函数的最大最小值与导数

1、关于函数的最大最小值与导数现在学习的是第一页，共21页aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0复习复习:一、函数单调性与导数关系一、函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ,则则 为常数为常数.0)( xf)(xf设函数设函数y=f(x) 在在 某个区间某个区间 内可导，内可导，f(x)为为增函数增函数f(x)为为减函数减函数现在学习的是第二页，共21页二、函数的极值定义二、函数的极值定义设函数设函数f(x)在点在点x0附近有定义，附近有定义，如果对如果对X0附近的所有点，都有附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则则f(x0) 是函数是函数

2、f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y极小值极小值= f(x0)；oxyoxy0 x0 x函数的函数的极大值极大值与与极小值极小值统称统称 为为极值极值. 使函数取得极值的点使函数取得极值的点x0称为称为极值点极值点现在学习的是第三页，共21页2、求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：u求定义域u求导u求极值点u列表u写极值左正右负极大值，左负右正极小值左正右负极大值，左负右正极小值现在学习的是第四页，共21页导数的应用之三、导数的应用之三、求函数最值求函数最值. . 极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与极值是一个局部概念，极值只是某个

3、点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小它附近点的函数值比较是最大或最小, ,并不意味着它并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。在函数的整个的定义域内最大或最小。 在某些问题中，往往关心的是函数在整在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的我们通常所说的最值问题最值问题. . 现在学习的是第五页，共21页. 1图 xfy abxyo探究如何求出函数在探究如何求出函数在a,b上的最值？上的最值？ 取得？最大值与最小值在何处小值吗上有最大值、最它们在的图象上的函数观察中在图?,baxfyb

4、a现在学习的是第六页，共21页 观察右边一个定义在观察右边一个定义在区间区间a,b上的函数上的函数y=f(x)的图象：的图象：x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y yy=f(x) 发现图中发现图中 是极小值，是极小值， 是极大值，在区是极大值，在区间上的函数的最大值是间上的函数的最大值是 ，最小值是，最小值是 。f(x2)f(x1)f(x3)f(x3)f(b)1. “最值最值”与与“极值极值”有怎样的区别和联系呢？有怎样的区别和联系呢？2.怎样得到函数最值？现在学习的是第七页，共21页v“最值最值”与与“极值极值”的有怎样的区别和联系呢？的有怎样的区别和联系呢？v 、

5、“最值”是整体概念；而“极值”是个局部概念 v、从个数上看，一个函数在给定的闭区间【a，b】上的最值是唯一的；而极值可能有多个，也可能只有一个，还可能一个都没有； v、在极值点x0处的导数f（x0）=0，而最值点不一定，最值有可能在极值点取得，也可能在端点处取得。现在学习的是第八页，共21页 2.2.怎样得到函数最值？怎样得到函数最值？ x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y yy=f(x)1 1、函数、函数f(x)f(x)在在闭区间闭区间a,ba,b上的上的最值点在最值点在导数为零的点和区间的两个端点处取得导数为零的点和区间的两个端点处取得. . 2 2、只要把函数、

6、只要把函数f(x)f(x)在在闭区间闭区间a,ba,b上的所有极值点连同端点的上的所有极值点连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值。函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值。最大值最大值最最小值小值现在学习的是第九页，共21页导数的应用之三、导数的应用之三、求函数最值求函数最值. . (2) (2)将将y=f(x)y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)f(a)、f(b)(f(b)(端点处端点处) ) 比较比较, ,其中最大的一个为最大值，最小的其中最大的一个为最大值，最小的 一个一个为为最小值最小值. . 求求f(x)f(x)在在闭区间闭区间a,ba,b上的最值的步骤

7、上的最值的步骤(1)(1)求求f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内极值内极值( (极大值或极小值极大值或极小值) )现在学习的是第十页，共21页例例1 1、求函数求函数f(x)=xf(x)=x3 3 /3-4x+4/3-4x+4在区间在区间00，3 3 内的最大内的最大值和最小值值和最小值 由图表知：或解得：令所以解：因为22,0)( ,4)( ,4431)(22xxxfxxfxxxf34)2(3 , 0f为上没有极大值，极小值所以函数在.3443 , 0)(1)3(, 4)0(，最小值为上最大值是在因此，函数又xfff现在学习的是第十一页，共21页2 2、求函数、求函数f(x)

8、=3x-xf(x)=3x-x3 3 在区间在区间 -3-3，3 3 内的最大值和最小值内的最大值和最小值 练习练习 1 1、变式将区间变式将区间 00，3 3 改为改为-3,4-3,4 求函数的最大值和最小值求函数的最大值和最小值 f(x)f(x)最大值为最大值为f f（-2-2）=f=f（4 4）=28/3=28/3f(x)f(x)最小值为最小值为f(2)=-4/3f(2)=-4/3f(x)f(x)最大值为最大值为f f（1 1）=2=2f(x)f(x)最小值为最小值为f f（-3-3）=-36=-36现在学习的是第十二页，共21页典型例题典型例题 322( )262 2371a2( )2

9、2f xxxaf x例题 ：已知函数在， 上有最小值求实数 的值；求在， 上的最大值。反思：本题是由函数的最值求参数的值：反思：本题是由函数的最值求参数的值： 基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题从而解决问题. 21( )612f xxx解:(）( )002fxxx令解得或( 240,fa 又）40373aa 由已知得解得(2)(1)( )2,2fx由知在的最大值为3.(0),fa(2)8fa 现在学习的是第十三页，共21页一一. .函数极值与最值区别与联系函数极值与最值区别与联系二二.利用导数利用导数求函数最值的方法求函数最

10、值的方法课堂小结课堂小结现在学习的是第十四页，共21页求求f(x)在在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：上的最大值与最小值的步骤如下：:求求y=f(x)在在(a，b)内的极值内的极值(极大值与极小极大值与极小值值); :将函数将函数y=f(x)的各的各极值与极值与f(a)、f(b)作比较作比较, 其中最大的一个为最大值其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值最小的一个为最小值. 注意注意1) 函数的最值是函数的最值是整体性整体性的概念；的概念；2) 函数的最大值（最小值）函数的最大值（最小值）唯一唯一；3) 函数的最值函数的最值可在端点取得可在端点取得.总结总结现在学习的是第十五页，共21

11、页1 1f f( (x x) )= =2 2x x+ +- -1 1( (x x 0 0) ), ,x xf f( (x x) )设函数设函数 则则 （ ） A有最大值有最大值 B有最小值有最小值 C是增函数是增函数D是减函数是减函数A高考链接高考链接现在学习的是第十六页，共21页4、函数、函数y=x3-3x2，在，在2，4上的最大值为（上的最大值为（ )(A) -4 (B) 0 (C) 16 (D) 20C C现在学习的是第十七页，共21页1.习题答案习题答案练习（第练习（第3131页）页）2(1) ( )62f xxxmin149()1224ff max(2)20ff3(2) ( )27f xxxmax( 3)54ffmin(3)54ff 现在学习的是第十八页，共21页习题答案习题答案3(3) ( )6 12f xxx3(4) ( )3f xxxmax(2)22ffmin155()327ffmax(2)2ff min(3)18ff 现在学习的是第十九页，共21页已知已知a a为实数，为实数，（）求导数）求导数 ；（）若）若 ，求，求 在在-2-2，22上的上的最大值和最小值；