2012考研数二真题及解析

1、2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：18小题,每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸.指定位置上X2X(1) 曲线y彳一渐近线的条数为()x1(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3【答案】：CX2X【解析】：lim2，所以x1为垂直的x1x12xxlim飞1,所以y1为水平的，没有斜渐近线故两条选Cxx1(2) 设函数f(x)(ex1)(e2x2)(enxn)，其中n为正整数，则f'(0)(A) (1)nTn1)!(B) (1)n(n1)!(C) (1)n1n!(D) (1)nn!【答案】：C【

2、解析】：f'(x)ex(e2x2)(enxn)(ex1)(2e2x2)(enxn)(ex1)(e2x2)-(nenxn)所以f'(0)(1)n1n!(3) 设an>0(n=1,2,),Sn二a1+a2+an,则数列(sn)有界是数列(an)收敛的(A)充分必要条件.(B)充分非必要条件.(C)必要非充分条件.(D)即非充分地非必要条件【答案】：(B)k2(4) 设|kexsinxdx(k=1,2,3),则有De(A)|1<I2<I3.(B)I2<I2<I3.(C)Il<I3<Il,(D)Il<I2<I3.【答案】：(D)k2

3、【解析】：Ikexsinxdx看为以k为自变量的函数，则可知e.2kx2Ik'eksink0,k0,，即可知Ikesinxdx关于k在0,上为单调增e函数又由于1,2,30,，则I1I2l3,故选D设函数f(x,y)可微,且对任意x,y都有f(x,y)>0,f(x,y)<0,f(x1,y1)vfxy(X2,y2)成立的一个充分条件是(A)刘>X2,y1<y2.(C)xi<x2,yi<y2.【答案】：(D)(B)xi>x2,yi>yi.(D)xi<X2,yi>y2.【解析】：丄s0,丄©必0表示函数f（x,y）关于变量

4、x是单调递增的，关于变量xyy是单调递减的。因此，当为x2,y1y是单调递减的。因此，当为x2,y1y2必有fX,%)fXy),故选D(6)设区域D由曲线ysinx,x,y1,围成，则x5y1dxdy()2(A)(B)2(C)2(D)是（【答案】：（D）【解析】:由二重积分的区域对称性，5xy-151dxdy2dxxy1dysinx20011(7)设10,21,31,41其中G,C2,C3,C4为任意常数，则下列向量组线性相关的C1C2C3C4)1（8）设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵，且P1AP1,P21,2,3,Q12则Q1AQ（)11(A)2(B)11222(C)1(D)221【答案】：

5、(B)1001010【解析】：QP110则Q1110P1,1001001110010010011001故Q1AQ110P1AP1101101110100100100120012故选（B）。、填空题：914小题,每小题4分，共24分,请将答案写在答题纸指定位置上(A)1,2,3(B)(C)1,3,4(D)【答案】：（C）011【解析】：由于1,3,4011C11,2>1C1C32,43，41,3,4线性相关。故选（C）(9)设yy（x）是由方程Xy1ey所确定的隐函数【答案】：1方程丘_叶1=爭两疑i壯求辱，有2'*护跛，戈=山代入可袴所址rfrdx:或1再次求导亠窖"喲

6、再次求导亠窖"喲+屮?，再将*=0、-0越de=0代入可得I-.（10）计算limx12【答案】：-4【解析】：原式limndx1x2arctanx(11)设zflnx1y，其中函数f（u）可微则xzxzyy【答案】：0.zr1zr1zz【解析】：因为-f,f2,所以xyxxyyxy（12）微分方程ydx(x23y)dy0满足初始条件y|x=1的解为【答案】：x2y亠2dxc1dx1【解析】：ydx(x3y)dy03y-xdyydyyn0.所以x3y为一阶线性微分方程又因为y-dyey1dy3yeydy1,解得C0,故x3y2dyC(y3C)丄y2(13)曲线yx【答案】：1,0X(

7、X0)上曲率为2的点的坐标是【解析】：将y'2x1,y”2代入曲率计算公式，有|yI|yI2、3/2(1y)2321(2x1)2422整理有(2x1)21,解得x0或1,又x0,所以x1,这时y0,故该点坐标为1,0(14)设A为3阶矩阵,A(14)设A为3阶矩阵,A3,A*为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B,则*BA。【答案】：-27【解析】：由于B巳2A,故BA*E12AA*|A|E23E12,所以,|BA*|3E12|33|E12127*(1)27.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(15)(本题

8、满分10分)已知函数f(x)J丄，记asinxx,lim0f(x)(1)求a的值(2)若当x0时,f(x)xk的同阶无穷小，求k【解析】：(1)lim0f(x)x0xim0(总；1)xm0xsinx(2)，当x0时，由2x11f(x)af(x)1-sinxx11，即a1xsinxxsinx又因为,当x10时,Xsinx与x3等价,故f(x)(16)(本题满分10分)求fx,yxe22x一的极值。【解析】：1Fx,yxexy222先求函数的驻点.fxx,yex0,fyx,yy0，解得函数为驻点为e,0.又Afxxe,01,Bxye,00,Cyye,01所以B2AC0,A0,故fx,y在点e,0处

9、取得极大值fe,0e2.2（17）（本题满分10分）过点（0,1）点作曲线L:yInx的切线，切点为A,又L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB及x轴围成,求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。【解析】：一1设切点坐标为Ax0,lnx0，斜率为，所以设切线方程为X。InX。1xx0，又因为该切线过B（0,1）,X。所以x0e2,故切线方程为:y(2)13838383e2e2e2ln2xdxe2xln4e2e22xlne22lnixdxe2x12e2dx(18)(本题满分10分)计算二重积分xydD计算二重积分xydD，其中区域D为曲线r1cos0与极轴围成。【解析】：xydD160

10、sincos(2cos22221)cos82d21cosdrcosrsinrdr001440sincos(1cos)d119322sintcostdt162sintcostdt0088351615(19)(本题满分11分)已知函数f(x)满足方程f''(x)(19)(本题满分11分)已知函数f(x)满足方程f''(x)f'(x)2f(x)0及f'(x)f(x)2ex求表达式f(x)1) 求曲线的拐点yf(x2)0f(t2)dt【解析】：1) 特征方程为r2r20,特征根为A1,D2,齐次微分方程f(x)f(x)2f(x)0的通解为f(x)C1ex

11、C2e2x.再由f'(x)f(x)2ex得2C1exC2e2x2ex,可知C11,C20。故f(x)exx2xt2x2xt22x2xt22) 曲线方程为ye0edt,则y'12xe0edt,y''2x212xe0edt令y''0得x0。为了说明x0是y0唯一的解，我们来讨论y''在x0和x0时的符号。2X22X2当x0时,2x0,212x2eoetdt0，可知y”0;当x0时,2x0,212x2eoetdt0,可知y”0。可知x0是y0唯一的解。同时，由上述讨论可知曲线yf(x2)：f(t2)dt在x0左右两边的凹凸性相反，可知0

12、,0点是曲线2x2yf(x)0f(t)dt唯一的拐点。(20)(本题满分10分)证明：21XXxlncosx1,1x11x2【解析】：令fXxlncosx1X2乞，可得2所以xlnln1x1x2x2sinx1x1x1X2x1X12X1X12X1X12XInsinxxInsinxx1x1时，有ln1X10,T0,而1可知，xln-1cosx10,有In-0,即得xln11cosx（21）（本题满分11分)（1）证明方程xnxn1（2）记（1）中的实根为【解析】：(1)f(2)吓121,所以112xyxsinx0,x0,即得xln110,1cosx1，所以cosxx2xn1X2尹xsin1x2x0

13、,证明(J1(n啲整数）,在区间limXn存在,并求此极限。n意得：令f（x）1丄,1内有且仅有一个实根;2xn1x1,贝Uf(1)0,再由0,由零点定理得在（2,1）肯定有解x0，假设在此区间还有另外一根X1,nn1nn1所以XoXoXo1XXnxn1,由归纳法得到Nx0,即唯一性得证(2)假设根为xn,即f(xjXXnn1xn10,所以f(x,)Xn(1Xn")1011Xn,(2Xn1),nXnXnn1Xn10,可知Xn1Xn1。又由于一2Xn1也即Xn是单调的。则由单调有界收敛定理可知X收敛假设nimXna，可知ax2x11。当n时,limf(Xp)lim人（1Xn)1a10,

14、得limXn1nn1Xn1ann2由于&1召人110可知nn1Xn1Xn1Xn110（22）（本题满分11分）1a010a0011设A,b001a0a0010(I)求A(n)（n）已知线性方程组Axb有无穷多解，求a，并求Axb的通解。1a001a0a00【解析】：（01a0AdI)001a101aa(1)1a01a400101aa0011a0011a0011a00101a0101a0101a01001a0001a0001a0a001002a01a003a12aa1a00101a01001a00001a4aa2可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有1a40及aa20,可知a1。1100110010此时，原线性方程组增广矩阵为01101，进一步化为行最简形得01011001100011000000000001011可知导出组的基础解系为，非齐次方程的特解为11，故其通解为01k1101线性方程组Axb存在2个不同的解，有|A|0.010011即：A010(21)(1)0,得1或-111111X1X当1时，000X20,显然不符，故1.111X31(23)(本题满分11分)三阶矩阵_,A为矩阵A的转置,已知r(ATA)2,且二次型fxTAtAx。1) 求a求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。【解析】：1)由