高中数学第三章不等式33一元二次不等式及其解法学案新人教B版

1、3.3一元二次不等式及其解法学习目标1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式的方法.3.培养数形结合、分类讨论思想方法.尹预习导学上挑战自我，森点落实知识链接下列说法不正确的有.2(1)万程2x3x2=0有两个不等的实根；(2)方程x22x+1=0有一个实数根；(3)方程x2x+2=0没有实数根；(4)一元二次函数y=ax2+bx+c>0恒成立？'2A=b4ac<0；(5)一元二次函数y=ax2+bx+c<0恒成立？'2A=b2-4ac>0.答案(2)(5)解析(1)由于A>0,故正确；(2)由于A=0,

2、所以方程有两个相等实根，故错误；(3)由于A<0,故正确；(4)由于y>0,所以函数的图象在x轴上方，故正确；(5)由于y<0,所以函数的图象在x轴下方，则a<0,b2-4ac<0,故(5)错误.预习导引1. 一元二次不等式的概念(1) 一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式不等式，叫做一元二次不等式.(2) 一元二次不等式的一般表达形式为ax2+bx+c>0(aw0)或ax2+bx+c<0(aw。)，其中a,b,c均为常数.2 .二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系=b2-4acA>0A=0A<0y=ax2+bx+c(a

3、>0)的图象L|U以ax2+bx+c=0(a>0)的根后两相异实根x1,x2有两相等实根bx1=x2=2a没有实数根ax+bx+c>0(a>0)的解集x|x<x1或x>x2bx|x-aaRax2+bx+c<0(a>0)的解集x|x1<x<x2?3.一元二次不等式的解集设方程ax2+bx+c=0(aw0)有两个不等的实数根xi、X2,且xi<X2,则ax2+bx+c>0(a>0)的解集为x|x<xi或x*；ax2+bx+c<0(a>0)的解集为x|xi<x<x2.课堂讲义金重点难包个个击破

4、要点一一元二次不等式的解法例1求下列一元二次不等式的解集.x25x>6;(2)4x2-4x+1<0;3 3)-x2+7x>6.解(1)由x2-5x>6,得x2-5x-6>0. 1-x5x6=0的两根是x=-1或6. 原不等式的解集为x|x<1或x>6.(2)4x2-4x+1<0,即(2x1)20,方程(2x1)2=0的根为x=2.4x2-4x+1<0的解集为x|x=2.(3)由x2+7x>6,得x2-7x+6<0,而x27x+6=0的两个根是x=1或6. .不等式x27x+6<0的解集为x1<x<6.规律方法当

5、所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象.跟踪演练1解下列不等式：(1)2x2-x+6>0;(2) -1x2+3x-5>0;(5-x)(x+1)>0.解(1)二.方程2x2x+6=0的判别式=(1)24X2X6<0,2函数y=2xx+6的图象开口向上，与x轴无父点.，原不等式的解集为R(2)原不等式可化为x2-6x+10<0,A=62-40=-4<0,原不等式的解集为?.(3)原不等式可化为(x5)(x+1)w。，原不等式的解集为x|1wxW5.要点

6、二解含参数的一元二次不等式例2解关于x的不等式2x2+ax+2>0(aCR).解A=a216,下面分情况讨论：当A<0,即一4<a<4时，方程2x2+ax+2=0无实根，所以原不等式的解集为R当A>0,即a>4或aw4时，方程2x2+ax+2=0的两个根为1 212xi=4(aa16),x2=4(a+a16).当a=4时，原不等式的解集为x|xCR,且计1；当a>4或a<4时，原不等式的解集为12,12x|x<4(-a-3-16)或x>4(-a+pa16)；当a=4时，原不等式的解集为x|xCR,且xw1.规律方法含参数不等式的解题步

7、骤为：(1)将二次项系数化为正数；(2)判断相应的方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有两个相异实根，为了写出解集还要比较两个根的大小).另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0,这决定不等式是否为二次不等式.跟踪演练2解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(aR).解若a=0,原不等式等价于x+1<0,解得x>1.若a<0,则原不等式等价于(x1)(x-1)>0,解得x<1或x>1.aa若a>0,原不等式等价于(x：)(x1)<0.当a=1时，1=1,解(x1)(x1

8、)<0得，解集为？；aa当a>1时，<1,解(x1)(x1)<0得<x<1；aaa当0<a<1时，->1,解(x1)(x1)<0得1<x.aaa1,、综上所述：当a<0,解集为x|x<或x>1；当a=0时，解集为x|x>1；当0<a<1时，解集a11为x1<x<一；当a=1时，解集为？；当a>1时，解集为x<x<1.aa要点三三个“二次”间对应关系的应用例3已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2)，试求关于x的不等式bx2+ax+1>0的

9、解集.解由根与系数的关系，可得'即'不等式bx2+ax+1>0,就是2x23x+1>0.b=1X2,b=2,由2x23x+1>0,得(2x1)(x1)>0,所以x<g或x>1.，bx2+ax+1>0的解集为(一8,2)u(1,+8).规律方法一般求的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)的解集，先求出一元二次方程ax2+bx+c=0(aw0)的根，再根据函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集.跟踪演练3已知不等式ax2-bx+2<0的解集为x1<x<

10、;2,求a,b的值.解由题设条件知a>0,且1,2是方程ax2bx+2=0的两实根.a=1,b=3.ba=1+2,由根与系数的关系，可得2-=1X2,a当当检测L当堂训炼.悻验成功_1.不等式2x2x1>0的解集是()1A.(2,1)B.(1,+8)1C.(8,1)U(2,+OO)D.(8,2)U(1,+OO)答案D解析,2x2-x-1=(2x+1)(x-1),.由2x2x1>0得(2x+1)(x-1)>0,一,1解得x>1或x<-2,1.不等式的解集为(一8,2)U(1,+8).2.不等式一6x2X+2W0的解集是()A.x|钎x<-B.x|xw5或

11、x32321 3C.x|x>2D.x|x<2答案B解析-6x2-x+2<0,.-.6x2+x-2>0,(2x-1)(3x+2)>0,x>；或x<-2.233.若不等式ax2+8ax+21<0的解集是x|7<x<1,那么a的值是()A.1B.2C.3D.4答案C解析由题可知一7和一1为ax2+8ax+21=0的两个根，.一7X(1)=,a=3.a4.不等式x2+x2<0的解集为.答案(2,1)解析易得方程x2+x2=0的两根为一2,1,所以不等式x2+x2<0的解集为(一2,1).课堂小结11 .解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：化不等式为标准形式：ax2+bx+c>0(a>0),或ax2+bx+c<0(a>0)；求方程ax2+bx+c=0(a>0)的根，并画出对应函数y=ax2+bx+c图象的简图；由图象得出不等式的解集.(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.当m<n时，若(xm)(xn)>0,则可得x>n或x<nrj若(xm(xn)<0,则可得n<x<n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间.2 .含参数的一元二次型的