线性代数综合练习题

1、线性代数综合练习题时间：120分钟一、选择题每题3分，共15分:1设A是三阶矩阵，将A的第一列与第二列交换得B，再把B的第二列加到第三列得C，那么满足AQ=C的可逆矩阵Q为 。A； B；C； D。 2设A、B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，那么必有 。AA的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关；BA的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关；CA的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关；DA的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关。3以下向量集按Rn的加法和数乘构成R上一个线性空间的是 。ARn中，坐标满足x1+x2+xn=0的所有向量；BRn中，坐标是整数的所有向量；CRn中，坐标满足x1

2、+x2+xn=1的所有向量；DRn中，坐标满足x1=1，x2， xn可取任意实数的所有向量。4设=2是非奇异矩阵A的一个特征值，那么矩阵A2-1有一个特征值等于 。A； B； C； D。 5任一个n阶矩阵，都存在对角矩阵与它 。A合同； B相似； C等价； D以上都不对。二、填空题每题3分，共15分1设矩阵A=，矩阵B满足：ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，E是三阶单位矩阵，那么|B|= 。2线性方程组无解，那么= 。3假设A=为正交矩阵，那么= ，= 。4设A为n阶矩阵，且|A|0，A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。假设A有特征值，那么A*2+E必有特征值 。5假设二次型f

3、= 2x12+x22+x32+2 x1 x2+t x2 x3是正定的，那么t的取值范围是 。三、15分设有齐次线性方程组： 试问取何值时，该方程组有非零解？并用一根底解系表示出全部的解。四、10分设R3的两组基为：和，向量=2，3，3T1求基到基的过渡矩阵；2求关于这两组基的坐标。五、15分设三阶实对称矩阵A的特征值为1 = -2，2 = 12重，1=1，1，1T是属于1 = -2的特征向量。试求：1属于2 = 12重的特征向量；2A的伴随矩阵A*。六、10分设二次型通过正交变换化为：，求、。七、10分A ，B为n阶可逆方阵，且满足2A-1B=B-4E，其中E是n阶单位矩阵，试证：A-2E可逆

4、。并求出A-2E-1=？八、10分设为阶矩阵，且，其中是中元素的代数余子式=1，2，n。试证：的伴随矩阵*的特征值是0和1，并说明各个特征值的重数。线性代数综合练习参考答案一、选择题：1D；2A；3A；4B；5C；二、填空题： 1；2-1；3 ±，；4；5-三、解：A=1当=0时，r(A)=1<4，故齐次线性方程组有非零解，其同解方程组为：x1+x2+x3+ x4=0由此得一根底解系为：， 故全部解为： 其中为任意常数7分2当0时，当=-10时，rA=3<4，故齐次线性方程组也有非零解，其同解方程组为：，解之，可得一个根底解系为：y=1，2，3，4T，故全部解为：X=ky

5、其中k为任意常数15分备注：此题也可另解|A|=+103当|A|=0时，即=0或=-10时，齐次线性方程组有无穷解。四、解：1记B=，C=那么有： 从而，由基到基的过渡矩阵为：A=B-1C=5分2设关于基的坐标为即：由此可得：，解之得：，故关于基的坐标为0，1，1，又=即关于基的坐标为1，1，210分五、解：1设A的属于特征值2=12重的特征向量为x1，x2，x3T，那么A是实对称矩阵，x1，x2，x3T与1正交，即有：x1，x2，x3=0，也即：x1+x2+x3=0，解之：2=-1，1，0T3=-1，0，1TA的属于2=1的全部特征向量为：k12+ k23k1，k2不同时为05分2 A*=|

6、A|A-1A*的特征值为：|A|·-，|A|·12重 又|A|=-2 A*的特征值为：1，-22重10分A*1，2，3=1，2，3A*=1，2，31，2，3-1=15分六、解：f的正交变换前后的矩阵分别为： 和于是，A、B相似，从而有相同的特征多项式即：|E-A|=|E-B|5分也即：3-32+2-a2-b2+a-b2=3-32+2，比拟上式等号两边的各幂次项系数有：10分七、证明：2A-1B=B-4E左乘A，得：2B=AB-4A5分即：AB-2B-4A=0A-2EB-4E=8E故A-2E可逆，且A-2E-1=B-4E10分八、证明：rA=n-1 rA*=12分又齐次线性方程组0E-A*X=0的根底解系含有n-1个线性无关的解向量，0