多元函数值向量的积分(重积分)chap

1、 第第1 1节节 场的概念场的概念 数量场：向量场：),(),()(zyxMzyxuMu),(),(),(),()(zyxRzyxQzyxPzyxFMF 场：某种物理量在空间（平面）区域内的一种分布。 按照该物理量是数量还是向量，将场称为数量 场与向量场。 场量在区域（场域）内的分布可以用定义在该区域内的一个函数来描述，给定了一个函数（场函数），就相当于给定了一个场。稳定场（定常场）：仅与点的位置有关，与时间无关不稳定场（非定常场，时变场）：与点的位置及时间有关)()(44),()(23222030kzj yi xzyxqrrqzyxEMEq的点电荷产生的电场为量为例如，位于原点且带电Cyxf

2、Czyxf),(),(等值线：等值面： 在 数量场中： 在 向量场中：共线的曲线。与向量场处的切向量向量线：任一点（),(),zyxFzyx第第2 2节节 第二型第二型( (对坐标的对坐标的) )曲线积分曲线积分一.概念和性质的长度的长度表示弧段表示弧段有向小弧段有向小弧段个个任意分成任意分成把曲线段把曲线段用分点用分点iiiiiiPPsniPPnLniP11:), 2 , 1(), 2 , 1(),( , ),(),(),( :上上连连续续在在设设所所作作的的功功变变力力求求点点移移动动到到点点沿沿平平面面曲曲线线从从作作用用下下设设一一个个质质点点在在变变力力变变力力作作功功问问题题Lyx

3、FWFBLAyxQyxPyxF:分割ABxy1P1iPiPnPis,),(),()( 11iiiiiiiiiiiiyxQPPPMFWPP 所所作作的的功功移移动动到到点点质质点点从从点点max1iniSd:取极限:求和iiiiPPMFWW1n1in1i)( iiiiPPMFWW1n1i0dn1i0d)( lim lim iiiiiiyQxP),(),( iiiiiPPM1),( 任任取取:近似iiiiPPPP11近近似似看看成成向向量量有有向向小小弧弧段段ABxy1P1iPiPnPis),(iiiM :第二型曲线积分的概念)., 2 , 1() 1, 2 , 1)(,(,),(,1niPPnL

4、niyxPLyxFBALiiiii弧弧段段个个有有向向小小分分成成把把用用分分点点上上有有定定义义在在向向量量函函数数滑滑曲曲线线为为终终点点的的一一条条有有向向光光为为起起点点为为以以设设的长度，iiiPPs1定义iiiiPPF1n1i),( ,max1iniSd记作作和和式式任任取取,),(1iiiiiPPM 为为的的第第二二型型曲曲线线积积分分，记记沿沿有有向向曲曲线线则则称称此此极极限限为为向向量量函函数数的的取取法法无无关关法法及及点点的的分分在在，且且极极限限值值与与时时，上上述述和和式式的的极极限限存存若若LyxFMLdi),(,0niiiiidLPPFdsyxF110),(li

5、m),( ),(),(),(yxQyxPyxF设设, ,111iiiiiiiiyxyyxxPP则则注),(iiiM ),(iiiyxP,dydxds ),(),(lim10iiiniiiidyQxP 表达式第二型曲线积分的数量) 1 (LdyyxQdxyxP),(),(,),(, ),(lim10iiiiniiidyxQP niiiiidLPPFdsyxF110),(lim),( LdydxyxQyxP,),(),(LdyyxQdxyxPWLyxQyxPyxF),(),(,),(),(),(:; )2(所所作作的的功功为为运运动动沿沿有有向向曲曲线线作作用用下下质质点点在在变变力力其其物物理理

6、意意义义是是积积分分向向量量函函数数对对坐坐标标的的曲曲线线第第二二型型曲曲线线积积分分也也称称为为dsMFdzzyxRdyzyxQdxzyxPWLzyxRzyxQzyxPzyxFLL)(),(),(),(,),(),(),(),(:)3(简简记记为为所所作作的的功功为为运运动动沿沿空空间间有有向向曲曲线线作作用用下下，质质点点在在变变力力推推广广所所做做的的功功沿沿水水平平方方向向和和竖竖直直方方向向分分别别表表示示和和其其中中),(),(),(yxFdyyxQWdxyxPWLyLx首首尾尾相相接接；与与其其中中可可加加性性2121L, ),(),(),(),(),(),()2(21LLLL

7、LdyyxQdxyxPdyyxQdxyxPdyyxQdxyxPLL性质有有向向曲曲线线弧弧。同同一一条条反反方方向向的的与与方方向向性性）（)(: ),(),(),(),(1LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxPLL55:)3(P见见书书线线性性性性质质!,),(:的的方方程程故故满满足足上上点点在在曲曲线线被被积积函函数数中中的的由由定定义义易易知知注注LLyx二.第二型曲线积分的计算 根据第二型曲线积分及定积分的定义,可得如下第二型曲线积分的计算法 )()(:L :. 1tyytxxL由参数方程给出设 化成定积分计算 ,),(),()1( 上连续在 LyxQyxP;,)2( BAt变

8、到终点曲线上的点由起点时变到从当dttytytxQtxtytxPdttytytxQdttxtytxPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),()()(),()()(),(),(),(则。且续偏导数一阶连为端点的闭区间上具有在以0)()(,)(),()3(22tytxtytx ,)(. 2则终点起点给出由直角坐标系方程若bxaxxyyLbaLdxxyxyxQxyxPdyyxQdxyxP)()(,()(,( ),(),( 类似地，可得到沿空间曲线的第二型曲线积分的计算方法。注 第二型曲线积分化成定积分时,必须定积分的下限 对 应于C的起点,上限对应于终点,而不必考虑上下 限的大小。2022

9、022022234coscos2sin)sin1 ( cos)sincos2cos()2(abttdabtdtbadttbttabtadyxyxLtdtbdyttbytaxLcos,0:,sincos: )( 法法一一例例1. 0, 1:,)2(22222ybyaxLdyxyxL圆为逆时针方向的上半椭计算oyxdxxaxabaxxbxdyxyxaaL)()12( )2(22222222222222233422abdxxabdxxabxaxabaaaa,:,1: : )(22aaxaxbyL法法二二oyxdxxaxabdy22Ldyxyx)2(20,1: : )(22ybyaxL法法三三oyx

10、12)1 (12)1 ( 022222022222dyybyabyadyybyabyabb2022202234)1 (3221423abbyabdyybyabb,0:,sincos: ) 1 (ttaytaxL)sin()cos(sin 0222tadtad tadydxyL 00 ,:,0:)2(2dxdydxyaaxyLaaL本例中，沿两条起点，终点相同，路径不同的曲线本例中，沿两条起点，终点相同，路径不同的曲线,积分不等。积分不等。oyxAB303303334 )3cos(cossin)sincos(attatadttata .)0 ,()0 ,()2( ,)0() 1 ( ,2222的

11、的直直线线段段到到从从逆逆时时针针为为其其中中计计算算aBaAyayxLdydxyL例例2.).3( ,).2( ,) 1, 0()0, 1 ().1 ( ABAOBBA段直线折线的在第一象限的圆弧到从,20:,sincos: )1(ttytxL20cos)sin(cos)sin)(sin(cos)()(tdtttdttttdyyxdxyxL ,)()(为其中计算LdyyxdxyxLoxy1)2sin2(cos20dttt例3解ABOBAOLdyyxdxyxyxxyL)()(, 10:,0;01:,0: )2(1)22()() 12()()(,01:,1: )3 (0101dxxdxxdxdy

12、yxdxyxxxyLL本例中，三条曲线的起点、终点相同，而路径不同本例中，三条曲线的起点、终点相同，而路径不同,但是积分值相等。但是积分值相等。(积分与路径无关积分与路径无关)1)(1001dyydxxoxyAB.),() 1, 0( ),0, 1(),1, 0(),0, 1 (,逆时针方向如图为顶点的正方形边界为以DCBALyxdydxL1001)1 ()1 ()(xxdxdxxxdxdxyxdydxL本例中，积分曲线为闭曲线，积分值为零。以后将进一步研究此类积分。oyxADCB022 )1 (1)(10101001dxdxxxdxdxxxdxdx例 4解LLdydxdydx11.)0, 0(:222222222轴正向往下看逆时针其方向从 zRzRxyxRzyxLdzxdyzdxyL参数方程为,)2()2( :L 2222222RyRxRzyx20:,2sinsin2cos222ttRxRRztRytRRx例5解dzxdyzdxyL22243RdttRtRRtRtRtRtR)2cos2()cos22()cos2(2sin)sin2()sin2(2222022sin2cossin2cos12cos)cos