方向导数与梯度

1、第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度1.设空间曲线的方程设空间曲线的方程) 1 ()()()( tztytx (1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. )(),(),(000tttT 法平面：过法平面：过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.0)()()(000000 zztyytxxt ozyxMM2.空间曲线方程为空间曲线方程为,0),(0),( zyxGzy

2、xF切线方程为切线方程为,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 法平面方程为法平面方程为.0)()()(000000zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzyozyxMMzyzyxzxzGGFFGGFFy zyzyyxyxGGFFGGFFz 设曲面方程为设曲面方程为0),( zyxF二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线nTM),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 令令切平面方程为切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为法线方程为)

3、,(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 若若 、 、 表表示示曲曲面面的的法法向向量量的的方方向向角角，并并假假定定法法向向量量的的方方向向是是向向上上的的，即即使使得得它它与与z轴轴的的正正向向所所成成的的角角 是是锐锐角角，则则法法向向量量的的方方向向余余弦弦为为,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中实例实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点在坐标原点

4、处有一个火焰，它使金属板受热假定板上处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的问题的实质实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行向（即梯度方向）爬行一、问题的提出一、问题的提出 讨论函数讨论函数 在一点在一点P沿某一方向沿某一方向的变化率问题的变化率问题),(yxfz 二、方向导数的定义二、方向导数的定义oyxlP xy引引射射线线

5、内内有有定定义义，自自点点的的某某一一邻邻域域在在点点设设函函数数lPPUyxPyxfz)(),(),( ).(),(,pUPlyyxxPlx 上的另一点且上的另一点且为为并设并设为为的转角的转角轴正向到射线轴正向到射线设设 （如图）（如图）P |PP,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且当当 沿着沿着 趋于趋于 时，时，P Pl ),(),(lim0yxfyyxxf , z 考虑考虑是否存在？是否存在？oyxlP xyP.),(),(lim0 yxfyyxxflf 依依定定义义，函函数数),(yxf在在点点P沿沿着着x轴轴正正向向0 , 11 e、y轴轴正正向向1 , 02

6、 e的的方方向向导导数数分分别别为为yxff ,；沿着沿着x轴负向、轴负向、y轴负向的方向导数是轴负向的方向导数是 yxff ,.的方向导数的方向导数沿方向沿方向则称这极限为函数在点则称这极限为函数在点在，在，时，如果此比的极限存时，如果此比的极限存趋于趋于沿着沿着当当之比值，之比值，两点间的距离两点间的距离与与函数的增量函数的增量定义定义lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),( 记为记为定理如果函数定理如果函数),(yxfz 在点在点),(yxP是可微分是可微分的，那末函数在该点沿任意方向的，那末函数在该点沿任意方向 L L 的方向导数都的方向导数都存在，且有存在，且有

7、sincosyfxflf ， 其中其中 为为x轴到方向轴到方向 L L 的转角的转角证明证明由于函数可微，则增量可表示为由于函数可微，则增量可表示为)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 两边同除以两边同除以,得到得到cossin )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 故有方向导数故有方向导数 ),(),(lim0yxfyyxxf .sincos yfxf lf例例 1 1 求函数求函数yxez2 在点在点)0 , 1(P处沿从点处沿从点 )0 , 1(P到点到点)1, 2( Q的方向的方向导数的方向的方向导数.解解故故x轴轴到到方方向向l的的转转角角4 .; 1)0, 1

8、(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所所求求方方向向导导数数)4sin(2)4cos( lz.22 这这里里方方向向l即即为为1, 1 PQ,例例 2 2 求函数求函数22),(yxyxyxf 在点在点（1，1）沿与沿与x轴方向夹角为轴方向夹角为 的方向射线的方向射线l的方向导数的方向导数.并并问在怎样的方向上此方向导问在怎样的方向上此方向导 数有数有 （1）最大值；）最大值； （2）最小值；）最小值； （3）等于零？）等于零？解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知,sin)2(

9、cos)2()1 ,1()1 ,1( xyyx sincos),4sin(2 故故（1）当当4 时时，方方向向导导数数达达到到最最大大值值2;（2）当）当45 时，时，方方向向导导数数达达到到最最小小值值2 ;（3）当当43 和和47 时时，方向导数等于方向导数等于 0.对对于于三三元元函函数数),(zyxfu ，它它在在空空间间一一点点),(zyxP沿沿着着方方向向 L 的的方方向向导导数数 ，可可定定义义为为,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义（ 其其中中222)()()(zyx ） 同理：当函数在此点可微时，那末

10、函数在该点同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向沿任意方向 L的方向导数都存在，且有的方向导数都存在，且有.coscoscos zfyfxflf 设设方方向向 L 的的方方向向角角为为 ,cos x,cos y,cos z例例 3 3 设设n是是曲曲面面632222 zyx 在在点点)1 , 1 , 1(P处处的的指指向向外外侧侧的的法法向向量量，求求函函数数2122)86(1yxzu 在在此此处处沿沿方方向向n的的方方向向导导数数.解解令令, 632),(222 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF, 22 PPzzF故故 zyxFFFn , ,2, 6, 4

11、,142264222 n方向余弦为方向余弦为,142cos ,143cos .141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 PPzuyuxunu)coscoscos( .711 故故定定义义 设设函函数数),(yxfz 在在平平面面区区域域 D 内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数，则则对对于于每每一一点点DyxP ),(，都都可可定定出出一一个个向向量量jyfixf ，这这向向量量称称为为函函数数),(yxfz 在在点点),(yxP的的梯梯度度，记记为为 ),(yxgradfjyfixf .三、梯度的概念三、梯

12、度的概念?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函数在点函数在点问题问题P sincosyfxflf sin,cos, yfxfeyxgradf ),(,cos| ),(| yxgradf 其中其中),(,eyxgradf 当当1),(cos( eyxgradf时时，lf 有有最最大大值值.设设jie sincos 是是方方向向 l上上的的单单位位向向量量，由由方方向向导导数数公公式式知知 函函数数在在某某点点的的梯梯度度是是这这样样一一个个向向量量，它它的的方方向向与与取取得得最最大大方方向向导导数数的的方方向向一一致致,而而它它的的模模为为方方向向导导数数的的最最大大值值梯梯度

13、度的的模模为为 22| ),(| yfxfyxgradf.结论结论当当xf 不不为为零零时时，x轴到梯度的转角的正切为轴到梯度的转角的正切为xfyf tangradfgradf P),(yxfz 在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等高线等高线),(yxgradf梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量P等高线的画法等高线的画法播放播放图形及其等高线图形图形及其等高线图形函数函数xyzsin 例如例如,梯度与等高线的关系：

14、梯度与等高线的关系：向导数向导数的方的方于函数在这个法线方向于函数在这个法线方向模等模等高的等高线，而梯度的高的等高线，而梯度的值较值较值较低的等高线指向数值较低的等高线指向数从数从数线的一个方向相同，且线的一个方向相同，且在这点的法在这点的法高线高线的等的等的梯度的方向与点的梯度的方向与点在点在点函数函数cyxfPyxPyxfz ),(),(),( 三三元元函函数数),(zyxfu 在在空空间间区区域域 G内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数，则则对对于于每每一一点点GzyxP ),(，都都可可定定义义一一个个向向量量(梯梯度度).),(kzfjyfixfzyxgradf 类似于二元函数

15、，此梯度也是一个向量，类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数类似地类似地,设曲面设曲面czyxf ),(为函数为函数),(zyxfu 的等量面，此函数在点的等量面，此函数在点),(zyxP的梯度的方向与的梯度的方向与过点过点 P的等量面的等量面czyxf ),(在这点的法线的一在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方高的等量

16、面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数向的方向导数.例例 4 4 求函数求函数 yxzyxu2332222 在点在点 )2 , 1 , 1 (处的梯度，并问在处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？哪些点处梯度为零？解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu 在在)0 ,21,23(0 P处处梯梯度度为为 0.1、方向导数的概念、方向导数的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所

17、说偏导数的区别区别）（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）四、小结四、小结.),(最快的方向最快的方向在这点增长在这点增长梯度的方向就是函数梯度的方向就是函数yxf讨讨论论函函数数22),(yxyxfz 在在)0 , 0(点点处处的的偏偏导导数数是是否否存存在在？方方向向导导数数是是否否存存在在？思考题思考题xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同同理理：)0,0(yz yyy |lim0故两个偏导数均不存在故两个偏导数均不存在.思考题解答思考题解答讨讨论论函函数数22),(yxyxfz 在在)0 , 0(点点处处的的偏偏导导数数是是否否存存在在？

18、方方向向导导数数是是否否存存在在？沿沿任任意意方方向向,zyxl 的的方方向向导导数数, )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx 故故 沿沿 任任 意意 方方 向向 的的 方方 向向 导导 数数 均均 存存 在在 且且 相相 等等 .Assignment P108 6 8一、一、 填空题填空题: :1 1、 函数函数22yxz 在点在点)2 , 1(处沿从点处沿从点)2 , 1(到点到点 )32 , 2( 的方向的方向导数为的方向的方向导数为_._.2 2、 设设xyzyxzyxf 22232),(zyx623 , , 则则 )0 , 0 , 0(gradf_._.3 3、 已知场已知场,),(222222czbyaxzyxu 沿沿则则u场的梯度场的梯度方向的方向导数是方向的方向