2011-2012学年度数学 2.3.2 向量数量积的运算律课件 新人教B版必修4

1、2.3平面向量的数量积平面向量的数量积2.3.2向量数量积的运算律向量数量积的运算律1.了解平面向量数量积的物理背景及其含义了解平面向量数量积的物理背景及其含义2掌握平面向量数量积的定义、性质、运算律掌握平面向量数量积的定义、性质、运算律并会运用并会运用课前自主学案课前自主学案1cos0(其中其中0，)为为_；cos0(其中其中0，)为为_2在代数式的运算中满足的运算律有：在代数式的运算中满足的运算律有：_、_、_等等3代数式运算中，平方差公式：代数式运算中，平方差公式：(ab)(ab)_；完全平方公式：完全平方公式：(ab)2_，(ab)2_.锐角或零角锐角或零角钝角或平角钝角或平角交换律交

2、换律分配律分配律结合律结合律a2b2a22abb2a22abb2AOBb，a0a，bab同向同向反向反向a，b中至少有一个零向量中至少有一个零向量轴轴l上上轴轴l的方向上的方向上轴轴l的正向的正向3向量的数量积向量的数量积(1)物理背景：一个力物理背景：一个力F使物体发生位移使物体发生位移s，所做的，所做的功功W可以用下式计算可以用下式计算W|F|s|cos.其中其中|F|cos就是就是_的数量，也就的数量，也就是是_(2)定义：向量定义：向量a与与b的数量积的数量积(或内积或内积)：两个非零：两个非零向量向量a和和b，它们的夹角为，它们的夹角为，则数量，则数量_叫做叫做a与与b的数量积的数量

3、积(或内积或内积)，记作，记作_.规定：规定：_与任一向量的数量积为与任一向量的数量积为0.F在物体位移方向上的分量在物体位移方向上的分量力力F在物体位移方向上正射影的数量在物体位移方向上正射影的数量零向量零向量|a|b|cosab(3)数量积的性质：设数量积的性质：设a，b都是非零向量，都是非零向量，e是单是单位向量，位向量，是是a与与e的夹角，则的夹角，则(1)eaae_；(2)ab_；(3)当当a与与b同向时，同向时，ab|a|b|；当当a与与b反向时，反向时，ab _；|a|cosab0|a|b|a|2思考感悟思考感悟1向量的数量积与数乘向量的区别是什么？向量的数量积与数乘向量的区别是

4、什么？提示：提示：向量的数量积向量的数量积ab是一个实数，不考虑方向；是一个实数，不考虑方向；数乘向量数乘向量a是一个向量，既有大小又有方向这是一个向量，既有大小又有方向这是二者的主要区别是二者的主要区别2若若ab0，则有，则有a0或或b0，这种说法正确，这种说法正确吗？吗？提示：提示：错误，实际上，由错误，实际上，由ab0可以推出以下四可以推出以下四种可能：种可能：a0且且b0；a0且且b0；a0且且b0；a0且且b0，ab.4向量数量积的运算律向量数量积的运算律已知向量已知向量a，b，c与实数与实数，则，则交换律交换律ab_数乘向量的数乘向量的数量积数量积_(a)b_分配律分配律(ab)c

5、acbc.ba(ab)a(b)思考感悟思考感悟3.对于向量对于向量a，b，c，等式，等式(ab)ca(bc)一一定成立吗？定成立吗？提示：提示：不一定成立不一定成立若若(ab)c0，其方向，其方向与与c相同或相反，而相同或相反，而a(bc)0时，其方向与时，其方向与a相同或相反，而相同或相反，而a与与c方向不一定相同，故该等方向不一定相同，故该等式不一定成立式不一定成立课堂互动讲练课堂互动讲练平面向量数量积的运算平面向量数量积的运算根据平面向量的数量积的定义、几何意义和根据平面向量的数量积的定义、几何意义和数量积的重要性质以及运算律，能够解决有数量积的重要性质以及运算律，能够解决有关数量积、射

6、影及夹角问题关数量积、射影及夹角问题已知已知|a|3，|b|6，当，当ab，ab，a与与b的夹角是的夹角是60时，分别求时，分别求ab.【思路点拨思路点拨】由数量积的定义可知，它的值是由数量积的定义可知，它的值是两向量的模与它们夹角余弦值的乘积，只要能求两向量的模与它们夹角余弦值的乘积，只要能求出它们的夹角，就可求出出它们的夹角，就可求出ab，第，第种情况夹角种情况夹角0或或180，第，第种情况夹角种情况夹角90，第，第种情况夹角种情况夹角60.【解解】当当ab时，若时，若a与与b同向，则它们的夹同向，则它们的夹角角0，ab|a|b|cos036118；若若a与与b反向，则它们的夹角反向，则它

7、们的夹角180，ab|a|b|cos18036(1)18；当当ab时，它们的夹角时，它们的夹角90，ab0；【点评】【点评】向量数量积的运算应注意以下几向量数量积的运算应注意以下几点：点：(1)的范围为的范围为0，180；(2)对于非零对于非零向量向量a和和b，abab0；(3)若若ab0为为锐角或零角，若锐角或零角，若ab0为钝角或平角为钝角或平角解：解：(1)(2a3b)(3a2b)6a24ab9ab6b2642545cos606524.利用数量积解决长度、垂直及夹利用数量积解决长度、垂直及夹角问题角问题【思路点拨】【思路点拨】应用向量数量积的公式或向量应用向量数量积的公式或向量的几何意义

8、求解的几何意义求解平面向量数量积的综合应用平面向量数量积的综合应用掌握好平面向量数量积的有关内容，对判断几何掌握好平面向量数量积的有关内容，对判断几何图形的形状、向量夹角的变化范围以及证明垂直图形的形状、向量夹角的变化范围以及证明垂直都很有帮助都很有帮助已知两个非零向量已知两个非零向量a，b，夹角，夹角120，且且(a3b)(7a5b)，问是否存在实数，问是否存在实数，满足，满足(a4b)(ab)?【解解】由由(a3b)(7a5b)，得得(a3b)(7a5b)0.即即7|a|215|b|216ab0.由由(a4b)(ab)，得，得(a4b)(ab)0，即即|a|24|b|2(14)ab0，【点

9、评点评】非零向量非零向量abab0是非常重要的是非常重要的性质，它对于解决向量以及平面几何图形中有关性质，它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直的问题十分有效，应熟练掌握本题通过转垂直的问题十分有效，应熟练掌握本题通过转化条件建立参数化条件建立参数的方程求解的方程求解变式训练变式训练3已知已知a，b是非零向量，当是非零向量，当atb(tR)的模取最小值时，的模取最小值时，(1)求求t的值；的值；(2)已知已知a与与b共线同向，求证：共线同向，求证：b(atb)1两向量的数量积是一个数量，而不是向量，两向量的数量积是一个数量，而不是向量，可结合数量积的几何意义去理解定义的实质可结合数量积的几何意义去理解定义的实质2数量积的性质，它们是由数量积的定义推出数量积的性质，它们是由数量积的定义推出的，可在理解的基础上去记忆和应用的，可在理解的基础上去记忆和应用3数量积的运算只适合交换律、分配律及数乘数量积的运算只适合交换律、分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律