绝对值化简方法辅导

1、下面我们就人大附中初一学生的家庭作业进行讲解如何对绝对值进行化简首先我们要知道绝对值化简公式：例题 1：化简代数式|x-1|可令 x-1=0 ，得 x=1（1 叫零点值 ）根据 x=1 在数轴上的位置，发现x=1 将数轴分为3 个部分1）当 x<1 时， x-1<0 ，则 |x-1|=-(x-1)=-x+12）当 x=1 时， x-1=0 ，则 |x-1|=03）当 x>1 时， x-1>0 ，则 |x-1|=x-1另解，在化简分组过程中我们可以把零点值归到零点值右侧的部分1）当 x<1 时， x-1<0 ，则 |x-1|=-(x-1)=-x+12）当 x

2、1时， x-1 0，则 |x-1|=x-1例题 2：化简代数式|x+1|+|x-2|解：可令 x+1=0 和 x-2=0 ，得 x=-1 和 x=2（ -1 和 2 都是零点值 ）在数轴上找到 -1 和 2的位置，发现 -1 和 2 将数轴分为 5 个部分1）当 x<-1时， x+1<0，x-2<0 ，则 |x+1|+|x-2|=-（ x+1） -(x-2)=-x-1-x+2=-2x+12）当 x=-1时， x+1=0，x-2=-3，则 |x+1|+|x-2|=0+3=33）当 -1<x<2时， x+1>0，x-2<0 ，则 |x+1|+|x-2|=x

3、+1-(x-2)=x+1-x+2=34）当 x=2 时， x+1=3， x-2=0 ，则 |x+1|+|x-2|=3+0=35）当 x>2 时， x+1>0， x-2>0 ，则 |x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1另解，将零点值归到零点值右侧部分1）当 x<-1时， x+1<0，x-2<0 ，则 |x+1|+|x-2|=-（ x+1） -(x-2)=-x-1-x+2=-2x+12）当 -1 x<2 时， x+10， x-2<0 ，则 |x+1|+|x-2|=x+1-(x-2)=x+1-x+2=33）当 x 2时， x+1>0，x

4、-2 0，则 |x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1例题 3：化简代数式 |x+11|+|x-12|+|x+13|可令 x+11=0， x-12=0 ，x+13=0得 x=-11 ， x=12， x=-13 （ -13 ，-11,12 是本题零点值 ）1）当 x<-13时， x+11<0， x-12<0 ，x+13<0 ，则 |x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-122）当 x=-13时， x+11=-2 ， x-12=-25 ， x+13=0，则 |x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=403）当

5、 -13<x<-11 时， x+11<0， x-12<0 ， x+13>0，则 |x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+144）当 x=-11时， x+11=0， x-12=-23 ， x+13=2，则 |x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=255）当 -11<x<12 时， x+11>0， x-12<0 ， x+13>0，则 |x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+366）当 x=12 时， x+11=23， x-12=0 ， x+13=2

6、5，则 |x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=487）当 x>12 时， x+11>0 ，x-12>0 ， x+13>0，则 |x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12另解，将零点值归到零点值右侧部分1）当 x<-13 时， x+11<0，x-12<0 ， x+13<0，则 |x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-122）当 -13 x<-11 时， x+11<0， x-12<0 ， x+13 0，则 |x+11|+|x-12|

7、+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+143）当 -11 x<12 时， x+11 0， x-12<0 ， x+13>0，则 |x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+364）当 x12 时， x+11>0，x-12 0，x+13>0，则 |x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12例题 4：化简代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|解 : 令 x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0则零点值为x=1, x=2 ,x=3 ,x=4(1) 当 x 1 时， |

8、x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10（ 2）当 1x 2 时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8(3) 当 2x3 时， x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4（ 4)当 3x 4 时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2（ 5)当 x4时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10总结化简此类绝对值时，先求零点值，之后根据零点值将数轴分成的部分进行分布讨论，若有多个零点值时，可以将零点值归到零点值右侧部分进行化简，这样比较省时间同学们若不熟练可以针对以上 3 个例题反复化简 熟练之后再换新的题进

9、行练习习题：化简下列代数式|x-1|x-1|+|x-2|x-1|+|x-2|+|x-3|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|初一学生作业 - 绝对值中最值问题一例题 1: 1 ）当 x 取何值时， |x-1|有最小值，这个最小值是多少？2) 当 x 取何值时， |x-1|+3 有最小值，这个最小值是多少？3) 当 x 取何值时， |x-1|-3 有最小值，这个最小值是多少？4）当 x 取何值时， -3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？例题 2：1）当 x 取何值时， -|x-1|有最大值，这个最大值是

10、多少？2) 当 x 取何值时， -|x-1|+3 有最大值，这个最大值是多少？3) 当 x 取何值时， -|x-1|-3 有最大值，这个最大值是多少？4 ）当 x 取何值时， 3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？若想很好的解决以上2 个例题，我们需要知道如下知识点：、1）非负数：0和正数，有最小值是02）非正数：0和负数，有最大值是03）任意有理数的绝对值都是非负数，即|a| 0，则 - |a| 04） x 是任意有理数， m是常数，则|x+m| 0，有最小值是 0- |x+m| 0 有最大值是 0（可以理解为x 是任意有理数，则x+a 依然是任意有理数，如 |x+3| 0， - |x+

11、3| 0或者 |x- 1| 0，-|x- 1| 0）5） x 是任意有理数， m和 n 是常数，则|x+m|+n n，有最小值是 n-|x+m|+nn，有最大值是n( 可以理解为 |x+m|+n 是由 |x+m| 的值向右 (n>0) 或者向左（ n<0) 平移了 |n| 个单位，为如 |x- 1| 0，则|x- 1|+3 3，相当于 |x-1|的值整体向右平移了3 个单位， |x- 1| 0，有最小值是0，则 |x-1|+3的最小值是 3）总结 ：根据 3）、 4) 、 5）可以 发现，当绝对值前面是“+”时，代数式有最小值，有“”号时，代数式有最大值在没有学不等式的时候，很好的

12、理解（4）和（ 5）有点困难，若实在理解不了，请同学们看下面的例题答案，分析感觉下，就可以总结出上面的结论了）例题 1: 1 ）当 x 取何值时， |x-1|有最小值，这个最小值是多少？2) 当 x 取何值时， |x-1|+3 有最小值，这个最小值是多少？3) 当 x 取何值时， |x-1|-3 有最小值，这个最小值是多少？4 ）当 x 取何值时， -3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？解： 1）当 x-1=0时，即 x=1 时， |x-1|有最小值是 02）当 x-1=0时，即 x=1 时， |x-1|+3有最小值是 33）当 x-1=0时，即 x=1 时， |x-1|-3有最小值是

13、-34）此题可以将-3+|x-1|变形为 |x-1|-3可知和 3）问一样即当 x-1=0 时，即 x=1 时， |x-1|-3有最小值是 -3例题 2：1）当 x 取何值时， -|x-1|有最大值，这个最大值是多少？2) 当 x 取何值时， -|x-1|+3 有最大值，这个最大值是多少？3) 当 x 取何值时， -|x-1|-3 有最大值，这个最大值是多少？4 ）当 x取何值时， 3-|x-1| 有最大值，这个最大值是多少？解： 1）当 x-1=0时，即 x=1 时， -|x-1| 有最大值是 02 ）当 x-1=0时，即 x=1 时， -|x-1|+3有最大值是 33 ）当 x-1=0时，

14、即 x=1 时， -|x-1|-3有最大值是 -34)3-|x-1| 可变形为 -|x-1|+3 可知如2）问一样，即：当 x-1=0 时，即 x=1 时， -|x-1|+3有最大值是 3请同学们总结一下问题若 x 是任意有理数， a 和 b 是常数，则1） |x+a| 有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x 值是多少？2） |x+a|+b 有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x 值是多少？3) -|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x 值是多少？含有绝对值的代数式化简问题：化简代数式 |x+1|+|x-2|化简代数式 |x+1|+|x-2|化简代数式 |x+11|+

15、|x-12|+|x+13|初一学生作业 - 绝对值中最值问题二【例题 1】：求 |x+1|+|x-2|的最小值，并求出此时x 的取值范围分析： 我们先回顾下化简代数式|x+1|+|x-2|的过程：可令 x+1=0 和 x-2=0 ，得 x=-1 和 x=2（ -1和 2 都是零点值）在数轴上找到 -1和 2的位置，发现 -1 和 2将数轴分为5 个部分1）当 x<-1时， x+1<0，x-2<0 ，则 |x+1|+|x-2|=-（ x+1） -(x-2)=-x-1-x+2=-2x+12）当 x=-1时， x+1=0，x-2=-3，则 |x+1|+|x-2|=0+3=33）当

16、-1<x<2 时， x+1>0，x-2<0 ，则 |x+1|+|x-2|=x+1-(x-2)=x+1-x+2=34）当 x=2 时， x+1=3， x-2=0 ，则 |x+1|+|x-2|=3+0=35）当 x>2 时， x+1>0， x-2>0 ，则 |x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1我们发现：当 x<-1 时， |x+1|+|x-2|=-2x+1>3当 -1 x 2 时， |x+1|+|x-2|=3 当 x>2 时， |x+1|+|x-2|=2x-1>3所以：可知 |x+1|+|x-2| 的最小值是3，此时：-

17、1x 2解：可令 x+1=0 和 x-2=0 ，得 x=-1 和 x=2 （ -1 和 2 都是零点值）则当 -1 x2 时， |x+1|+|x-2| 的最小值是3评：若问代数式|x+1|+|x-2| 的最小值是多少？并求x 的取值范围？一般都出现填空题居多；若是化简代数式 |x+1|+|x-2| 的常出现解答题中。所以，针对例题中的问题，同学们只需要最终记住先求零点值，x 的取值范围在这2 个零点值之间，且包含2 个零点值请总结，若a>b，则请回答当x 在什么范围内时，代数式|x-a|+|x-b|有最小值，最小值是多少？【类似习题】求代数式|x-4|+|x-5|的最小值，并确定此时x

18、的取值范围【例题 1】：（ 1）若 |x-2| a，求 a 的取值范围是多少？（ 2）若 |x- 2| a，求 a 的取值范围是多少？【分析】： 我们知道|x-2|的最小值是0，则（1）有0 a，即可以求出a 的范围是a0，（ 2）0 a，即 a 0【解】 ：（ 1）不论x 为何值时 |x-2| 0 |x-2|有最小值是0 |x-2|a 0 a a 0（ 2）不论x 为何值时 |x-2| 0 |x-2|有最小值是0 |x-2|a 0 a a 0【总结】： 解决本题的关键是很好的理解绝对值的含义及找代数式的最值【例题 2】：（ 1）若 |x+1|+|x-2|>a，求 a 的取值范围是多少？

19、（2）若 |x+1|+|x-2| a，求 a 的取值范围是多少？【分析】 ：根据绝对值化简可以求出|x+1|+|x-2|的最小值是3，仿照例题1 可以求出a 的取值范围【解】 ：（ 1） x 取任意有理数时|x+1|+|x-2| 3 |x+1|+|x-2|的最小值是3 |x+1|+|x-2|>a 3>a a 3（ 2）（ 1） x 取任意有理数时|x+1|+|x-2|3 |x+1|+|x-2|的最小值是3 |x+1|+|x-2|a 3 a a 3【例题 3】：（ 1）若 |x+11|+|x-12|+|x+13|（ 2）若 |x+11|+|x-12|+|x+13|以顺利求出本题a 的

20、取值范围 a,求 a 的取值范围是多少？ a,求 a 的取值范围是多少？|x+11|+|x-12|+|x+13|2512【解】 ：不论x 为任何有理数时，|x+11|+|x-12|+|x+13| 25 |x+11|+|x-12|+|x+13|最小值是25 |x+11|+|x-12|+|x+13|a 25 a a 25(2)不论 x 为任何有理数时，|x+11|+|x-12|+|x+13|25 |x+11|+|x-12|+|x+13|最小值是 25 |x+11|+|x-12|+|x+13| a 25 a a25【练习】：1.(1)若 |x+3| a，求 a 的取值范围是多少？ (2) 若 |x+

21、3| a，求 a 的取值范围是多少？2.(1)若 |x+2|+|x-4|>a，求 a 的取值范围是多少？（ 2）若 |x+2|+|x-4| a，求 a 的取值范围是多少？3.(1 ）若 |x-7|+|x-8|+|x-9|>a，求 a 的取值范围是多少？（ 2）若 |x-7|+|x-8|+|x-9|a，求 a 的取值范围是多少？初一学生作业 - 绝对值中最值问题三【例题 1】：求 |x+11|+|x-12|+|x+13| 的最小值，并求出此时x 的值？分析：先回顾化简代数式 |x+11|+|x-12|+|x+13| 的过程可令 x+11=0， x-12=0 ，x+13=0 得 x=-

22、11 ， x=12， x=-13 （ -13 ，-11,12 是本题零点值 ）1）当 x<-13时， x+11<0， x-12<0 ，x+13<0 ，则 |x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-122）当 x=-13时， x+11=-2 ， x-12=-25 ， x+13=0，则 |x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=403）当 -13<x<-11 时， x+11<0， x-12<0 ， x+13>0，则 |x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=

23、-x+144）当 x=-11时， x+11=0， x-12=-23 ， x+13=2，则 |x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=255）当 -11<x<12 时， x+11>0， x-12<0 ， x+13>0，则 |x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+366）当 x=12 时， x+11=23， x-12=0 ， x+13=25，则 |x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=487）当 x>12 时， x+11>0 ，x-12>0 ， x+13>0，则 |x+11|+

24、|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12可知：当 x<-13 时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=-3x-12>27当 x=-13 时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=40当 -13<x<-11 时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=-x+14 ,25<-x+14 <27 当 x=-11 时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=25当 -11<x<12 时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=x+36,25<x+36<48当 x=12 时|x+11|+|x-

25、12|+|x+13|= 48当 x>12 时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+12>48观察发现代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25，此时 x=-11解：可令x+11=0， x-12=0 ， x+13=0 得 x=-11 ， x=12 ， x=-13 （ -13 ， -11,12是本题零点值）将 -11,12， -13 从小到大排列为 -13<-11<12可知 -11 处于 -13 和 12 之间，所以当x=-11 时， |x+11|+|x-12|+|x+13|有最小值是25评：先求零点值，把零点值大小排列，处于最中间的零点值即

26、时代数式的值取最小值。例题 4：求代数式 |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值分析 : 回顾化简过程如下令 x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0则零点值为x=1, x=2 ,x=3 ,x=4(1) 当 x 1 时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10（ 2）当 1x 2 时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8(3) 当 2x3 时， | x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4（ 4)当 3x 4 时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2（ 5)当 x4时， |x-1|+|x-2|+|

27、x-3|+|x-4|=4x-10根据 x 的范围判断出相应代数式的范围，在取所有范围中最小的值，即可求出对应的x 的范围或者取值解：根据绝对值的化简过程可以得出当 x 1 时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10 6当 1x 2时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+842x+86当 2x 3时， | x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4当 3x 4时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-242x-2 6当 x4时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x- 106则可以发现代数式的最小值是4，相应的

28、 x 取值范围是 2x3归档总结： 若含有奇数个绝对值，处于中间的零点值可以使代数式取最小值若含有偶数个绝对值，处于中间2 个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可以使代数式取最小值习题：求 |x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值，并求出此时x 的值，并确定此时初一学生作业 - 乘方最值问题知识点铺垫：x 的值或者范围？若 a 为任意有理数，则a2为非负数，即a20, 则 - a20可以判断出当a=0 时， a2有最小值是0， - a2有最大值是0问题解决：例题：（ 1）当 a 取何值时，代数式（ a-3)2 有最小值，最小值是多少？（ 2）当 a 取何值时，代数式 (a- 3)2+4

29、有最小值，最小值是多少？（ 3）当 a 取何值时，代数式 (a-3)2-4 有最小值，最小值是多少？（ 4）当 a 取何值时，代数式- （ a- 3)2有最大值，最大值是多少？（ 5）当 a 取何值时，代数式 - (a- 3)2+4 有最大值，最大值是多少？（ 6）当 a 取何值时，代数式 -(a- 3)2 -4 有最大值，最大值是多少？（ 7）当 a 取何值时，代数式 4- (a-3)2有最大值，最大值是多少？分析：根据a 是任意有理数时，a-3 也是任意有理数，则（ a-3)2为非负数，即 （ a-3)2 0，则 -（ a-3)2 0可以进一步判断出最值解 （1）当 a-3=0，即 a=3

30、 时，（ a-3)2有最小值是0（ 2）当 a-3=0，即 a=3 时，（ a-3)2+4 有最小值是 4（ 3）当 a-3=0，即 a=3 时，（ a-3)2-4 有最小值是 -4（ 4）当 a-3=0，即 a=3 时， -（ a-3)2有最大值是 4（ 5）当 a-3=0，即 a=3 时， -（ a-3)2+4 有最大值是 4（ 6）当 a-3=0，即 a=3 时， -（ a-3)2-4 有最大值是 4(7)4-（ a-3)2可以变形为 - (a-3)2+4，可知如（ 5）相同，即当 a-3=0，即 a=3 时， 4-（ a-3)2有最大值是 4（这里要学会转化和变通哦）评：很好理解掌握a

31、2即 -a2的最值是解决本题的关键归纳总结：若 x 为未知数， a,b 为常数，则当 x 取何值时，代数式 (x+a) 2+b 有最小值，最小值是多少当 x 取何值时，代数式 -(x+a)2+b 有最大值，最大值是多少例题 1: 1）当 x 取何值时， |x-1|有最小值，这个最小值是多少？2) 当 x 取何值时， |x-1|+3 有最小值，这个最小值是多少？3) 当 x 取何值时， |x-1|-3 有最小值，这个最小值是多少？4）当 x 取何值时， -3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？例题 2：1）当 x 取何值时， -|x-1|有最大值，这个最大值是多少？2) 当 x 取何值时，

32、-|x-1|+3 有最大值，这个最大值是多少？3) 当 x 取何值时， -|x-1|-3 有最大值，这个最大值是多少？4）当 x 取何值时， 3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？初一学生作业 - 绝对值 +乘方 =0涉及知识点： x2=0，则x=0 |y|=0，则 y=0 x 与 y 互为相反数，则x+y=0例题 1：根据下列条件求出a 和 b 的值(1) |a-1|=0(2)|a-1|+|b-2|=0(3)3|a-1|+5|b-2|=0(4)3|a-1|=-5|b-2|（ 5） |a-1| 与 |b-2| 互为相反数分析： 我们知道：若 |y|=0 ，则 y=0；若 y 为任意有理数

33、,m 为常数，则y-m 依然为任意有理数，则 |y| 0,|y- m|0两个非负数的和为 0，则两个数同时为 0，即 m0且 n0, 且 m+n=0，则 m=0且 n=0 这样我们可以根据以上知识点可以很好的解决本题解：（ 1） |a - 1|=0 a- 1=0 a=1（ 2） |a- 1| 0， |b- 2| 0，且 |a-1|+|b-2|=0 |a -1|=0 且|b-2|=0a-1=0 且 b-2=0 a=1， b=2(3 ）|a - 1| 0， |b- 2| 0， 3|a - 1| 0， 5|b- 2| 0 3|a -1|+5|b-2|=0 3|a -1|=0 且 5|b-2|=0a-

34、1=0 且 b-2=0 a=1， b=2（ 4） 3|a-1|=-5|b-2|可以变形为3|a-1|+5|b-2|=0解法同（ 3）得 a=1，b=2（ 5） |a -1| 与 |b-2| 互为相反数 |a -1|+|b-2|=0同（ 2）解得 a=1,b=2例题 2：根据下列条件求出（ 1)(a- 1)2=0a 和b 的值(2)(a-1)2+(b - 2)2=0(3)3(a-1)2+5(b - 2)2=0(4)3(a-1)2= -5(b- 2)2（ 5） (a- 1)2 与（ b- 2)2 互为相反数分析：若 a 为任意有理数，则a-1模仿例题1 可以顺利解决本题解：（ 1） (a - 1)

35、2=0和 b-2仍然为任意有理数，则a20，（ a- 1)2 0，（b- 2)2 0a-1=0 a=1（ 2） (a - 1)2 0， (b- 2)2 0且 (a- 1)2+(b - 2)2=0 (a - 1)2=0 且 (b- 2)2=0N a-1=0 且 b-2=0 a=1 且 b=2(3) (a - 1)2 0， (b- 2)2 0 3(a - 1)2 0， 5(b- 2)2 0 3(a - 1)2+5(b - 2)2=0 3(a - 1)2=0 且 5(b- 2)2=0a-1=0 且 b-2=0 a=1 且 b=2（ 4）将 3(a- 1)2= -5(b- 2)2 变形为3(a- 1)

36、2+5(b - 2)2=0 同（ 3）解得 a=1 且 b=2（ 5）（ a- 1)2 与（ b- 2)2 互为相反数（ a- 1)2+ （ b- 2)2=0同（ 2）解得 a=1， b=2例题 3：根据下列条件求出a 和 b 的值（ 1） |a-1|+(b-2)2=0（ 2） 3|a-1|+5(b-2)2=0（ 3） 3|a-1|=-5(b-2)2（ 4） |a-1| 与 (b- 2)2 互为相反数解（ 1） |a - 1| 0， (b- 2)2 0 且 |a-1|+(b-2)2=0 |a -1|=0 且 (b- 2)2=0a-1=0 ，且 b-2=0 a=1 且 b=2(2) |a - 1

37、| 0， (b- 2)2 0 3|a - 1| 0， 5(b- 2)2 0 3|a -1|+5(b- 2)2=0 3|a -1|=0 且 5(b- 2)2=0a-1=0 ，且 b-2=0 a=1 且 b=2（ 3） 3|a-1|=-5(b-2)2 可以变形为3|a-1|+5(b-2)2=0 解法同（ 2）解得 a=1 且 b=2（ 4）|a -1| 与 (b- 2)2 互为相反数 |a -1|+(b- 2)2=0同（ 1）解得 a=1， b=2初一学生作业 - 解含绝对值的方程例题：解下列方程（ 1） |x|=4(2 ） |x-1|=4(3)|x|-4=0(4)3|x|-12=0解：（ 1）

38、x=4 或 x=-4(2)x-1=4或 x-1=-4解得 x=5 或 x=-3（3)|x|-4=0变形得 |x|=4如（ 1） x=4 或 x=-4（ 4） 3|x|-12=0移项得 3|x|=12化简得 |x|=4解得 x=4 或 x=-初一学生作业 - 两点间距离问题需要知识点：数字上有点 A 和点 B，点 A 和点 B 之间距离表示为“ AB” 例题 1：根据下列条件求出点 A 和点 B 之间的距离（ 1) 点 A 表示的数为 3，点 B 表示的数为 7（ 2) 点 A 表示的数为 -3 ，点 B 表示的数为 -7（ 3) 点 A 表示的数为 -3 ，点 B 表示的数为 7（ 4) 点

39、A 表示的数为 a，点 B 表示的数为 b，且点 A 在点 B 左侧（ 5) 点 A 表示的数为 a，点 B 表示的数为 b，且点 A 在点 B 右侧（ 6) 点 A 表示的数为 a，点 B 表示的数为 b分析：画一条数轴，找到点A 和点 B 的具体位置或者与原点之间的位置，可以计算出两点间距离解：（ 1） AB=7-3=4 或 AB=|3-7|(2)AB=-3-(-7)=4或 AB=|-7- （ -3 ）|(3)AB=7-(-3)=10或 AB=|-3-7|(4)AB=b-a（ 5） AB=a-b（ 6） AB=|a-b| 或 AB=|b-a|总结：数轴上两点间距离即表示两点的数之差的绝对值

40、或表示右侧点的数- 表示左边点的数即：点 A 表示的数为 a，点 B 表示的数为 b，则 AB=|a-b| 或 AB=|b-a| 初一数学：绝对值中最值问题四1. 绝对值的含义是：在数轴上 , 一个数与原点的距离叫做该数的绝对值2. 数轴上两点间距离等于两点对应数值之间差的绝对值3. |x-a| 可以看成是数轴上表示数 x 的点到表示数 a 的点之间的距离例题 1：求 |x-2|的最小值，并求出相应的x 值分析：若点A 对应数 x，点 B 对于数 2 ， |x-2|表示 AB之间的距离当点 A 在点 B 左侧时候， AB 0当点 A 和点 B 重合时， AB=0当点 A 在点 B 的右侧时，

41、AB 0可知当点 A 和点 B 重合时， AB 最小值是0解：当 x-2=0 时，即 x=2 时， |x-2|有最小值是例题 2：求 |x+1|+|x-2|的最小值，并求出此时0x 的取值范围分析：将 -1 和 2 在数轴上表示出来如图设点 A 对应数 -1 ，点 B 对应数 2，点 C 对应数 x ，则 AC=|x+1| ， BC=|x-2| 当点 C 在 A 左侧如图 AC+BC= =AC+AC+AB=2AC+ABAB当点 C 在点 A 和点 B 之间如图 AC+BC=AB当点 C 在点 B 右侧如图AC+BC=AB+BC+BC=AB+2BCAB可知 AC+BC最小值为AB=3，即点 C

42、在点解：令 x+1=0x-2=0得 x=-1x=2当 - 1x2 时， |x+1|+|x-2|有最小值是A 和点3B 之间时，总结，如 代数式 |x-a|+|x-b| 的最小值即为表示数例题三 ：求 |x+11|+|x-12|+|x+13| 的最小值，并求出此时分析：在数轴上表示出 A 点-13 ， B 点-11 ， C 点 12a 的点到表示数x 的值？设点 D 表示数 xb 的点之间的距离, 即 |a-b|则 DA=|x+13| DC=|x+11| DB=|x-12|当点 C 在点 A 左侧如图DA+DB+DC=DA+DA+AB+DA+AB+BC =AC当点 A 与点 D 重合时， DA+

43、DB+DC=AB+ACAC当点 D在点 AB之间时，如图DA+DB+DC=DA+DB+DB+BCAC当点 D 与点 B 重合时， DA+DB+DC=AB+AC=AC当点 D在 BC之间如图DA+DB+DC=AB+BD+DB+DC=AC+BD当点 D 与点 C重合时， DA+DB+DC=AC+BCAC当点 D在点 C 右侧时 DA+DB+DC=AC+CD+BC+CD+CD综上可知 当点 D 与点 B 重合时，最小值是 AC=12-（ -13 ） =25 解：令 x+11=0 x-12=0 |x+13=0则 x=-11 x=12 x=-13将 -11 ， 12 ， -13 从小到大排练为 -13

44、-11 12当 x=-11 时， |x+11|+|x-12|+|x+13| 的最小值是点 A （ -13）与点 C（ 12)之间的距离即 AC=12-(-13)=25 初一数学 : 绝对值最值问题五【需要理论知识推倒过程】化简代数式(1) |x-2|（ 2）|x+1|+|x-2|（ 3） |x+11|+|x-12|+|x+13|初一数学：绝对值- 含有绝对值代数式的最值问题五（精华篇）【例题】|x-1|的最小值|x-1|+|x-2|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的

45、最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|+|x-10|的最小值【分析】：结合上几篇博文内容我们知道|x-1|的几何意义是数轴上数x 到 1 之间

46、的距离|x-1|+|x-2|的几何意义是数轴上数x 到 1 的距离与数x 到 2 之间距离的和|x-1|+|x-2|+|x-3| 的几何意义是数轴上数x 分别到 1、 2、 3 之间距离的和|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|+|x-10|的几何意义是数轴上数x 分别到1、 2、 3、 4、5、6、 7、 8、9、 10之间距离的和根据以上几篇博文的化简我们知道当 x=1 时， |x-1|有最小值是 0当 1 x2 时， |x-1|+|x-2|的最小值是 1 等价于数 1 和数 2 之间的距离 2-1=1当 x=2 时， |

47、x-1|+|x-2|+|x-3| 的最小值是2 等价于数 1 和数 3 之间的距离3-1=2当 2 x3 时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4| 的最小值是 4 等价于求（ |x-1|+|x-4| ） +|（ x-2|+|x-3| ）的最小值即（ |x-1|+|x-4|）的最小值 +|（ x-2|+|x-3| ）的最小值 =（ 4-1）+（ 3-2） =3+1=4我们可以总结出若含有奇数个绝对值时，处于中间的零点值可以使代数式取最小值若含有偶数个绝对值时，处于中间 2 个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可以使代数式取最小值或者说将含有多个绝对值的代数式用捆绑法求最值也可以若

48、想求出最小值可以求关键点即可求出【解】：当 x=1 时， |x-1| 的最小值是 0当 1 x2 时， |x-1|+|x-2|的最小值 1当 x=2 时， |x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值 2=2+0当 2 x3 时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值 4=3+1当 x=3 时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值 6=4+2当 3 x4 时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|的最小值 9=5+3+1当 x=4 时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|的最小值 12=6+4+2当 4 x5 时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|的最小值 16=7+5+3+1当 x=5 时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值 20=8+6+4+2当 5 x6 时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|