2015考研数一真题及解析

1、2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题一、选择题：18小题,每小题4分，共32分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸.指定位置上(1)设函数f(x)在,内连续,其中二阶导数f(X)的图形如图所示,则曲线yf(x)的拐点的个数为(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】(C)【解析】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由f(x)的图形可得,曲线yf(x)存在两个拐点故选(C).1 2x1xx(2)设ye(x-)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程yaybycex的一3个特解，则()(A)a

2、3,b2,c1(B)a3,b2,c1(C)a3,b2,c1(D)a3,b2,c1【答案】(A)【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题一一已知解来确定微分方程的系数,此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法1 2x1x【解析】由题意可知，一e、-e为二阶常系数齐次微分方程yayby0的解,所以2,13为特征方程r2arb0的根，从而a(12)3,b122,从而原方程变为y3y2ycex,再将特解yxex代入得c1.故选(a)(3)若级数an条件收敛，则x,3与xn13依次为

3、幕级数nan(x1)n的(n1(A) 收敛点，收敛点(B) 收敛点，发散点(C) 发散点，收敛点(D) 发散点，发散点【答案】(B)【分析】此题考查幕级数收敛半径、收敛区间，幕级数的性质【解析】因为an条件收敛，即x2为幕级数an(x1)n的条件收敛点，所以an(x1)n的n1n1n1收敛半径为1,收敛区间为(0,2).而幕级数逐项求导不改变收敛区间，故nan(x1)n的收敛区间n1还是(0,2).因而x.3与x3依次为幕级数nan(x1)n的收敛点，发散点故选(B)n1(4)设D是第一象限由曲线2xy1，4xy1与直线yx，y3x围成的平面区域函数fx，y在D上连续，则fx，ydxdyD(A

4、)亍dsin21frcos,rsinrdr42sin21(B)3d:細n21frcos,rsinrdr42sin2(C)?d1sin21frcos,rsindr42sin21(D)3dsin21frcos,rsindr42sin21【答案】(B)【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分【解析】先画出D的图形，:r2sin2所以f(x,y)dxdyD3d4f(rcos,rsin)rdr,故选(B)(5)设矩阵Add2若集合1,2，则线性方程组Axb有无穷多解的充分必要条件为,d,d,d,d(A)(B)(C)【答案】aaaD【解析】(代b)dd2(a1)(a2)(d1)(d2)由r(A)

5、r(A,b)3,故a1或a2侗时1或d2。故选(D)(6)设二次型fX1,X2,X3在正交变换为X2Py下的标准形为2y12y2y3，其中e1,e2,e3,若Qu,e3,e2,则fx1,X2,X3在正交变换xQy下的标准形(A)2y122y2ya(B)2y；2y22Ya(C)2y；2y22ya(D)2y22y22Ys【答案】(A)【解析】由xPy，故f200PTAP010001.100QP001PCAx010TxT22(PAP)y2y1y?yf.且qtaqCt(PtAP)C所以fxTAxyT(QTAQ)y2y；y；y3。选(7)若A,B为任意两个随机事件，则(A)PABPAPB(B)(C)PA

6、BPAPB(D)2【答案】(C)【解析】由于ABA,ABB,按概率的基本性质而P(AB)P(A)2P(B)-(8)设随机变量X，丫不相关,且EX2,EY1,DX(A)3(B)3(C)5001(A)PABPAB3,贝UEXX我们有P(AB)PAPPAPP(A)且P(AB)P(B),从【答案】(D)【解析】EX(XY2)E(X2XY2X)E(X2)E(XY)2E(X)2D(X)E(X)E(X)E(Y)2E(X)32221225,选(D).、填空题：9-14小题,每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上(9)lim0x0(9)lim0x0lncosx2x1【答案】丄2【分析】此题考查-型未

7、定式极限01【答案】丄2【分析】此题考查-型未定式极限0，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换I解析】方法一：00詈I解析】方法一：00詈sinxlim瓦x02xlim旦x02x方法叫IKln(cosx)lMcosx1)cosx12x00【解析】帀sinxxdx21cosx(11)若函数zz(x,y)由方程e【答案】dx【分析】此题考查隐函数求导【解析】令F(x,y,z)ezxyzxcosx2，贝Usinx(10)2(-x)dx.21cosx2【答案】4【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简_22?xdx.04xyzxcosx2确定，则dz衡)又当x0,y所以

8、(0,1)(12)设(XFx(x,y,z)1时ez1,即Fx(0,1,0)Fz(0,1,0)平面xy2y3z)dxdydzyz10.1,zysinx,Fyxz,Fz(x,y,z)ezxy(0,1)空空0,因而dzFz(0,1,0)(0,1)dx.坐标平面平面所围成的空间区域，则1【答案】14，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算【分析】此题考查三重积分的计算【解析】由轮换对称性，得1(x2y3z)dxdydz6zdxdydz6zdzdxdy,0Dz其中Dz为平面zZ截空间区域所得的截面，其面积为丄(1z)2.所以2zdxdydz6'z-(1z)2dz0213230(z32z2z

9、)dz21020022(13)n阶行列式-:'-00220012【答案】2n12(x2y3z)dxdydz621020022Dn00220012【解析】按第一行展开得n1n12Dn1(1)2(1)2Dn122Dn122(2Dn22)22Dn2222n2n-2n122(14)设二维随机变量(x,y)服从正态分布N(1,0;1,1,0)，则PXYY0.【答案】limtx0kx2【解析】由题设知，XN(1,1),YN(0,1),而且X、Y相互独立，从而PXYY0P(X1)Y0PX10,Y0PX10,Y011111PX1PY0PX1PY0.22222三、解答题：1523小题，共94分请将解答写

10、在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(15)(本题满分10分)设函数xxaln(13x)bxsinx,g(x)kx,若fx与gx在x0是等价无穷小，求a,b,k的值.【答案】a1，b【解析】法一：原式xaln1xbxsinx3Xo3X-6Xbx33Xkxo3X-32X-2XaX叫HX4Xb-63Xa-32XXa3kx1a-3kQa-2o法二：limx0xaln1xbxsinxkx31bsinxbxcosxlim21x03kx2因为分子的极限为0则a1122bcosxbxsinx1xlimx06kx1,分子的极限为0,b2bsinxbsinxbxcosx1x3limx06k1

11、,ka1,b(16)(本题满分10分)设函数fx在定义域I上的导数大于零，若对任意的怡I，由线y=f点xo,fxo处的切线与直线x0及x轴所围成区域的面积恒为4,且f0x在的表达式.【答案】f(x)【解析】设fx在点Xo,fXo处的切线方程为：yf心fxoxXo,令yo,得到xxoxo,故由题意，fx02Xox4,即丄f2fxoxo4，可以转化为一阶微分方程x，可分离变量得到通解为:88xC,11已知y02,得到C,因此12yx4(17)(本题满分10分)已知函数fx,yxyxy，曲线C：x2y2xy3,求fx,y在曲线C上的最大方向导数【答案】3【解析】因为fx,y沿着梯度的方向的方向导数最

12、大，且最大值为梯度的模.x'x,y1y,fx,y1x,故gradfx,y1y,1x,模为.1y21x2此题目转化为对函数gx,y在约束条件C:x2y2xy3下的最大值.即为条件极值问题为了计算简单，可以转化为对为了计算简单，可以转化为对d(x,y)在约束条件C:x2xy3下的最构造函数:x,y,x2xy3Fx21Fx212xFy21Fx2Fy21Fx22y0，得到M11,1,M21,1,M32,1,M41,2.dM18,dxy3M20,dM39,dM4所以最大值为.93.(18)(本题满分10分)(I)设函数u(x),v(x)可导，利用导数定义证明(I)设函数u(x),v(x)可导，利

13、用导数定义证明ux)vx)u(x)vx)u(x)v(x)(ll)设函数q(x),u2(x)，un(x)可导，f(x)W(x)u2(x)un(x)，写出f(x)的求导公式.【解析】(I)u(x)v(x)XhXu叫Hhu(x)v(x)叫HlXhuu(xh)v(x)u(xh)v(x)u(x)v(x)hXrILVuhumoHhhu叫Hhu(x)v(x)u(x)v(x)(II)由题意得f(x)U!(X)U2(X)Un(x)U1(X)U2(X)-Und)Ui(x)U2(x)Un(x)Ui(X)U2(X)Un(X)（19）（本题满分10分)已知曲线r22L的方程为z2Xy,起点为A0八2,0,终点为B0,.

14、2,0,计算曲线zx,积分ILyzdx2222zxydy(xy)dz.722Xcos【解析】由题意假设参数方程y,2sinzcos【答案】冗nn2(、.2sincos)sin2sincos(1sin2)sind2nn22sin2sincos(1sin2)sind2n222sin2d0（20）（本题满11分）3设向量组a1,a2,a内R的一个基6=2a+2ka,$=2a,=a+k+1a.（I）证明向量组123为R3的一个基；（ii）当k为何值时，存在非0向量E在基aaa与基123下的坐标相同，并求所有的E.【答案】【解析】（I）证明：2321+2k3,22,1+k12011，2，30202k0k

15、12012102022kk1402k0k1故g,直，直为R3的一个基(II)由题意知，k11k22ks3即k111k222k33k121+2k3k2222k11+2k3k22k31+k即1+2k3,2,1+k30101即0100得k=02k0kk11k22k310k20,Kk30k11k13,k10(21)(本题满分11分)0有非零解1k22k33,030,k0,i1,2,3k31+k+1330023120133相似于矩阵B=0b012a031设矩阵A(I)求a,b的值;(II)求可逆矩阵P,使P1AP为对角矩阵【解析】(I)ABtr(A)tr(B)3aAB0231201330b012a031

16、ab1a42ab3b5(II)023A133123111231111231123C123123C的特征值120,340时(0EC)x0的基础解系为1(2,1,0)T;2(3,0,1)T5时(4EC)x0的基础解系为3(1,1,1)TA的特征值A1C:1,1,5231令P(1,2,3)1010111P1AP152xln2,x0,(22)(本题满分11分)设随机变量X的概率密度为fx0,x0.对X进行独立重复的观测，直到2个大于3的观测值出现的停止记Y为观测次数求Y的概率分布；(I) 求EY【解析】(I)记p为观测值大于3的概率,则pP(X3)32Xln2dxi32Xln2dxi17从而PYnC：ip(1p)n2p(n1)()2()n2,n2,3,88为Y的概率分布；(II)E(Y)nPYnn2n(nn2n(n1)(-8)n22(1x)3记S1(x)n(n1)xn21x1,则n2S/x)n(n1)xn2n2S2(x)n1n(n1)xn2xn(n1)xn2n2xS,(x)2x(1x)3Ss(x)n(n1)xnn2x2n(nn2n21)x2xS(x)2x2(1x)3所以S(x)s(x)2S2(x)S