高中数学高一上册复习资料

1、第一章集合与简易逻辑一、集合：1 .集合的定义：集合的表示方法：数集：N,N,Z,Q,R,C（复数集）集合的特性：2 .元素与集合的关系：集合与集合的关系：空集是任何集合的,是任何非空集合的。任何一个集合都是他自身的。集合a湖2,23,|,4的子集个数有个，真子集有个，非空真子集有个。当AB时，一般要分A与A两种情况。3 .交集是指A与B中公共元素构成的集合，AAB=x|并集是指所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合，AUB=x|一般采用画出数轴来求两个集合的交集或并集。有关系式：若AHB=A,则;若AUB=A则；（CuA）n（CuB）、（CuA）U（CuB）。二、不等式解法：1.绝对值不

2、等式解法:a0a=0a0|x|a的解集 | ax b | m(m 0)m ax b m |axb|m(m0)axbm或axbm公Iaxb|n n|axb|m|axb|m2.二次不等式：ax2bxc0(ax2bxc0)与二次函数yax2bxcax b0 (ax b)(cx d) 0 cx dax b 0 (ax b)(cx d) 0cx d cx d 0以a0为例b24ac0002yaxbxc的图象方程ax2bxc0的根2,一，A一axbxc0的解2axbxc0的解3.分式不等式:形如x-c类型的可移项土c0化简来解。xbxb4.简单高次不等式：利用数轴标根法求解集。5.指数不等式：af(x)a

3、g(x)0 a 1时,a 1时,6.对数不等式：logaf(x)logag(x)可转化为不等式组当0a1时,解指数不等式，对数不等式时，必须考察函数的单调性问题，特别注意不能忽视了对数的真数必须大于0,不等式的解集必须用集合或区间表示出来。三、逻辑联结词：或（并集）、且（交集）、非（补集）1 .命题可分为真命题、假命题，也可以分为简单命题、复合命题。复合命题形式有“p或q”，“p且q”，“非p”三种形式。2 .复合命题的真值表。Pqp或qp且q非p真真真假假真假假3.四种命题的关系：原命题，若p则q互逆逆命题，若q则pdJ逆否I1r1F否命题，若p则q互逆逆否命题，若q则p 原命题为真，则其逆

4、命题与否命题不一定为真，而其逆否命题一定为真。 互为逆否命题的真假相同，逆命题与否命题的真假相同。4.充要条件：若AB但BA,则A是B的条件。若AB但BA,则A是B的条件。若AB,则A是B的条件。若AB且BA,则A是B的条件。四、恒成立问题:21. axbx0恒成立,可令f(x)2axbx c,函数图象恒在x轴上方。等价于:2.ax2bx0恒成立,等价于:例：已知不等式(a2 1)x22(a 1)x0恒成立(或解集为求a的取值范围。第二章函数一、函数yf(x)及有关性质。1 .函数定义：yf(x)中，自变量x的取值范围为函数的定义域。当xa时，yf(a)叫函数值。所有函数值的集合叫做函数的值域

5、。2 .映射的定义：f:AB两个允许：两个不允许：3 .同一函数：相同。相同。值域相同。(可由得)4 .函数定义域求法：使函数有意义的条件。整式函数(一次函数、二次函数)定义域为Ro分式函数的分母不为0。偶次根式函数，被开放数大于或等于0。(J7而的f(x)0)对数函数的底数大于0且不等于1,真数大于0。有多个限制条件的转化为不等式组求定义域。5 .函数的单调性：定义：逆运用：(x)g(x)当yf(x)在区间m,n上为增函数时，若f(x)fg(x)则有：(x)ng(x)m(x)g(x)当yf(x)在区间m,n上为减函数时，若f(x)fg(x)则有：(x)mg(x)n常用函数的单调性：I.一次函

6、数ykxb,当k0时为增函数；当k0时为减函数。n.二次函数yax2bxc,当a0时在(，B为减函数；在,)为增函数。2a2abb当a0时在(，一为增函数；在一，)为减函数。与开口方向和对称轴有关。2a2a11出.反比例函数y在，0与0,上均为减函数；y在,0与0,上均为增函数。w.yaxa0且a1,当0a1时为减函数；当a1时为增函数。v.ylogaxa0且a1,0a1时，在0,上为减函数；当a1时，在0,上为增函数。6.反函数：求函数yf(x)的反函数的方法：(1)先根据原函数的定义域求出其值域由yf(x)解出x(y)(3)将x(y)中的x,y互换，即得反函数yf1(x)标明定义域有关性质

7、：(1)原函数yf(x)与反函数yf1(x)的定义域和值域正好互换，原函数过点a,b,则反函数过点b,a。(2)互为反函数的图象关于yx成轴对称图形。(3)原函数与反函数的单调性相同。7 .函数得奇偶性：存在奇偶性得条件时定义域必须关于原点对称，在定义域内，将x换成x后(1)若f(x)f(x),则yf(x)为偶函数。(2)若f(x)f(x),则yf(x)为奇函数。有关性质：(1)偶函数得图象关于y轴对称，在对称区间上的单调性相反。(2)奇函数得图象关于原点对称，在对称区间上的单调性相同。8 .求函数值域的基本方法(1) 利用函数的单调性求值域：若yf(x)在m,n上为增函数则其值域为f(m),

8、f(n)若yf(x)在m,n上为减函数则其值域为f(n),f(m)。(2)配方法：二次函数2y axbx c( b、2a(x 一) 2a4ac b24a当a0时，有最小值4ac b24ac b2,值域为 ,4a4a当a 0时,有最大值24ac b4a4ac b24a(3)反表示法：即利用反函数的定义域既为原函数的值域。例如：求2x 12一1的值域。2x 1(4)换原法：还原注意新元素的范围。例如：求yx的值域。(5)判别式法：形如:二次方程有解,a1x2b1x0类型，可转化为关于x的axbxc0求值域。(6)图象法。9.周期性：若函数yf(x)对于最小正周期T,使f(x T) f(x),则称T

9、为函数yf(x)的最小正周期。10.对称性：若f(t x) f(t x)则称xf (x)的对称轴(一)指数1根式与分数指数塞：nla运算法则:mana.mab2指数函数的图象和性质：yaxa0且a1yxaa1yxa0a1图象性定义域值域定点质单调性增函数减函数3指数方程：(1)af(x)ag(x)f(x)g(x)(化成底数相等)(2) (ax)2maxn0可换元后求解，令tax(t0)4指数复合函数的单调性：yau(x)(1) 0a1时，yau与u(x)的单调性相反(2) a1时，yau(x)与u(x)的单调性相同(一致)(二)对数函数1 对数式与指数式互化：abNlogaNb；loga1lo

10、gaalogaan2 对数的运算法则：logaMlogaNlogaMlogaNlogaMnloganm对数恒等式：alogaN换底公式：logabgcblogabmlog1-lgaab1logab3对数函数ylogaxa0且a1的图象和性质ylogaxa1ylogax0a1图象性定义域值域定点质单调性增函数减函数(1)当a与b都大于1或都小于1时，logab0(2)当a与b一个大于1另一个小于1时，logab0f(x)g(x)4对数方程：logaf(x)logag(x)f(x)0g(x)05对数函数复合形式的单调性：ylogau(x)在u(x)0的定义域内(1) 0a1时，ylogaU(xu(

11、x*WE,(2) a1时，ylogau(x)与u(x)的单调性相同。三二次函数yax2bxca0,判别式b24ac,21 yaxbxc与x轴的交点个数：(1)0,有个交点(2)0,有个交点，(3)0,无交点。当0时，方程ax2bxc0有两个实根：为？2。则由韦达定理(根与系数的关系)知：x1x2,x1x22 一元二次方程ax2bxc0实根问题(以a0为例)x1x200(1)有两止根x1x200或f(0)0-B02a问题：(1)当m时，函数在m,n上为增函数。yminf(m),ymaxf(n)；2a(2)当m2a当mn(4)2a例：已知f(x)11If(x)23xf(1)时。yminn时。ymi

12、nf(Wf(F2a),ymax)，ymax2a3x22(a13时，函数在2(a1)x1)xa2af(n)；f(m)；m,n上为减函数。ymina2在x1,1的对称轴为132af(n),ymaxf(m)。上的最小值为13,求a的值.f(1)1313(12a综上所述：满足条件的a2a)四图象变换，设a0,b1.平移:yf(x)向右平移a个单位22(a1)1320132a12a13f(xa),yf(x)向左平移a个单位f(xa)2.yf(x)向上平移b个单位f(x)b,yf(x)向下平移b个单位f(x)3.对称：yf(x)关于痔由对称yf(x),yf(x)关于y轴对称f(x)f(x)关于原点对称x)

13、4.yf(x)保留x轴上方的图象,把下方图象对称到上方f(x)上/、关于y轴对称，保留y轴右边的图象上J、yf(x)yf(x)五复合函数：1若函数yf,t(x),则称yf(x)为关于x的复合函数。(1) t(x)为内函数，yf(t)为外函数。(2) t(x)的值域，既为yf(x)的定义域。2已知yf(x)的表达式，求yf(x)的表达式，可采用换元或凑项的方法。例：已知函数f(、.x1)x2%x,求f(x)(法一)：令tJx1,则Jxt1,xt12f(t)t122t1t21,既f(x)=x21(法二)：ff(Vx1)x2lxJx11,整体替换，将&1换成xf(x)x213已知yf(x)的定义域，

14、求yf(x)的定义域例已知yf(x22)的定义域为x1,3,求yf(x)的定义域解：yf(x22)的定义域为x1,3,令tx22,则值域为t-1,7将t换成x,yf(x)的定义域为-1,7。4复合函数的单调性规律yf(t)增增减减t(x)增减增减yf(x)增减减增第三章数列一、数列的基本知识：1 .数列的定义：2 .数列的基本表示方法：ai,a2,a3an3 .通项公式：anf(n)，用含有n的代数式表示an。4 .数列an的前n项和Snaia?a3an(n1),Sn 1a1 a2 a3an 1(n 2) ， S1 a1已知数列%的前n项和Sn,求an的方法:n=1时，aiSi；n2时，anS

15、nSni验证，Si(ni)Si是否适合an，若适合，则anSnSni；若不适合，则anSnSni(n2)也可以判断S0 是否等于0， 若S00则 anSnSn i； 若 S00 ， anSi(n i)SnSn i(n 2)n 的一次函数)(关于 n 的二次函若 m+n=2k,则:二、等差数列an1. 定义：即：ananid(n2)，首项为ai，公差d。2. 通项公式：an=前n项和公式：Sn=数，不含常数项)可化为Snan2bn。3. 等差数列的性质：anam(nm)d若m+n=p+q贝U：八ankankan2 Sk,S2k Sk,S3kS2k仍成等差数列若ai0,d0,则数列为为数列。前n项和有值。满足：，找分界项。(也可以用二次函数特点求)若al0,d0,则数列an为数列。前n项和有值。满足：，找分界项。(也可以用二次函数特点求)例：已知等差数列an的首项为31,公差为-4,求Sn的最大值。若等差数列an共有2n+1项，则%(n1)(a2a2n1)an1,on(a2a2n)coS偶2ani，S奇q禺(2n1)(aia2ni)S2n+1an12.、等比数列an。1 .定义：a即：q,首项a1,公比为q(qw0)。an1前n项和公式：Sn2 .通项公式：a