抛物线定义及性质

1、抛物线定义及性质 平面内到一个定点平面内到一个定点F F和一条和一条定直线定直线l l的距离相等的点的轨迹的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。叫做抛物线。一、定义oLF注：如果定点注：如果定点F在定直线在定直线l上，所求的轨迹是？上，所求的轨迹是？定点定点F F 叫做抛物线的焦点。叫做抛物线的焦点。定直线定直线l l 叫做抛物线的准线叫做抛物线的准线过定点过定点F垂直于直线垂直于直线l的一条直线的一条直线x求标准方程求标准方程FMlN如何建立直角坐标系？如何建立直角坐标系？想一想想一想设设KF= p则则F（ ，0），），l：x = - p2p2设动点设动点M的坐标为（的坐标为（x，y），）， 由定

2、义可知，由定义可知，2)2(22pxypx化简得化简得 y2 = 2px（p0）xyoFMlNK过过F做直线做直线FK垂直于直线垂直于直线l，垂足为，垂足为K。以直线。以直线KF为为x轴，线段轴，线段KF的垂直平分线为的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直轴，建立如图所示的直角坐标系角坐标系xOy。 方程方程 y2 = 2px（p0）叫做叫做其中其中 为正常数，它的几何意义是为正常数，它的几何意义是:焦焦 点点 到到 准准 线线 的的 距距 离离,0 ,22ppFx其中焦点准线方程为开口向右yxoyxoyxoyxo 图图 形形 焦焦 点点 准准 线线 标准方程标准方程pxy22它在它在 轴的右边

3、，向右上方轴的右边，向右上方和右下方无限伸展。和右下方无限伸展。y关于关于 轴对称轴对称这条对称轴叫抛物线的轴这条对称轴叫抛物线的轴x抛物线只有一条对称轴；抛物线只有一条对称轴；没有对称中心没有对称中心.2pxF)0 ,2(pOxy抛物线和轴的交点。原点抛物线和轴的交点。原点O（0，0）4、抛物线的离心率、抛物线的离心率 y2=2px离心率都是离心率都是 1图图 形形方程方程焦点焦点准线准线 范围范围 顶点顶点 对称轴对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pF)0 ,2(p

4、F )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2px 2py 2pyx0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x轴轴y轴轴12、通径：、通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：2PP越大越大,开口越开阔开口越开阔3、焦半径：、焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：焦半径公式：),(00yx 下面请大家推导出其余三种标准方程下面

5、请大家推导出其余三种标准方程抛物线的抛物线的焦半径公式。焦半径公式。例例1 求下列抛物线的焦点坐标和准线求下列抛物线的焦点坐标和准线. 24yx1、2、24xy练习练习1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： 2(1)20 ;yx 2(2)2;yx2(3)250;yx2(4)160.xy( 5,0),5x11(0, ),88y 55(,0),88x (0, 4),4y. 例例2 根据下列条件写出抛物线的标准方程：根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)焦点是焦点是F(0,-2)； (2)准线方程是准线方程是 ；1y (3)焦点到准线的距离是焦点到准线的距离是2. 28xy 24xy22224 ,4 ,4 ,4yx yx xy xy (2)抛物线抛物线 上与焦点的距离等于上与焦点的距离等于9的点的的点的坐标是坐标是_；212yx例例3 (1)抛物线抛物线