数控机床电气维修与检测

1、1第3章 连续时间信号的变换域分析3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数3.2 典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱3.3 非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析傅里叶变换傅里叶变换3.4 典型非周期信号的频谱典型非周期信号的频谱3.5 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质3.6 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换3.7 拉普拉斯变换拉普拉斯变换3.8 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质3.9 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换3.10 连续信号的频域与复频域的连续信号的频域与复频域的MATLAB分析分析2 从本章起，我们对信号的分析由时域分析进入变换

2、域分析，即傅里叶变换（频域）分析傅里叶变换（频域）分析和拉普拉斯变换（复频拉普拉斯变换（复频域）分析域）分析。 在频域分析频域分析中，首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号的傅里叶变换及其性质，还要介绍周期信号的傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。 在复频域分析复频域分析中，首先介绍从傅里叶变换推广到拉普拉斯变换的概念，进而引出拉普拉斯变换的定义，然后介绍拉普拉斯变换的性质及拉普拉斯逆变换。第3章 连续时间信号的变换域分析3傅里叶的两个重要贡献u“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”u“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表

3、示”43.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数 任何周期函数在满足狄里赫利的条件下，可以展开成正交函数线性组合的无穷级数。 如果正交函数集是三角函数集三角函数集或复指数函数集复指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是 “傅里叶级数傅里叶级数”。前者称为三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数，后者称为指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数，它们是傅里叶级数两种不同的表示形式。 53.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数1. 信号正交：信号正交： 定义在(t1，t2)区间的g1(t)和g2(t)满足 21*12( )( )d0tt

4、g t gtt (两函数的内积为0)则称g1(t)和g2(t)在区间(t1，t2)内正交。 2. 正交函数集：正交函数集： 若n个函数g1(t)， g2(t)， gn(t)构成一个函数集，这些函数在区间(t1，t2)内满足 21*0,( )( )d0,tijtiijg t gttKij则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。 63.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数例如：三角函数集三角函数集 1，cos(n1t)，sin(n1t)，n=1,2, 复指数函数集复指数函数集 ejn1t，n=0，1，2，是两组典型典型的在区间(t0，t0+T1) 上的完备正

5、交函数集。如果在正交函数集g1(t)， g 2(t)， g n(t)之外，不存在函数 (0) 满足 则称此函数集为完备正交函数集完备正交函数集。21*( )( )d0titg ttt( i =1，2，n)( ) t73.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数设有n个函数g1(t)， g2(t)， gn(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数 f(t) 用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)C1g1+ C2g2+ Cngn 通常使误差的方均值(称为均方误差均方误差)最小。均方误差为 21221211 ( )( ) dntjjtjf t

6、C g tttt83.1 3.1 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数 )(),()(),( d)()(d)(d)()(2121212 tgtgtgtfKttgtfttgttgtfcrrrrttrttrttrr21221211 ( )( ) dntjjtjf tC g tttt2121( )( )d( )( )dtrtrtrrtf t gttcg t gtt当正交函数集为复变函数集时：当正交函数集为复变函数集时：9 3.1.1 3.1.1 三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数0111( )(cossin)(3.1 1)nnnf taantbnt设周期信号为 , 其重复周

7、期是T1,角频率11122fT( )f t010011( )tTtaf t dtT直流分量：余弦分量的幅度：010112( )costTntaf tntdtT正弦分量的幅度：010112( )sintTntbf tntdtT以上各式中的积分限一般取： 或10 T1122TT10 3.1.1 3.1.1 三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数也可表示成：011( )cos()(3.1 3)nnnf tccnt其中22200arctan()nnnnnnbcabcaa根据欧拉公式：11()()01( )2nnj ntj ntnncf tcee111)0112nnjjjntjnt

8、jntnnnnncc eec eeF e其中00,1,2,.,2njnncFcFen11 3.1.2 3.1.2 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数1( )(3.15)jntnnf tF e000Fac1()2njnnnnFF eajb其中011011( )tTjntntFf t edtT- 复振幅221122nnnnFabcarctan()nnnba12 3.1.3 3.1.3 周期信号的频谱及其特点周期信号的频谱及其特点1. 周期信号的频谱周期信号的频谱1( )(3.15)jntnnftF e 0111( )(cossin)(3.1 1)nnnf taantbnt011( )cos(

9、)(3.13)nnnf tccnt 为了能既方便又明确地表示一个信号中含有哪些频率分量，各频率分量所占的比重怎样，就可以画出频谱图频谱图来直观地表示。 如果以频率为横轴，以幅度或相位为纵轴，绘出 及 等的变化关系，便可直观地看出各频率分量的相对大小和相位情况，这样的图就称为三角形式表示的信号的幅度频谱幅度频谱和相位相位频谱。频谱。ncn13 3.1.3 3.1.3 周期信号的频谱及其特点周期信号的频谱及其特点例例3.1-1 求题图所示的周期矩形信号的三角形式与指数形式的傅里叶级数，并画出各自的频谱图。解：解：一个周期内 的表达式为：( )f t111022( )22TEtf tTEtT 100

10、11( )0Taf t dtT11012( )cos0Tnaf tntdtT110121,3,52( )sin02,4,6TnEnbf tntdtnTn14 3.1.3 3.1.3 周期信号的频谱及其特点周期信号的频谱及其特点nncb)5 , 3 , 1(2)arctan(nabnnn因此11,3,511121( )sin211(sinsin3sin5)35nEf tntnEtt或11,3,521( )cos()2nEf tntn6 , 4 , 205 , 3 , 12nnnE15 3.1.3 3.1.3 周期信号的频谱及其特点周期信号的频谱及其特点(1,3,5)2(1, 3, 5)2nnn

11、6, 4, 205, 3, 12)(21nnnjEbjjbaFnnnn111133( )33jtjtjtjtjEjEjEjEf teeee (1, 3, 5)nEFnn )5, 3, 1(2)5 , 3 , 1(2nnn)5, 3, 1(nnEFn)5 , 3 , 1(2nn6 , 4 , 205 , 3 , 12nnnEcn02n11315nc113150E232E52EnFE3E5E151311131522n151311131517 3.1.3 3.1.3 周期信号的频谱及其特点周期信号的频谱及其特点2. 周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点（1）离散性 - 频谱是离散的而不是连续的，这种

12、频谱 称为离散频谱。（2）谐波性 - 谱线出现在基波频率 的整数倍上。1（3）收敛性 - 幅度谱的谱线幅度随着 而逐渐 衰减到零。n18 3.1.4 3.1.4 波形的对称性与谐波特性的关系波形的对称性与谐波特性的关系（1）偶函数）偶函数( )()f tft1112211011224( )cos( )cosTTTnaf tntdtf tntdtTT1121122( )sin0TTnbf tntdtT所以，在偶函数的傅里叶级数中只含有（直流）（直流）和余弦分量余弦分量。2012210111)(2)(1TTTdttfTdttfTa 已知信号 展为傅里叶级数的时候，如果 是实函数而且它的波形满足某种

13、对称性，则在傅里叶级数中有些项将不出现，留下的各项系数的表示式也将变得比较简单。波形的对称性有两类，一类是整周期对称；另一类是半周期对称。( )f t( )f t19 3.1.4 3.1.4 波形的对称性与谐波特性的关系波形的对称性与谐波特性的关系（2）奇函数）奇函数( )()f tft 1112211011224( )sin( )sinTTTnbf tntdtf tntdtTT 所以，在奇函数的傅里叶级数中只包含正弦分量正弦分量。1120121( )0TTaf t dtT1121122( )cos0TTnaf tntdtT20 3.1.4 3.1.4 波形的对称性与谐波特性的关系波形的对称性

14、与谐波特性的关系（3）奇谐函数）奇谐函数)()2(1tfTtf)(tft21T1T21T例如)2(1Ttft21T1T21T)()2(1tfTtft21T1T21TP30 Fig 3.1-121 3.1.4 3.1.4 波形的对称性与谐波特性的关系波形的对称性与谐波特性的关系121010(2,4,6)4( )cos(1,3,5)Tnnaf tntdtnT121010(2,4,6)4( )sin(1,3,5)Tnnbf tntdtnT 可见，在奇谐函数的傅里叶级数中，只会含有奇次谐波分量奇次谐波分量。00a22 3.1.4 3.1.4 波形的对称性与谐波特性的关系波形的对称性与谐波特性的关系 在

15、偶谐函数的傅里叶级数中，只会含有（直流）（直流）与偶次偶次谐波分量谐波分量。（4）偶谐函数）偶谐函数1()( )2Tf tf t例例3.1-2：t)(tf)(tf 为偶谐函数，且去掉直流分量1/2后为奇函数，所以 的傅里叶级数中包含直流分量和偶次谐波的正弦分量。t21T1T21T)(tf123 3.1.5 3.1.5 吉伯斯（吉伯斯（GibbsGibbs）现象）现象)(tft2E2E21T8.95%En=1n=3n=5111211( )(sinsin3sin5)35Ef ttt n=3:1121( )(sinsin3)3Ef ttt n=5:111211( )(sinsin3sin5)35Ef

16、 ttt n=1:12( )sinEf tt演示演示24 3.1.5 3.1.5 吉伯斯（吉伯斯（GibbsGibbs）现象）现象( )f tt2E2E21T8.95%En=1n=3n=5 从左图可以看出： 傅里叶级数所取项数越多，相加后的波形越逼近原信号。 当信号是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿，而低频分量主要影响脉冲的幅度。 从上图还可以看出如下现象：选取傅里叶有限级数的项数越多，在所合成的波形中出现的峰值越靠近 的不连续点。但无论n取的多大（只要不是无限大），该峰值均趋于一个常数，它大约等于跳变值的 8.95， 并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。这种现象称为吉伯斯

17、现象吉伯斯现象。( )f t253.2 3.2 典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱3.2.1 周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号(1) 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数周期矩形脉冲信号的傅里叶级数t)(tf2221T21T1T1TE12200011122( )TEaf t dtEdtTTT0nb11221100111442( )coscosSa()2TnnnEaf tntdtEntdtcTTT26 3.2.1 3.2.1 周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号111112( )Sa()cos(3.24)2nnEEf tntTT 所以，三角形式傅里叶级数为 所以，指数形式的傅里叶级数为111( )Sa()

18、(3.26)2jntnnEf teT1111()Sa()222nnnnnEFajbaT 因为27 3.2.1 3.2.1 周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号（2）频谱图）频谱图112Sa()2nnEcT11Sa()2nnEFT114T28 3.2.1 3.2.1 周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号若411T则)2(4142211T因此，第一个零值点之内或两个相邻的零值点之间有3根谱线。一般情况： 若11TN则第一个零值点之内或两个相邻的零值点之间有N1根谱线。频带宽度：2B或1fB结论：结论：矩形脉冲的频带宽度与脉冲宽度成反比。矩形脉冲的频带宽度与脉冲宽度成反比。nc1TE12TE24129 3.

19、2.1 3.2.1 周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号(3) 频谱结构与波形参数之间的关系频谱结构与波形参数之间的关系 1. 若 不变， 扩大一倍，即 1T8411TTt)(tfE1Tnc4E8E124t)(tf12TE1Tnc4E2E12412242EEET30 3.2.1 3.2.1 周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号2. 若 不变， 减小一半，即 1T8411TTt)(tf12TE1Tnc4E8E12t)(tf12TE1Tnc4E2E124 谱线间隔 只与周期 有关，且与 成反比；零值点频率 只与 有关，且与 成反比；而谱线幅度与 和 都有关系，且与 成反比与 成正比。11(2 /)T1T1

20、T2 / 1T1T31对称周期矩形脉冲信号对称周期矩形脉冲信号1( )f t2/E2/Et1T1T41T41T111112( )Sa()cos(3.24)2nnEEf tntTT令 ，则有2,010Ta111111( )Sa () cos2211(coscos 3cos 5)35nnftEntEttt32对称周期矩形脉冲信号对称周期矩形脉冲信号1111211( )(coscos 3cos 5)35EfttttncE1131517nc11315E171131517n33 3.2.2 3.2.2 周期锯齿脉冲信号周期锯齿脉冲信号1111( )( 1)sinnnEf tntn 周期锯齿脉冲信号的频谱

21、只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。34 3.2.3 3.2.3 周期三角脉冲信号周期三角脉冲信号2122141( )sincos22nEEnf tntn 周期三角脉冲的频谱只包含直流、奇次谐波的余弦分量，谐波的幅度以 的规律收敛。2/1 n35 3.2.4 3.2.4 周期半波余弦信号周期半波余弦信号12121( )coscos21nEEnf tntn2/1 n 周期半波余弦信号的频谱只含有直流、基波和偶次谐波的余弦分量。谐波幅度以 的规律收敛。36 3.2.5 3.2.5 周期全波余弦信号周期全波余弦信号11124111( )coscos2cos331535EEf tttt2/1

22、 n 周期全波余弦信号的频谱包含直流分量及 的各次谐波分量。谐波的幅度以 的规律收敛。137 3.3 3.3 非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析傅里叶变换傅里叶变换t)(tf2221T21T1T1TE1Tt)(tf22E1T112T谱线间隔1T0211T0谱线间隔周期信号的离散谱非周期信号的连续谱由于,1T1112121( )0TjntTnFf t edtT演示演示3.3.1 傅里叶变换及傅里叶逆变换傅里叶变换及傅里叶逆变换38 3.3.1 3.3.1 傅里叶变换及傅里叶逆变换傅里叶变换及傅里叶逆变换频谱密度函数频谱密度函数11111212limlim( )TjntTnTTF Tf t

23、edt 11Tn 当时， 离散频率连续频率则11lim( )jtnTF Tf t edt - - 非周期信号非周期信号f(t) 的的傅里叶变换傅里叶变换- 傅里叶逆变换傅里叶逆变换记为()F j f(t)31(.)( 3)jtf t edtF( )f t 11 ()()(4)23.3jtF jF jed F393.3.23.3.2 傅里叶变换的物理意义傅里叶变换的物理意义频谱和频谱密度函数频谱和频谱密度函数 从上式可以看出，具有单位频带复振幅的量纲，因此这个新的量称为原函数的频谱密度函数，简称频谱函数频谱函数。 1110122(j)limlimddnnnnTFFFFT Ffj ()(j)e(j

24、)FF (j)F- 幅度谱幅度谱() - 相位谱相位谱403.3.23.3.2 傅里叶变换的物理意义傅里叶变换的物理意义频谱和频谱密度函数频谱和频谱密度函数周期信号：周期信号：1( )jntnnf tF e1211211( )TTjntnFf t edtT傅里叶逆变换：傅里叶逆变换：1( )()2jtf tF jed傅里叶变换：傅里叶变换：()( )jtF jf t edt- 连续谱、相对幅度- 离散谱、实际幅度nF与 的关系：()Fj11()limnTFjF T11(3.610)(nnFjFT41 3.4 3.4 典型非周期信号的频谱典型非周期信号的频谱 1. 1.对称矩形脉冲信号对称矩形脉

25、冲信号202)(ttEtf 22()(3.4Sa()22)jtFedt EjE周期矩形脉冲信号：11Sa()2nnEFTnFjF与)(之间满足如下关系：21,fBB)(tfE2/2/t11()nnF jFT3dB带宽带宽42 1. 1.对称矩形脉冲信号对称矩形脉冲信号43 2. 2.单边指数信号单边指数信号0( )( )000ttetf te u tt 01()( )(3.4 4)jttjtF jf t edteedtj221()F j()arctan() 44 3.3.双边指数信号双边指数信号( )tf te222()(3.4 9)F j45 4.4.符号函数符号函数10sgn( )10tt

26、t)sgn( t11t)(1tf1ttete1)()()(tuetuetftt)()()sgn()()(1tuetuettftftt)(tf1ttete)(tf1t110022() ( )()2tjttjtF jf teedteedtj F46 4.4.符号函数符号函数2212)(jjF102()lim()(3.4 12)F jF jj2()F j02()02 )(jF( ) 2247 5.5.冲激函数和冲激偶函数冲激函数和冲激偶函数 ()( )1(3.4 15)jtF jt edt 单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱”或“白色频谱”

27、(1）冲激函数的傅里叶变换）冲激函数的傅里叶变换)(1tf/12/2/t)(tt)1(11)(jF00演示演示48 5.5.冲激函数和冲激偶函数冲激函数和冲激偶函数(2）冲激函数的傅里叶逆变换）冲激函数的傅里叶逆变换)()(1jF) 1 (21)(1tft1)(2tft)(2)(2jF)2(1 11( ) ()()(3.4 17)22jtf ted F或1(),2 F12() F49 5.5.冲激函数和冲激偶函数冲激函数和冲激偶函数)(1tf12/2/t)(tft1)2()(2)(jF1)2()2(limtutu或：Sa()22d() 1lim Sa()limSa() 2222F2() 演示演

28、示50 5.5.冲激函数和冲激偶函数冲激函数和冲激偶函数（3）冲激偶的傅里叶变换）冲激偶的傅里叶变换即： 1( )2jtted上式两边对t 求导得：1( )()2jtdtjeddt, 1)(tF( )(3.423)tjF同理：( )( )()nntjF51 6.6.阶跃信号阶跃信号)sgn(2121)(ttu1()(3.425)j )(22)(jF)(11() ( )sgn( )22Fju ttFFF52 3.5 3.5 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质1. 线性线性2. 对称性对称性设()()()( )( )jF jF jeRjX 其中22()()()(),()arctan()XF

29、jRXR 若11( )(),f tF j22( )(),f tFj则1 1221122( )( )()(3.5 1)()a f ta f ta F ja FjFFF若 ( )()f tF j则 ()()(3.56)ftFj*( )()(3.57)ftFj*()()(3.58)ftFjFFFF53 2.2.对称性对称性如：1( )teu tjF1()te utjF又如：1 ( )()u tj F11 ()()()utjj F54 2.2.对称性对称性两种特定关系：两种特定关系：1. 若若f(t)是是实函数实函数，或，或虚函数虚函数 f(t)= j g(t)，则，则 是是偶函数偶函数,()F j(

30、) 是是奇函数奇函数。例如：( )tf te222()F j（实偶）（实偶）0( )0ttetf tet222()jF j （实奇）（虚奇）2. 若若f(t)是是 t 的的 实偶函数实偶函数，则，则 必为必为 的的实偶函数实偶函数,即即()F j()()F jR 若若f(t)是是 t 的的实奇函数实奇函数，则，则 必为必为 的的虚奇函数虚奇函数， 即即()()F jjX()F j55 3.3.对偶性对偶性,( )()f tF j ()2()(3.5 11)F jtf若则FF若f(t)为实偶函数，则()()()F jRR对偶性为： ( )2()R tfF0(2)tR(t)=10101例如：例如：

31、0(1)t( )( )f tt()()1F jR2()f56 3.3.对偶性对偶性( ) ()()()Sa()222f tE u tu tRE( )Sa() ( )2 ()()222tR tER tE uuF又如：又如：)(tfE2/2/tF()R)(2fE22/2/F( )R tSa() ()()cccctuu57 3.3.对偶性对偶性例：例：求F1t 因为2sgn( ),tj解：解：F22 sgn()2 sgn()jt 所以F这样F1sgn()jt 58 3.3.对偶性对偶性 利用傅里叶变换的对偶性，可以将求傅里叶逆变换的问利用傅里叶变换的对偶性，可以将求傅里叶逆变换的问题转化为求傅里叶变

32、换来进行。题转化为求傅里叶变换来进行。 ()2()F jtf ( )()f tF j若则即1() ()2fF jtF1( ) ()(3.5 14)2tf tF jtF59 3.3.对偶性对偶性解：解：)sgn()(tjjtF1212tt 例例3.5-13.5-1：求1sgn()jF22 ()F jtjjF11sgn( ) ( )2tjF jtFF60 3.3.对偶性对偶性例例3.5-2 已知信号的傅里叶变换为2 /2(j)0 /2AF试求其逆变换 。 ( )f t()F jtt222 A解：解：2, /2(j )0, /2AtFtt(j )2Sa2FtA F11( )(j )2SaSa2222

33、tttf tFtAAF观察法观察法61 4.4.位移性位移性 位移性包括时移性和频移性。 （1）时移特性）时移特性 ( )(),f tF j若则F0j0()(j)e(3.515)tf ttFF同理 0j0()(j)e(3.516)tf ttFF例例3.5-3 求题图所示的单边矩形脉冲信号的频谱函数。)(tfEt解：解：因为对称矩形脉冲信号 的傅里叶变换为( )G t()Sa()2G jE62 4.4.位移性位移性 j2(j)Sae2FE幅度谱保持不变，相位谱产生附加相移/2() 2/()Sa()2G jE63 4.4.位移性位移性 （2）频移特性（调制定理）频移特性（调制定理)若 ,( )(j

34、)f tFF0j0( )ej()(3.517)tf tFF则同理 0j0( )ej()(3.5 18)tf tFF因为 ，00jj01cos(ee)2ttt00jj01sin(ee)2jttt所以0001( )cosj()j()2f ttFFF000j( )sinj()j()2f ttFFF64 4.4.位移性位移性 例例3.5-4 求 , 及 的频谱。0jet0cost0sint解：解： 12() F因为 ，再根据频移性可得0j0e2()(3.521)t F000cos()()(3.522)t F000sinj()()(3.523)t F65 4.4.位移性位移性 例例3.5-5 求矩形脉冲

35、调幅信号的频谱，已知 f(t)=G(t) cos0t ，其中G(t)为矩形脉冲，脉幅为E, 脉宽为。(j)Sa2GE00001(j)j()j()2Sa ()Sa ()2222FGGEE02 66 5.5.尺度变换尺度变换 若 ,( )(j)f tFF则1()j(3.524)|f atFaaF 信号在时域中压缩等效在频域中扩展；反之，信号在时域信号在时域中压缩等效在频域中扩展；反之，信号在时域中扩展等效在频域中压缩。中扩展等效在频域中压缩。67 5.5.尺度变换尺度变换 特例：()( j)(3.525)ftFF综合时移特性与尺度变换特性，还可以证明以下两式0j01()je(3.526)|taf

36、attFaaF0j01()je(3.527)|taf tatFaaF68 6.6.卷积定理卷积定理 ( The convolution theorem) 卷积定理包括时域卷积定理和频域卷积定理。（1）时域卷积定理）时域卷积定理 11( )(j)f tFF22( )(j)f tFF若 ， ，则1212( )( )(j)(j)(3.528)f tftFFF（2）频域卷积定理）频域卷积定理 12121( )( )(j)(j)(3.529)2f t ftFFF11( )(j)f tFF22( )(j)f tFF若 ， ，则1212(j)(j)(j )j() dFFFF其中69 6.6.卷积定理卷积定理

37、例例3.5-6 已知两矩形脉冲信号分别为12( )2 (1)(1),( )(2)(2)f tu tu tf tu tu t求 的傅里叶变换 12( )( )f tft12(j)( )( )Ff tftF解：解：1122(j)( )4Sa()(j)( )4Sa(2)Ff tFftFF1212(j)( )( )(j)(j)16Sa()Sa(2)Ff tftFFF根据时域卷积定理，可求出70 6.6.卷积定理卷积定理 例例3.5-7 利用频域卷积定理求余弦 脉冲信号f(t)的频谱函数。cos /2( )0 /2Ettf tt解：解：把f(t)看作是矩形脉冲G(t)与无穷长余弦函数的乘积。(j)( )

38、Sa2GG tEFcost F71 6.6.卷积定理卷积定理 根据频域卷积定理，可以得到 的频谱函数为 ( )f t1(j)( )cos(j)cos21Sa22SaSa2222FG ttGtEEE FF2cos()221E72 6.6.卷积定理卷积定理 时域相乘)(jF3355/2E2/E频域卷积73 6.6.卷积定理卷积定理 例：例：利用时域卷积定理求三角脉冲的频谱利用时域卷积定理求三角脉冲的频谱220)21 ()(tttEtff(t)t-/2/2E解：解：我们可以把三角脉冲看作是两个同样的矩形脉冲的卷积。而矩形脉冲的幅度、宽度可以由卷积的定义直接看出，分别为2E/ 及/2。)()()(tG

39、tGtft-/4/4G(t)E2742()Sa()Sa()2424EEGj22()()Sa ()24EF jGj tf(t)-/2/2Et-/4/4G(t)E22E()G j84842E()F j484875 7.7.微分与积分微分与积分 微分与积分特性包括时域微分与积分特性和频域微分与积分特性。（1）时域微分）时域微分(3.532d( )(j)jdnnnf tFtF若 ,( )(j)f tFF则(3.531d (d)jjf tFtF( )jt F( )( )(j)nnt F例如：由于 , 所以( )1tF76 7.7.微分与积分微分与积分 （2）时域积分）时域积分若 ,( )(j)f tFF

40、则 j(3.535)( )d0()jtFfF F式中， 00jFF如果 ，则(0)0Fj( )d(3.536)jtFfF77 7.7.微分与积分微分与积分 当 f(t) 的导数 的频谱比较容易求出时，可以利用积分特性来求原函数的频谱，但需要对式（35）进行修正。( )( )df ttdt(j)(j)()(3.537)()jFff 式中， ，d(j)( )( )df tttFF( )lim( ),tff t ()f lim( )tf t78 7.7.微分与积分微分与积分 1. 当 时，有()0,()0ff ()()(0) ()jF jj 2. 当 时，有()0,()0ff ()()jF jj(j

41、)(j)()( )()jFff 79 7.7.微分与积分微分与积分 例：例：利用积分特性分别求 及 的傅里叶变换。1( )( )f tu t21( )sgn( )2ftt解：解：由于12( )1( )( ),( ) sgn( )( )2du tdtttttdtdt即12()()1jj 又因为112211()0,()1,(),()22ffff 所以，111()1 ( )()()()()ju tffjj F222()11sgn( )()()()2jtffjj F即2sgn( )tjF80 7.7.微分与积分微分与积分 例例3.5-8 求下图所示的三角脉冲信号的傅里叶变换。)(tfE22t0)(tf

42、E222tE2)( tf22t)4(E)2(E)2(E解：解： 首先求出f(t)的一阶导数和二阶导数)(2)2()2(2)( tttEtf对上式两边取傅里叶变换：jj222222(j)(j)ee2Sa24EFE 81 7.7.微分与积分微分与积分 2jj22222(j)(j)ee2Sa24EEF 由于 ，所以可以利用二阶导数的频谱来求其原函数的频谱。于是 ()( )0ff 2(j)Sa24EF82 7.7.微分与积分微分与积分 例例3.5-9 求下列截平斜变信号求下列截平斜变信号f(t)的频谱的频谱tf(t)1t0tt0)(t01t解解 ：000, 10,0, 0)(ttttttttf0001

43、0( )( )00,ttd f tttdtttt 0j02(j)Sae2tt83 7.7.微分与积分微分与积分 0j02(j)Sae2tt0)(, 1)(ff0j02(j)(j) ( )()()j1Sae()j2tFfft 84 7.7.微分与积分微分与积分 （3）频域微分）频域微分 若 ,( )(j)f tFF则dj( j ) ( )(3.539)dFt f tFdj( j )( )(3.540)dnnnFtf tF例：例： 12() F 2 j()t F( )2 j()nnnt F()( )( )nFTnnnd F jt f tjd85 7.7.微分与积分微分与积分 （4）频域积分）频域积

44、分 若 ,( )(j)f tFF则 1( )jd0( )(3.544)jf tFftt F若 ，则 (0)0f1( )jdjf tFtF86 3.6 周期信号的傅里叶变换周期信号周期信号傅里叶级数傅里叶级数非周期信号非周期信号？1T傅里叶变换傅里叶变换1T（离散谱）（离散谱）（连续谱）（连续谱）1正弦、余弦信号的傅里叶变换正弦、余弦信号的傅里叶变换0j0e2()t F000cos()()t F000sinj()()t F 在例3.5-4中，已经求出了指数信号、正弦和余弦信号的傅里叶变换。即 87 3.6 周期信号的傅里叶变换以上三种信号的频谱图如下所示2一般周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅

45、里叶变换 设周期信号的周期为 ，则角频率 ，可以将 展开成指数形式的傅里叶级数( )f t11122 /fT ( )f t1j( )entnnf tF其中 111/2j/211( )edTntnTFf ttT或 1011()nnFFjT 88 3.6 周期信号的傅里叶变换1j( )entnnf tF将上式两边取傅里叶变换 11jj( )eentntnnnnf tFFFFF12()nnFn 1(j)( )2()(3.65)nnFf tFn F即： 周期信号周期信号 的傅里叶变换是由一系列冲激函数所组成，这的傅里叶变换是由一系列冲激函数所组成，这些冲激位于信号的谐频些冲激位于信号的谐频 处，每个冲

46、激处，每个冲激的强度等于的强度等于 的傅里叶级数相应系数的傅里叶级数相应系数Fn的的 倍。倍。11(0, , 2,)2( )f t( )f t89 3.6 周期信号的傅里叶变换例例3.6-1 求周期单位冲激信号 的傅里叶级数与傅里叶 变换。( )Tt01T12T1T12Tt)(tT) 1 (0nF1211T11-12-0)(jF1()12-1-112解：解： nTnTtt)()(1111/2j/21111( )edTntnTFttTT1j11( )entTntT111()2()()nnnF jFnn 90 3.6 周期信号的傅里叶变换例例3.6-2 求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数和傅里叶变换。

47、已知 的幅度为 ，脉宽为 ，周期为 ，角频率为 。( )f tE1T112 /T t)(tf2/2/1T1TE解：解：已知矩形脉冲已知矩形脉冲 的傅里叶变换为的傅里叶变换为0( )f t0()Fj0(j)Sa()2FE110111()Sa()2nnnEFFjTT因为91 3.6 周期信号的傅里叶变换所以11jj11( )eSae2ntntnnnnEf tFT 1111(j)2()Sa()2nnnnFFnEn 设：211T（ ）92 3.7 拉普拉斯变换拉氏变换的优点：拉氏变换的优点：1）求解简化；）求解简化；2）把微分、积分方程转化为代数方程；）把微分、积分方程转化为代数方程；3）将复杂函数转

48、化为简单的初等函数；）将复杂函数转化为简单的初等函数；4）将卷积转化为乘法运算。）将卷积转化为乘法运算。933.7.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换j (j)( )edtFf ttj 1( )(j)ed2tf tF引入衰减因子 ，则 的傅氏变换为ete( )tf tje( ) ( )eedtttf tf ttF(j)( )ed tf tt令 ，则jsB( ) ( )( )edstBFsf tf ttL- f(t)的双边拉氏变换的双边拉氏变换j1BBj1( )( )( )e d2 jstBf tFsFss L- 双边拉氏逆变换双边拉氏逆变换943.7.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换在信号与系统分析

49、中，一般所遇到的总是因果信号，则 0( ) ( )( )ed(3.75)stF sf tf ttL- f(t)的单边拉氏变换的单边拉氏变换j1j1( ) ( )( )e d02 jstf tF sF sst L- 单边拉氏逆变换单边拉氏逆变换简记为L.T.( )( )f tF s 953.7.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别：拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别：FT: 时域函数时域函数f(t)频域函数频域函数)(jF变量变量 t变量变量 LT: 时域函数时域函数f(t)复频域函数复频域函数)(sF（变量（变量 t、 都是实数）都是实数）变量变量 t变量变量s (复频率）

50、复频率） t（实数）（实数）(复数）复数） js即：即：傅里叶变换建立了时域与频域之间的联系傅里叶变换建立了时域与频域之间的联系；拉普拉斯变换建立了时域与复频域之间的联系。拉普拉斯变换建立了时域与复频域之间的联系。963.7.2 拉普拉斯变换的收敛域B( ) ( )( )edstBFsf tf ttL0( ) ( )( )edstF sf tf ttL（1）（2） 在以 为实轴， 为虚轴的复平面中，凡能使式(1)或式(2)积分收敛，即满足下列绝对可积条件 的 的取值范围称为拉氏变换的收敛域，以ROC表示。j( ) edtf tt 973.7.2 拉普拉斯变换的收敛域例例3.7-1 求因果信号

51、（ 为实数）的双边拉氏变 换及收敛域。11( )e( )tf tu t1解：解：1()B110( )( )ededststFsf ttt当 时，有1Re s1()B111011( )estFsss 若 ，收敛轴将移到 轴的左侧。 10j983.7.2 拉普拉斯变换的收敛域例例3.7-2 求左边信号 （ 为实数）的双边拉 氏变换及收敛域。222( )e()tf tut 解：解：20()B22( )( )ededststFsfttt 当 时，有 2Re s220()B20()2( )ed1eststFsts 21s若 ，收敛轴将移到 轴的右侧。 20j993.7.2 拉普拉斯变换的收敛域例例3.7

52、-3 求双边信号 的双边拉氏变换及收敛域。21e 0( )e 0 tttf tt解：解：210B0( )( )edeede edttstststFsf tttt210()()210ee()()ststss当 ，上式第一项存在；当 ，上式第二项存在，这时 2Re s1Re s12B12211211( ) ()()()Fsssss1003.7.2 拉普拉斯变换的收敛域21012012, 1013.7.2 拉普拉斯变换的收敛域单边拉氏变换的ROC为平行于 轴的一条收敛轴的右边区域，可表示为j0Re s若 ，则f(t)存在拉氏变换，收敛域为：0lim( )0, ()ttf t e0例例11( )( )

53、f ttu tlim0, (0)tttelim0, (0)nttt e0j2( )( )nf tt u t例例21023.7.2 拉普拉斯变换的收敛域例例3)0()(3tetf)(, 0limtttee0j1033.7.3 典型信号的拉普拉斯变换1指数信号e( )tu t()00e1e( )eeds tttstu ttss L() 2单位阶跃信号( )u t00e1 ( )edststu ttss L(0)3单位冲激信号( ) t00 ( )( )ede1ststttttL() 同理0000 ()()ede ()ststttttt L1043.7.3 典型信号的拉普拉斯变换4t的正幂信号的正幂

54、信号 （ 是正整数）是正整数）( )nt u tn0( )ednnstt u tttL100eednstnsttnttss 10ednstntts所以1( )( )nnnt u ttu tsLL21( ) ( 0) tu tsL1n 当 时 2n 当 时 232( ) ( 0) t u tsL以此类推，得 1!( )nnnt u tsL(0)1053.8 拉普拉斯变换的基本性质1 1线性特性线性特性若 ， ，则11( )( )f tF sL22( )( )ftF sL1 1221122( )( )( )( )K f tK ftK F sK F sL例例3.8-1 求 的拉氏变换。( )sin(

55、 )f tt u t解：解： 由于jj1sin(ee)2jttt，所以jj1sin( )(ee) ( )2jttt u tu tLL221111 ( 0) 2jj2jjsss同理22cos( ) ( 0)st u tsL1062 2时域微分和积分时域微分和积分 12(1)d( )( )(0 )(0 )(0 ) dnnnnnnf ts F ssfsfftL11( )0( )(0 )nnn rrrs F ssf 222d( )( )(0 )(0 ) df ts F ssfftL（1）时域微分）时域微分 若 ，则 ( )( )f tF sL(3.84d ( )()(0 )df tsF sftL107

56、2 2时域微分和积分时域微分和积分 例例3.8-2 已知 ，求 的像函数。( )e( )tf tu t( )f t解：解：已知1( ) ( )F sf tsL所以( )( )(0 )0ssftsF sfssL（2）时域积分）时域积分 ( 1)( )(0 )( )d (3.86)tF sffssL若 ，则 ( )( )f tF sL式中：0( 1)(0 )( )dff1082 2时域微分和积分时域微分和积分 例例3.8-3 试通过阶跃信号 的积分求 和 的拉氏 变换。( )u t( )tu t( )nt u t解：解：因为1( )= ( )F su tsL而0( )( )dttu tu所以21(

57、 )tu tsL重复应用这个性质，可得 1!( )nnnt u tsL1092 2时域微分和积分时域微分和积分 例例3.8-4 时开关S闭合，起始无储能求输出信号 。0t C( )vt解：解：1）列写微分方程 CCd( )( )( )dvtRCvtEu ttC(0 )0v2）将微分方程两边取拉氏变换，得CC( )(0 )( )/CRC sVsvVsE s解此代数方程，求得 C( )1(1)EEVssRCsRCs sRC1102 2时域微分和积分时域微分和积分 3）求 的拉氏逆变换C( )VsC11( )11EVsEssRCs sRCRC1CC( )( )(1e) ( ) tRCvtVsEu t

58、L1113 3位移性位移性 （1）时域位移（延时特性）时域位移（延时特性）若 ，则 ( )( )f tF sL000 () ()e( )(3.87)stf tt u ttF sL式中， 。00t 在应用延时特性时，特别要注意它只适用于在应用延时特性时，特别要注意它只适用于 的情况。因为当的情况。因为当 时，信号左移至原点以左部分，时，信号左移至原点以左部分，不能包含在从不能包含在从 到到 的积分中去。的积分中去。00t 00t 0000()sin()f tttt（1） ；（2） ；000() ( )sin()( )f tt u tttu t（3） ；000( ) ()sin()f t u tt

59、t u tt（4） 。00000() ()sin()()f tt u ttttu tt例例3.8-5 已知 的拉氏变换为 ，求 下列信号的拉氏变换（式中 ）。0( )sinf tt00t 0220( )F ss1123 3位移性位移性 四种信号如下图所示。 1133 3位移性位移性 对于（1）和（2）两种信号在 时的波形相同，所以 0t000000 00 000 000 0220()() ( )sin()cossinsincoscossinf ttf tt u ttttstttttsLfLfLL对于信号（3）：00000(j)(j)00000 00 02201sin()sinedeed2jco

60、ssin estststttstt u ttttttstsL1143 3位移性位移性 对于信号（4）：00000j()j()0001sin()()eeed2jt tt tsttttu tttL0 0000 0000j(j)j(j)0220001eeeee2jjjtsttststsss 可见，在以上四种信号中，只有信号（4），即 是信号 右移了 的结果，才能应用时移性，即 00000() ()sin()()f tt u ttttu tt0( ) ( )sin( )f t u tt u t0t0000000220sin()()esin( )eststttu ttt u tsLL1153 3位移性位