风险理论第2章个别保单的理赔额

1、 一张保单发生损失可以有许多不同的结果，保险公司在设计保险产品时，一般会根据以前大量相似或同类保单的损失情况，对产品可能出现的损失情况做出估计，找一个分布函数来刻画保单发生各种损失的概率。在此基础上预测理赔额并对保险产品制定合理的定价。 本章的目的就是讨论如何根据一张保单的损失额的分布来确定理赔额的分布。2.1 2.1 几种常见的理赔形式几种常见的理赔形式 )(1dXLXPLXPyfY )(1)(1)(1)()(11dFLFdFdFLFdXPLXdPXXXXX dLy 注注: :当当时，时， 下面计算每次损失事件中被保险人获得的实际下面计算每次损失事件中被保险人获得的实际赔付额赔付额Id的期望

2、（通常称为纯保费）和每次理赔事的期望（通常称为纯保费）和每次理赔事件中保险人的理赔额件中保险人的理赔额Y的期望。分两种情况讨论：的期望。分两种情况讨论：（1）免赔额）免赔额d存在，没有规定最高保单限额存在，没有规定最高保单限额L故故 dXdXXdXddxxFdxxFdxxFdXEXEdxxfdxIE)()()()()()()()(11100由于由于 )(, 0dXXdXdXdXXId故理赔额故理赔额Y的期望（剩余期望函数）为：的期望（剩余期望函数）为： )()()()()()()()(dFdxxFdFdXEXEdxdFxfdxdXXIEYEXdXXdXXd 1111)(YE表示随机变量表示随机

3、变量X比比d高出的平均水平，即在高出的平均水平，即在dX 的条件下，的条件下，X-d的期望值，即免赔额为的期望值，即免赔额为d时理赔额的期望。时理赔额的期望。如果如果X表示产品的使用寿命，表示产品的使用寿命，)(YE时间长度后剩余的平均寿命，反映了随机变量的尾部性质，时间长度后剩余的平均寿命，反映了随机变量的尾部性质，是对随机变量做了是对随机变量做了“掐头掐头”的处理。的处理。 dXdxxFdXE01)(反映了随机变量的前部性质，反映了随机变量的前部性质， 是做的是做的“去尾去尾”的处理的处理。表示产品使用表示产品使用d的的例例2-1-4 设某险种的损失费设某险种的损失费X(万元万元)具有密度

4、函数具有密度函数,)()(033245 xxxf假设免赔假设免赔额额d为为0.5万元，万元，求理赔额求理赔额Y的期望。的期望。解：分布函数为解：分布函数为440538110343243324)()()()(xxxdxxxFxX 理赔额理赔额Y可表示为可表示为).().(5050 XXY故理赔额故理赔额Y的期望为的期望为).()(5050 XXEYE 166515398062970503813815011450450.).().()(. dxxFdxxFXX)()(, 0)(dXLXLXdLLXddXdXXI LdXdxxFdXELXEXIE)()()()(1)()()()()()()(dFdx

5、xFdFdXELXEdXXIEYEXLdXX 111)(XI每次损失事件的实际理赔额每次损失事件的实际理赔额的期望为：的期望为： 理赔额理赔额Y的期望为：的期望为：(2)保单同时规定最高保单限额为保单同时规定最高保单限额为L，免赔额为，免赔额为d,由于由于 dXELXEXIE dFdXELXEYE 1 可以计算实际赔付额可以计算实际赔付额I(X)和理赔额和理赔额Y的期望的期望前两章练习题前两章练习题第第1题：题：已知随机变量已知随机变量X的矩母函数为的矩母函数为 5 . 0,219 tttMX则则X的方差为（的方差为（ ）（）（05年真题）年真题）A.33 B.34 C.35 D.36 E.3

6、7 1821180100 ttXttMXE解： 3602136001102 ttXttMXE 3632436018360222 XEXEXVar故故选择故选择D第第2题：题：某保险人承保的损失额某保险人承保的损失额X的概率密度函数为的概率密度函数为 202 xxxf已知已知 1, 11, 021XXXYXY和的期望值分别为的期望值分别为P0与与P1，则，则P0+ P1=（ ） A.5/12 B.5/6 C.6/7 D.7/4 E.4/3 34622020310 xdxxxXEYEP解： 1254621121212321 xxdxxxXEYEP471253410 PP所以选择D 第第3题：题：假

7、设某车险实际损失额假设某车险实际损失额X的分布函数为：的分布函数为： 0,1 . 09 . 010001. 002. 0 xeexFxx假设保单规定了保单限额为假设保单规定了保单限额为5000元，则平均理赔元，则平均理赔额为（额为（ ）A.208.54 B.325.15 C.438.47 D.1038.26 E.144.33解：平均理赔额为解：平均理赔额为 5000015000dxxFXE dxeexx 500000001. 002. 01 . 09 . 047.4380001. 01 . 002. 09 . 00001. 01 . 002. 09 . 05 . 0100 ee50000000

8、1. 002. 00001. 01 . 002. 09 . 0 xxee选选C第第4题：题：已知某险种已知某险种X的实际损失额分布为帕累托分的实际损失额分布为帕累托分布，其密度函数为：布，其密度函数为： 43200020003xxf 则假如保单中规定免赔额则假如保单中规定免赔额500元后，每次理赔事件元后，每次理赔事件中理赔额中理赔额Y的密度函数为（的密度函数为（ ） 3434434343200020003.250025003.200025003.200020003.250025003.yyfEyyfDyyfCyyfByyfAYYYYY 解：分布函数为：解：分布函数为： xxxdyydyyfx

9、F03430200020001200020003 433343250025003500200020005002000200031yydFdyfyfXXY 选选A 第第5题：题：假设每次事故的损失假设每次事故的损失X的密度函数的密度函数为为 其他, 00,xexfxX 而每份保单规定的免赔额为而每份保单规定的免赔额为 1，则保险公司对，则保险公司对每张保单的理赔额每张保单的理赔额Y的期望为（的期望为（ ） 3.2.2.1.1.EDCBA解：解： X服从指数分布，分布函数为服从指数分布，分布函数为 xXexF 1 dFdxXFdFdXEXEYEXdXX 111 111111 eeedxexx选选A

10、 第第6题：题：已知某损失额已知某损失额X的分布满足的性质如下表所的分布满足的性质如下表所示。若保单规定免赔额为示。若保单规定免赔额为100元，记元，记Y为每次理赔事为每次理赔事件中理赔额，则件中理赔额，则E(Y)=（ ）A.100 B.200 C.300 D.400 E.500 xF(x)E(Xx) 0001000.2912000.61535000.822410001.0331解：解： X的最大取值小于的最大取值小于1000元元,故故 E(X) =E(X1000) =331 3002.01913311001100 FXEXEYE则选选C 第第7题：题：已知某险种已知某险种X的实际损失额分布为帕累托分的实际损失额分布为帕累托分布，其密度函数为：布，其密度函数为： 43200020003xxf 若保单规定了免赔额为若保单规定了免赔额为500元，保单限额为元，保单限额为2500，每次损失事件的理赔额为每次损失事件的理赔额为Y，则，则E(Y)=（ ）A.764.2 B.864.2 C.964.2 D.1064.2 E.1164.2解：分布函数为：解：分布函数为： xxxdyydyyfxF03430200020001200020