高等数学练习图文

1、联络方式联络方式 Email: Tel: 86770204 办公室：工北办公室：工北413-2 82903705汕头大学理学院数学系汕头大学理学院数学系 陈燕明陈燕明第一章第一章 函数与极限函数与极限第一节第一节 函数函数一、基本概念1.1.集合集合: :具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.,21naaaA 所具有的特征所具有的特征xxM 有限集有限集无限集无限集,Ma ,Ma .,的的子子集集是是就就说说则则必必若若BABxAx .BA 记记作作数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q

2、-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:.,RQQZZN .,相相等等与与就就称称集集合合且且若若BAABBA )(BA ,2 , 1 A例如例如,0232 xxxC.CA 则则不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.)(记作记作例如例如,01,2 xRxx规定规定 空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.2.2.区间区间: :是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.,baRba 且且bxax 称为开区间称为开区间,),(ba记记作作bxax 称为闭区间称为闭区间,ba记作记作oxa

3、boxabbxax bxax 称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,),ba记作记作,(ba记作记作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义: :两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.3.3.邻域邻域: :. 0, 且且是两个实数是两个实数与与设设a).,( aU记记作作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径 . ),( axaxaUxa a a ,邻邻域域的的去去心心的的点点 a. 0),( axxaU,邻邻域域的的称称为为点点数数集集

4、aaxx 二、函数概念因变量因变量自变量自变量.)(,000处处的的函函数数值值为为函函数数在在点点称称时时当当xxfDx .),(称称为为函函数数的的值值域域函函数数值值全全体体组组成成的的数数集集DxxfyyW 数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域)(xfy 如如果果对对于于每每个个数数Dx ,()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素: : 定义域定义域与与对应法则对应法则.xyDW约定约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值.21xy 例例如如， 1 , 1 : D2

5、11xy 例例如如，)1 , 1(: D定义定义: :.)(),(),(的图形的图形函数函数称为称为点集点集xfyDxxfyyxC oxy),(yxxyWD 如果自变量在定如果自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是只有一个，这种函数叫做单值函数，否数叫做单值函数，否则叫与多值函数则叫与多值函数例例如如，222ayx (1) 符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyoxxx sgn(2) 取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3

6、4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x 0, 10, 12)(,2xxxxxf例例如如12 xy12 xy在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.例例2 2.)3(,212101)(的定义域的定义域求函数求函数设设 xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1, 3 : fD故故三、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX0 x,)(, 0,成成立立有有若若MxfXx

7、MDX 1函数的有界性函数的有界性:.)(否则称无界否则称无界上有界上有界在在则称函数则称函数Xxf2函数的单调性函数的单调性:,2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI ;)(上是单调增加的上是单调增加的在区间在区间则称函数则称函数Ixf),()()1(21xfxf 恒恒有有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI,)(DIDxf区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数)(xfy )(1xf)(2xfxyoI;)(上上是是单单调调减减少少的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf,)(DIDxf区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上上任

8、任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI ),()()2(21xfxf 恒恒有有3函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数有有对对于于关关于于原原点点对对称称设设,DxD )()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(为偶函数为偶函数称称xf有有对对于于关关于于原原点点对对称称设设,DxD )()(xfxf ;)(为奇函数为奇函数称称xf奇函数奇函数)( xf yx)(xfox-x)(xfy 4函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.2l 2l23l 23l,)(Dxf的的定定义义域域为为设设函函数数

9、如如果果存存在在一一个个不不为为零零的的)()(xflxf 且为为周周则则称称)(xf.)( ,DlxDxl 使使得得对对于于任任一一数数.)(,的的周周期期称称为为期期函函数数xfl.恒恒成成立立四、反函数0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函函数数oxyDW)(yx 反反函函数数o)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反反函函数数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy 五、基本初等函数1、幂函数幂函数)( 是是常常数数 xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 2、指数函数、指数函数)1, 0( aaa

10、yxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey 3、对数函数、对数函数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 4、三角函数、三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin xycos xycos 余弦函数余弦函数正切函数正切函数xytan xytan xycot 余切函数余切函数xycot 正割函数正割函数xxycos1sec xysec xxysin1csc 余割函数余割函数xycsc 5、反三角函数、反三角函数xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数xyarccos xyarccos 反余弦函数反余弦函数x

11、yarctan xyarctan 反反正正切切函函数数 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.xycot 反反余余切切函函数数arcxycot arc六、复合函数 初等函数1、复合函数、复合函数,uy 设设,12xu 21xy 定义定义:,自变量自变量x,中中间间变变量量u,因变量因变量y例例1 1).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求求设设解解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10时时当当 x, 0 x或或, 12)( xx;20 x, 0 x或或

12、, 11)(2 xx; 1 x,1)(20时时当当 x, 0 x或或, 12)( xx;2 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 01 x综上所述综上所述.2, 120011, 2,)(2122 xxxxxexexfxx 注意注意: :1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;,arcsinuy 例例如如;22xu )2arcsin(2xy 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.,2cotxy 例例如如,uy ,cotvu .2xv 2、初等函数、初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次由常数和基

13、本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.七、小结基本概念基本概念集合集合, 区间区间, 邻域邻域, 常量与变量常量与变量.函数的概念函数的概念函数的特性函数的特性有界性有界性, ,单调性单调性, ,奇偶性奇偶性, ,周期性周期性. .反函数反函数复合函数复合函数 初等函数初等函数思考题思考题设设0 x，函函数数值值21)1(xxxf ，求求函函数数)0()( xxfy的的解解析析表表达达式式.思考题解答思考题解答设设ux 1则则 2111uuuf ,112uu 故故)

14、0(.11)(2 xxxxf思考题思考题下下列列函函数数能能否否复复合合为为函函数数)(xgfy ，若若能能，写写出出其其解解析析式式、定定义义域域、值值域域,)()1(uufy 2)(xxxgu ,ln)()2(uufy 1sin)( xxgu思考题解答思考题解答2)()1(xxxgfy ,10| xxDx21, 0)( Df)2(不能不能01sin)( xxg)(xg的的值值域域与与)(uf的的定定义义域域之之交交集集是是空空集集.练练 习习 题题225tt 222)1(2)1(5 tt11练练 习习 题题(4,6)2, 0( ._1反反三三角角函函数数统统称称对对数数函函数数，三三角角函函数数和和、幂幂函函数数，指指数数函函数数，._)(ln31)(2的定义域为，则函数，的定义域为、函数xfxf一、填空题一、填空题:._32复合而成的函数为复合而成的函数为，、由函数、由函数xueyu .复合而成由、函数_2lnsin4xy 练练 习习 题题基本初等函数基本初等函数,3