有限单元法-第二章

1、第二章济南大学机械工程学院材料力学与弹性力学材料力学与弹性力学课程学习的是有限单元法在弹性力学问题中的应用。课程学习的是有限单元法在弹性力学问题中的应用。弹性力学的某些基本概念和基本方程弹性力学的某些基本概念和基本方程。 (1)(1)研究的对象：研究的对象：有相同也有区别。有相同也有区别。 材料力学：基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状材料力学：基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。 弹性力学：研究杆状构件，材料力学无法研究的弹性力学：研究杆状构件，材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺板与壳及其它实体结构

2、，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。寸，或三个尺寸相当的构件。(3)(3)研究的方法：研究的方法：有较大的区别。有较大的区别。 虽然都从材料力学是对构件的整个截面来建立静力虽然都从材料力学是对构件的整个截面来建立静力学、几何学与物理学条件的，要引用一些截面的变形状学、几何学与物理学条件的，要引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。结果近似的，不精确。况或应力情况的假设。结果近似的，不精确。 弹性力学是对构件的无限小单元体来建立静力学、几弹性力学是对构件的无限小单元体来建立静力学、几何学与物理学条件的，无须引用假设，分析方法较严密，何学与物理学条件的，无须引用假设，分析方法较严密

3、，结果比较精确。结果比较精确。 (2)(2)研究的内容：研究的内容：基本上没有什么区别。基本上没有什么区别。 弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。以及由此产生的应力和变形。材料力学与弹性力学材料力学与弹性力学内内 容容 结结 构构 弹性力学弹性力学就是研究弹性体在约束和外载荷作用下应就是研究弹性体在约束和外载荷作用下应力和变形分布规律。力和变形分布规律。 在弹性力学中针对微小单元建立基本方程，把复杂的在弹性力学中针对微小单元建立基本方程，把复杂的形状弹性体的形状弹性体的受力和变形分析受力和变形分析问题归结为问

4、题归结为偏微分方程偏微分方程组。组。 弹性力学的基本方程包括弹性力学的基本方程包括平衡方程、几何方程、物理平衡方程、几何方程、物理方程。方程。弹塑性力学：弹塑性力学：是研究可变形固体受到外载荷或温度变是研究可变形固体受到外载荷或温度变化等因素的影响而发生的力学响应，是研究固体在外化等因素的影响而发生的力学响应，是研究固体在外力作用下产生力作用下产生变形、流动和断裂变形、流动和断裂的一门科学。的一门科学。 假设物体是连续的，没有任何空隙。因此，物体内的应力假设物体是连续的，没有任何空隙。因此，物体内的应力、应变、位移一般都是逐点变化的，坐标的单值连续函数。、应变、位移一般都是逐点变化的，坐标的单

5、值连续函数。物体内的一些物理量（如物体内的一些物理量（如应力、应变应力、应变等等）连续，能用坐标等等）连续，能用坐标的连续函数来表示它们的变化规律。的连续函数来表示它们的变化规律。1. 1. 连续性假定连续性假定2. 完全弹性假定完全弹性假定 假定物体满足假定物体满足虎克定律虎克定律：应力与应变间的比例常数称为应力与应变间的比例常数称为弹弹性常数。性常数。弹性常数不随应力或应变的大小而变。由材料力学弹性常数不随应力或应变的大小而变。由材料力学已知：脆性材料在应力未超过已知：脆性材料在应力未超过比例极限比例极限以前，认为近似的完以前，认为近似的完全弹性体；而韧性材料在应力未达到全弹性体；而韧性材

6、料在应力未达到屈服极限屈服极限以前，认为是以前，认为是近似的完全弹性体。近似的完全弹性体。所谓所谓理想弹性体理想弹性体，是指符合下述四个假定的物体，即，是指符合下述四个假定的物体，即 ： 假定整个物体是由假定整个物体是由同一材料同一材料组成的。这样，整个物体组成的。这样，整个物体的的所有各部分才具有所有各部分才具有相同的弹性相同的弹性，各部分都具有相同的各部分都具有相同的物理性质，其弹性模量和泊松系数是一常数。物理性质，其弹性模量和泊松系数是一常数。 假定物体的假定物体的弹性弹性在在各方向各方向都是都是相同相同的。即物体的的。即物体的弹性常弹性常数不随方向而变化数不随方向而变化。对非晶体材料，

7、完全符合这一假定。对非晶体材料，完全符合这一假定。而木材、竹材等作成的构件，不能当作各向同性体来研究而木材、竹材等作成的构件，不能当作各向同性体来研究。至于钢材构件，虽然其内部含有各向异性的晶体，但晶。至于钢材构件，虽然其内部含有各向异性的晶体，但晶体非常微小，并且是随机排列的，从统计平均意义上讲，体非常微小，并且是随机排列的，从统计平均意义上讲，钢材构件的弹性基本上是钢材构件的弹性基本上是各向同性各向同性的。的。3. 3. 均匀性假定均匀性假定4. 4. 各向同性假定各向同性假定 上述假定，都是为了研究问题的方便，根据研究对象上述假定，都是为了研究问题的方便，根据研究对象的的性质、结合求解问

8、题的范围，作出的基本假定，使得问题性质、结合求解问题的范围，作出的基本假定，使得问题的求解成为可能。的求解成为可能。 在弹性力学中，所研究的问题主要是在弹性力学中，所研究的问题主要是理想弹性体的线性理想弹性体的线性问题问题。研究。研究的问题限定在线性范围的问题限定在线性范围，需要，需要作出作出小位移小位移和和小变小变形形的假定。的假定。 假设物体的变形是微小的，即物体受力后，所有各点的假设物体的变形是微小的，即物体受力后，所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，应变都很小。这样，在位移都远小于物体的原有尺寸，应变都很小。这样，在考虑物体变形后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来考虑物体变形后的平衡

9、状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸。代替变形后的尺寸。小变形假定小变形假定关于力学中几个重要的基本概念关于力学中几个重要的基本概念1.变形：变形：是指在外力作用下物体尺寸和形状产是指在外力作用下物体尺寸和形状产 生的改变。生的改变。2.2.弹性：弹性：当撤除外力时，固体能恢复其变形的性能称为弹性，当撤除外力时，固体能恢复其变形的性能称为弹性，恢复了的变形称为恢复了的变形称为弹性弹性变形变形。3.3.塑性：塑性：当撤除外力时固体能残留下来变形的性能称为塑性，当撤除外力时固体能残留下来变形的性能称为塑性，残留下来的变形称为残留下来的变形称为塑性变形塑性变形。4.4.破坏：破坏：在外力作用

10、下，固体产生了塑性变形或断裂统称为在外力作用下，固体产生了塑性变形或断裂统称为破破坏坏。5.5.强度：强度：是指物体在外力作用下抵抗破坏的能力。是指物体在外力作用下抵抗破坏的能力。6.6.刚度：刚度：是指物体在外力作用下抵抗变形的能力。是指物体在外力作用下抵抗变形的能力。 弹性力学分析中三个重要的量：位移、应力、应变。弹性力学分析中三个重要的量：位移、应力、应变。iiAiAFi0lim应力：应力：受力物体截面上内力的集度，即单位面积上的内力。受力物体截面上内力的集度，即单位面积上的内力。 应变：应变：当材料在外力作用下产生当材料在外力作用下产生位移位移时，它的几何形状时，它的几何形状和尺寸将发

11、生变化，这种形变就称为和尺寸将发生变化，这种形变就称为应变应变 。物体受力产生变物体受力产生变形时，体内各点处变形程度一般并不相同。用以描述一点处形时，体内各点处变形程度一般并不相同。用以描述一点处变形的程度的力学量是该点的应变。变形的程度的力学量是该点的应变。 应力分布应力分布是指物质在外力作用的反应，表现为外力作用导是指物质在外力作用的反应，表现为外力作用导致物体变形时，物体内部每一点与相邻点之间通过力进行致物体变形时，物体内部每一点与相邻点之间通过力进行相互作用的相互作用的强度强度。物体应力分布是一个重要参数。物体应力分布是一个重要参数。 弹性体在载荷作用下，体内任一点的应力状弹性体在载

12、荷作用下，体内任一点的应力状态可由态可由6 6个应力分量组成。个应力分量组成。yzxzxyzyx, 正应力和剪应力正应力和剪应力 同截面垂直的称为同截面垂直的称为正应力正应力或或法向应力法向应力，同截面相，同截面相切的称为切的称为剪应力剪应力或或切应力切应力。 应力会随着外力的增加而增长，对于某一种材料，应力会随着外力的增加而增长，对于某一种材料，应力的增长是有限度的应力的增长是有限度的. . 极限应力极限应力值要通过材料的值要通过材料的力学试验力学试验来测定。来测定。 静应力静应力：有些材料在工作时，其所受的：有些材料在工作时，其所受的外力外力不随时不随时间而变化，其内部的应力大小不变；间而

13、变化，其内部的应力大小不变；交变应力：交变应力：所受的外力随时间呈周期性变化，内部所受的外力随时间呈周期性变化，内部的应力也随时间呈周期性变化。的应力也随时间呈周期性变化。疲劳破坏：疲劳破坏：材料在材料在交变应力交变应力作用下发生的破坏。作用下发生的破坏。应力集中应力集中- -造成固体材料造成固体材料基本破坏基本破坏形式形式 屈服流动屈服流动强化强化最终导致剪切断裂最终导致剪切断裂; ; 这种破坏形式主要是由剪应力达到材料的极限这种破坏形式主要是由剪应力达到材料的极限值所导致；值所导致； 脆性断裂，即在几乎不产生明显塑性变的情况脆性断裂，即在几乎不产生明显塑性变的情况下材料就产生破坏；下材料就

14、产生破坏；应力集中应力集中：材料会由于截面尺寸改变而引起应力的：材料会由于截面尺寸改变而引起应力的局部增大的现象。对于组织均匀的局部增大的现象。对于组织均匀的脆性材料脆性材料，应力应力集中集中将大大降低将大大降低构件构件的强度，这在构件的设计时应的强度，这在构件的设计时应特别注意特别注意 。 线应变：线应变：三条相互垂直的棱边的长度在变形前后的改变量与原长三条相互垂直的棱边的长度在变形前后的改变量与原长之比之比 。 切应变切应变：单元体的两条相互垂直的棱边，在变形后的直角改：单元体的两条相互垂直的棱边，在变形后的直角改变量。变量。应变：应变：物体内任一点因各种作用引起的相对变形物体内任一点因各

15、种作用引起的相对变形位移和应变描述弹性体形变状态的量位移和应变描述弹性体形变状态的量 位移位移是指变形前后，物体某质点在空间位置的绝对移动是指变形前后，物体某质点在空间位置的绝对移动量；量； 应变应变是指某质点变形前后，某质点附近微小线段长度的是指某质点变形前后，某质点附近微小线段长度的相对变化量或两个微小线段间所夹直角的变化量相对变化量或两个微小线段间所夹直角的变化量 弹性体受外力后，各点都要产生位移。在直角坐标中的弹性体受外力后，各点都要产生位移。在直角坐标中的分量为分量为u，v，w。位移是坐标的单值连续函数。位移是坐标的单值连续函数。 弹性体受外力后，各点都要产生应变，是坐标的单值连弹性

16、体受外力后，各点都要产生应变，是坐标的单值连续函数。续函数。 位移位移 wvuzyx和应变应变 zyxzxxyxy 和应力应力 zyxzxxyyz和一、基本力学量：一、基本力学量： xwzuzvywyuxvzwyvxuzxyzxyzyx rwrwurvrzwzurvruwrzvrurzzrzzr 1 1 1 二、基本方程和主要关系式二、基本方程和主要关系式：1.1.几何方程（空间弹性结构内任一点几何方程（空间弹性结构内任一点P P的位移与应变的关系的位移与应变的关系, ,满满足连续性和协调性）足连续性和协调性）圆圆柱柱坐坐标标直直角角坐坐标标微小位移和微小变形微小位移和微小变形yxzyxzzx

17、yxzyzyxzyxxzzxzyyzyxxyzyxxzzyyxzzyyxxyyxxzxzxzzyzyyxyx 2 2 2 2 2 2z 22222 22222 222222.2.变形协调方程：变形协调方程：变形后每一单元体都发生形状改变，如变形变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。，其间将产生缝隙或嵌入现象。- -线应变和切应变的关系线应变和切应变的关系 zxzxyzyzxyxyyxzzxzyyzyxxGGGEEE111111zxzxyzyzxyxyyxzzx

18、zyyzyxxEEEEEE12121211211111211111211112EG3. 3. 物理方程（应力与应变的关系）物理方程（应力与应变的关系）- -各向同性的各向同性的线弹性材料线弹性材料用用应应力力表表示示应应变变用用应应变变表表示示应应力力E抗压弹性模量（弹性模量）抗压弹性模量（弹性模量） 侧向收缩系数（泊松比）侧向收缩系数（泊松比） G剪切弹性模量（对称刚度模量剪切弹性模量（对称刚度模量）关系式：关系式：xyxzxxyyzyxzyzzxyzXxyzYxyzZ 0004. 4. 平衡方程（外力与应力的关系）平衡方程（外力与应力的关系）其中：其中：X、Y、Z为三个方向的均匀分布体力为

19、三个方向的均匀分布体力 求解弹性力学问题时，不仅要使应力、应变、位移分量求解弹性力学问题时，不仅要使应力、应变、位移分量在在求解域内完全满足基本方程，而且在边界上要满足给定的求解域内完全满足基本方程，而且在边界上要满足给定的边界条件。但工程实际中物体所受的外载荷比较复杂，很难边界条件。但工程实际中物体所受的外载荷比较复杂，很难完全满足边界条件。当我们所关心的不是载荷作用部分的局完全满足边界条件。当我们所关心的不是载荷作用部分的局部应力时，圣维南原理可以帮助我们简化边界条件。部应力时，圣维南原理可以帮助我们简化边界条件。 圣维南原理第一种圣维南原理第一种叙述：如果把物体的一小部分边界上的叙述：如

20、果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（即主矢量相同、对面力，变换为分布不同但静力等效的面力（即主矢量相同、对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。变，但远处所受的影响可以不计。5.5.圣维南原理圣维南原理圣维南原理第二种圣维南原理第二种叙述：如果物体一小部分边界上的面力是一个叙述：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使得近处产生显著的应力，远处的应力可以不计。得近

21、处产生显著的应力，远处的应力可以不计。要要圣维南原理离不开圣维南原理离不开“静力等效静力等效” 条件。圣维南原理提出条件。圣维南原理提出至今已有一百多年，虽然还没有确切的数学表示和严格的理论至今已有一百多年，虽然还没有确切的数学表示和严格的理论证明，但无数的实际计算和实验测量都证实了它的正确性证明，但无数的实际计算和实验测量都证实了它的正确性。5.5.圣维南原理圣维南原理 严格地说，严格地说，实际的弹性结构都是空间结构，并处于实际的弹性结构都是空间结构，并处于空间的受力状态，属于空间的受力状态，属于空间问题空间问题。 然而，对于某些特定的问题，根据结构和受力情然而，对于某些特定的问题，根据结构

22、和受力情况可以简化为平面问题来处理。况可以简化为平面问题来处理。平面问题一般可以分为两类平面问题一般可以分为两类: :一类是一类是平面应力平面应力问题问题; ;一类是一类是平面应变平面应变问题。问题。一、平面应变问题一、平面应变问题1. 1. 特点：特点：1) z向尺寸远大于向尺寸远大于x，y向尺寸，且与向尺寸，且与z轴垂直的各个横截轴垂直的各个横截面尺寸都相同。面尺寸都相同。2) 受有平行于横截面（受有平行于横截面（x、y平面）且不沿平面）且不沿z向变化的外向变化的外载荷（包括体力载荷（包括体力x、y，但，但z=0），约束条件沿），约束条件沿z向也不向也不变。即，所有内在因素和外来作用都不沿

23、长度变化。变。即，所有内在因素和外来作用都不沿长度变化。例如：受内压的圆柱管道和长水平巷道等。例如：受内压的圆柱管道和长水平巷道等。PxyP2. 2. 平面应变问题的基本方程平面应变问题的基本方程 yuxvyvxuxyyx 1) 1) 几何方程几何方程对于平面应变问题：对于平面应变问题：w = 0 ，u（x，y），），v（ x，y ）对于对于z轴的偏导数为轴的偏导数为0，故有，故有 z= yz = zx=0 ,所以有：所以有：2) 2) 物理方程物理方程由于由于ryz=rzx=0 故有故有 zx = yz =0)(yxz由于由于 z = 0，即，即0z注意平面应变问题注意平面应变问题 z = 0，但，但将将z代入空间物理方程有：代入空间物理方程有：xyxyxyyyxxGEE11111xyxyyxyyxxEEE)1 (21)21)(1 (1)21)(1 ( xyyxxyyxE221001001)21)(1 ( DDD