M(0txrankrank由于由于x(t0)任意，所以，必须有：任意，所以，必须有：nrank)M(U

16、UUUBAABBBUAABUBUtxTTTTnnnnM)()(110111100321001000101aaa xxuq 例例3-1 试判断如下系统的状态能控性q 解 由状态能控性的代数判据有212121110100aaaAaAbbb212121001rankrankrank 0131cQAAanaaabbb 故 因此,该系统状态完全能控。uxx1-1-1112310020231q 例例3-2 试判断如下系统的状态能控性4-4-2-2-442245231-1-11122BAABB 将上述矩阵的第3行加到第2行中去,则可得矩阵000044224523001112显然其秩为2。而系统的状态变量维数

17、n=3,所以状态不完全能控。q 解 由状态能控性的代数判据有2. 模态判据模态判据q 在给出线性定常连续系统状态能控性模态判据之前,先讨论状态能控性的如下性质: 线性定常系统经线性变换后状态能控性保持不变。线性定常系统经线性变换后状态能控性保持不变。 下面对该结论作简单证明。 设线性变换阵为P,则系统(A,B)经线性变换 后为 ,并有BPBAPPA1-1-( , )A B xPx )(.r.r1-1 -1-1-1-1-1 -BPAPPBAPPPBPBABABnn 由于.r).r(.r1 -1 -1 -1 -1-1-1-BAABBBAABBPBAPABPBPnnn 因此系统 的状态能控性等价于(

18、A,B)的状态能控性,即线性变换不改变状态能控性。( , )A B q 基于上述结论,可利用线性变换将一般状态空间模型变换成约旦规范形,通过分析约旦规范形(对角线规范形视为其特例)的能控性来分析原状态空间模型的能控性。 下面讨论线性定常连续系统约旦规范形的状态能控性模态判据。q 定理3-2 对为约旦规范形的线性定常连续系统(A,B),有:1) 若A为每个特征值都只有一个约旦块的约旦矩阵,则系统能控的充要条件为 对应对应A的每个约旦块的的每个约旦块的B的分块的最后一行都不全为的分块的最后一行都不全为零零;2) 若A为某个特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵,则系统能控的充要条件为 对应对应A的同一特

19、征值的所有约旦块的的同一特征值的所有约旦块的B的分块的最后的分块的最后一行线性无关一行线性无关。nnlJJJ00J21rnl21BBBBr21iiiiiiBBBBiiiiiiJ111 42412221bbbb如果如果 行线性无关，则状态能控行线性无关，则状态能控ubbbbbbbbxxxxx 424132312221121143211111010001 对于：对于：uxxxxxx 7521000500073213211）考察以下系统的能控性：考察以下系统的能控性：uxxxxxx 570410100050007321321状态完全能控状态完全能控3）状态完全能控状态完全能控uxxxxxx 9021

20、00050007321321状态不完全能控状态不完全能控X2 状态不能控状态不能控2）q 定理3-2的证明可直接由定理3-1而得。q 对定理3-2作两点说明: 状态能控性模态判据讨论的是约旦规范形。 若系统的状态空间模型不为约旦规范形,则可根据线性变换不改变状态能控性的性质,先将状态空间模型变换成约旦规范形, 然后再利用定理3-2来判别状态能控性; 定理3-2不仅可判别出状态能控性,而且更进一步地指出是系统的哪一模态(特征值或极点)或哪一状态不能控。 这对于进行系统分析和反馈校正是非常有帮助的。u52xx5007) 1 (q 解 由定理3-2可知,A为特征值互异的对角线矩阵,且B中各行不全为零

21、,故系统状态完全能控。q 例3-3 试判断如下系统的状态能控性。q 解 A的每个特征值都只有一个约旦块,但对应于特征值-4的约旦块的B的分块的最后一行全为零,故状态x1和x2不能控,则系统状态不完全能控。41000(2)0400000311 xxu状态空间x1-x2-x3不完全能控状态子空间x1-x2不完全能控状态变量x3完全能控状态变量x2完全不能控状态变量x1完全不能控q 解 由于A中特征值-4的两个约旦块所对应的B的分块的最后一行线性无关, 且A中特征值-3的约旦块所对应的B的分块的最后一行不全为零,故系统状态完全能控。410000040001(3)003020000421 xxuq 解

22、 由于A中特征值-4的两个约旦块所对应的B的分块的最后一行线性相关,故该系统的状态x1,x2和x4不完全能控,则系统状态不完全能控。4100004001(4)0030200043 xxu状态空间x1-x2-x3-x4不完全能控状态子空间x1-x2-x4不完全能控状态变量x3完全能控q 对单输入系统的状态能控性,有如下推论。q 推论3-1 若单输入线性定常连续系统(A,B)的约旦规范形的系统矩阵为某个特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵,则该系统状态不完全能控。q 定理3-2所给出的状态能控性的模态判据在应用时需将一般的状态空间模型变换成约旦规范形,属于一种间接方法。 下面给出另一种形式的状态能控性

23、模态判据, 称为PBH秩判据。 该判据属于一种直接法。q 定理3-3 线性定常连续系统(A,B)状态完全能控的充必条件为:对于所有的,下式成立:rankI-A B=n q 该定理的证明可由定理3-2直接得到。q 对于所有的,直接检验定理3-3的条件较困难。 可以证明,定理3-3的条件对于所有的成立等价于其对A的所有特征值成立。 因此,应用定理3-3时,只需将A的所有特征值代入定理3-3的条件,检验其成立与否即可。q 解 由方程|I-A|=0,可解得矩阵A的特征值分别为1,2和3。 对特征值1=1,有uxx111112310020231q 例3-4 试判断如下系统的状态能控性。nBI-A3112

24、101101012230rankrank1 对特征值2=2,有nBI-A3111101100012231rankrank2 对特征值3=3,有nBI-A2110101101012232rankrank3 由定理3-3可知,因为对应于特征值3,定理3-3的条件不成立,故该系统状态不完全能控。q 能控性判据小结判定方法特点判据代数判据模态判据1模态判据2能控性矩阵Qc=B AB An-1B满秩约旦标准形中同一特征值对应的B矩阵分块的最后一行线性无关对于所有特征值 , rankI-A B=n1. 计算简便可行。2. 缺点为不知道状态空间中哪些变量(特征值/极点)能控1. 易于分析状态空间中哪些变量(

25、特征值/极点)能控。2. 缺点为需变换成约旦标准形1. 易于分析哪些特征值(极点)能控。2. 缺点为需求系统的特征值3.1.4 线性定常连续系统的输出能控性线性定常连续系统的输出能控性q 在控制系统分析和设计中,如果系统的被控制量不是系统的状态变量,而是系统的输出变量。 因此,有必要研究系统的输出能否控制的问题。 经典控制理论讨论的为SISO系统输入输出的分析和综合问题,其输入输出间动态关系可以唯一地由传递函数所确定。 因此,对给定的期望输出响应,输入则唯一地确定,不存在输出能否控制的问题。 但对于MIMO系统,由于输入向量和输出向量是多维的,因此,存在r维的输入能否控制m维的输出的能控性问题

26、。q 定义3-2 若线性定常连续系统(A,B,C,D), 对初始时刻t0(t0T,T为系统的时间定义域)和任意初始输出值y(t0), 存在另一有限时刻t1(t1t0,t1T),可以找到一个输入控制向量u(t), 能在有限时间t0,t1内把系统从初始输出y(t0)控制到原点,即y(t1)=0,则称系统输出完全能控,简称为系统输出能控。 若系统存在某个初始输出值y(t0)不满足上述条件,则称此系统是输出不完全能控的,简称为输出不能控。q 定理3-4 线性定常连续系统(A,B,C,D)输出完全能控的充要条件为输出能控性矩阵CB CAB CAn-1B D满秩,即rank CB CAB CAn-1B D

27、=m其中m为输出变量向量的维数。 q 定理3-4的证明可仿照定理3-1给出。q 例例3-5 试判断如下系统的输出能控性uxyuxx0 11 110000q 解 由输出能控性的代数判据有rankCB CAB D=rank2 0 0=1=m故系统输出完全能控。 q 对例3-5中的系统,因为210101rankrankABB故系统是状态不完全能控的。q 因此,由例可知,输出能控性与状态能控性是不等价的两个不同概念,它们之间亦没有必然的联系。3.1.5 线性时变连续系统的状态能控性线性时变连续系统的状态能控性q 以上讨论的状态能控性判据是针对线性定常连续系统而言的,对时变系统不成立。 下面给出线性时变

28、连续系统状态能控性的充分必要判据。q 定理定理3-5(格拉姆矩阵判据) 线性时变连续系统(A(t),B(t)在初始时刻t0上状态完全能控的充分必要条件为: 存在t1(t1t0),使得如下能控格拉姆(Gram)矩阵为非奇异的100100( , )( , ) ( )( )( , )dtctW t tt t B t Btt ttq 证明证明 1) 充分性证明。 即证明，若存在t1(t1t0),使得能控格拉姆矩阵Wc(t0,t1)是非奇异的, 则系统是状态完全能控的。 若能控格拉姆矩阵Wc(t0,t1)是非奇异的,这样对任意的初始状态x(t0)=x0,总可以定义如下输入向量u(t)10010( )(

29、)( , )( , )ctBtt t Wt t ux则经过有限时间t0,t1后,可使系统状态q 上式表明,如果能控格拉姆矩阵Wc(t0,t1)是非奇异的,那么在有限时间区间t0,t1内,任何一个初始状态x0都可以找到控制规律在有限时间内转移到状态空间的原点。 于是系统的状态能控性得以证明。0),(),(),(),(),(d),()()(),(),(),(d),(),()()(),(),(d)()(),(),()(010110010010101000100101010100110011101010 xxxxxxuxxttWttWttttttWttttBtBtttttttttWtttBtBtttt

30、tttBtttttcccttttcttq 2) 必要性证明。 即证明,若系统是状态完全能控的,则存在t1(t1t0),使得能控格拉姆矩阵Wc(t0,t1)是非奇异的。 现采用反证法证明。 假设对任意的t1(t1t0),能控格拉姆矩阵Wc(t0,t1)是奇异的,但系统是状态完全能控的。 对任意的t1,能控格拉姆矩阵Wc(t0,t1)是奇异的,则必定存在某个非零的向量x0Rn,使得00101( , )0cW t ttxx 由此可导出 由于B(t)(t0,t)x(t0)是t的有限分段连续向量函数,所以上式成立必导致10100010000000001( , )( , ) ( )( )( , )d( )

31、( , )( )( , )d0tctttW t tt t B t B tt tB tt tB tt tt xxxxxx11000,0),()(tttttttBx然而已假定系统是状态完全能控的,即对任意初始状态x(t0)Rn,都存在有限时间t1和输入向量u(t),使得或即上述方程对u(t)有解。 因此,状态方程对初始状态x(t0)=x0一样存在输入u(t)的解,即存在u(t)满足10100110( , ) ( )( , ) ( ) ( )d,( )tntt ttt t B ttttt xuuR10001( )( , ) ( ) ( )d,( )tnttt t B ttttt xuuRntttttttBttRuux)(,d)()(),(10010 将上式两边左乘以 ,代入可得 由于x0为非零向量,故上式矛盾 因此原假定对任意t1(t1t0),能控格拉姆矩阵Wc(t0,t1)是奇异的,但系统是状态完全能控的,显然不成立。 故系统是状态完全能控的,则一定存在t1(t1t0),使得能控格拉姆矩阵Wc(t0,t1)必