第12章晶体结构

1、固体物理和半导体物理固体物理和半导体物理固体物理固体物理晶体结构晶体结构晶格振动晶格振动晶体中的电子状态晶体中的电子状态半导体物理半导体物理平衡状态下的半导体平衡状态下的半导体半导体导电性半导体导电性非平衡状态下的半导体非平衡状态下的半导体半导体器件基础半导体器件基础第第12章章 晶体结构晶体结构12.1 晶体结构的周期性晶体结构的周期性12.2 常见的晶体结构常见的晶体结构12.3 密堆积密堆积 配位数配位数12.4 晶系晶系 布拉菲晶胞布拉菲晶胞12.5 晶体的对称性晶体的对称性12.6 晶向指数与晶面指数晶向指数与晶面指数12.7 倒格子与布里渊区倒格子与布里渊区电子科技大学光电信息学院

2、陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军晶体晶体 原子按一定的原子按一定的周期周期排列规则的固体排列规则的固体( (长程有序长程有序) )天然的岩盐、水晶、半导体锗、硅单晶天然的岩盐、水晶、半导体锗、硅单晶第第12章章 晶体结构晶体结构长程有序长程有序单晶体单晶体多晶体多晶体规则外形规则外形固定熔点固定熔点各向异性各向异性有许多不同位相的小晶粒组成有许多不同位相的小晶粒组成由一个核心由一个核心生长而成生长而成铁铜铝等金属铁铜铝等金属电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军非晶体非晶体 原子的排列没有明确的周期性原子的排列没有明确的周期性( (短程有序短程有序) )玻璃、橡胶、塑

3、料玻璃、橡胶、塑料第第12章章 晶体结构晶体结构Be2O3 晶体和晶体和 Be2O3玻璃玻璃电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军准晶体准晶体 介于晶体与非晶体之间，具有完全介于晶体与非晶体之间，具有完全有序有序的的结构，但是又结构，但是又不具备晶体的平移特性不具备晶体的平移特性；（可以有一些晶；（可以有一些晶体中无法出现的宏观对称性）体中无法出现的宏观对称性）第第12章章 晶体结构晶体结构Al65Co25Cu10合金合金电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.1 晶体结构的周期性晶体结构的周期性1.1.格点与基元格点与基元格点：格点：格点格点a

4、aaba基元基元基元：基元：点阵：点阵：晶格：晶格：将晶体中的单个原子中心或者原子集团中心抽象将晶体中的单个原子中心或者原子集团中心抽象成成周期性排列周期性排列的几何点；的几何点；格点所代表的物理实体（原子或者原子集团）；格点所代表的物理实体（原子或者原子集团）；格点的总体叫做空间点阵；格点的总体叫做空间点阵；格点格点+ +基元基元晶体结构晶体结构电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.1 晶体结构的周期性晶体结构的周期性1.1.格点与基元格点与基元格点应该能够体现周期性格点应该能够体现周期性平移特性平移特性每个格点的周围环境应该都相同，所代表的物理化学性质也每个格点

5、的周围环境应该都相同，所代表的物理化学性质也相同相同BavaisBavais证明，空间点阵只有证明，空间点阵只有1414种种类型，不同的基元构成了成类型，不同的基元构成了成千上万中晶体千上万中晶体电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.1 晶体结构的周期性晶体结构的周期性2.2.简单格子与复式格子简单格子与复式格子aaaba简单格子简单格子复式格子复式格子简单格子：基元仅包含一个原子的晶格，简单格子：基元仅包含一个原子的晶格，Bravais latticesBravais lattices 复式格子：基元包含两个或者两个以上原子的晶格复式格子：基元包含两个或者两个以上

6、原子的晶格可以是同类也可是异类可以是同类也可是异类电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.1 晶体结构的周期性晶体结构的周期性3.3.原胞与晶胞原胞与晶胞平移矢量：平移矢量： 晶格具有三维周期性，以一格点为原点，按平晶格具有三维周期性，以一格点为原点，按平移的方向和长度取三个矢量，就叫平移矢量移的方向和长度取三个矢量，就叫平移矢量321aaa、方向各不相方向各不相同也不相反同也不相反构成三维构成三维如果所围成的如果所围成的体积最小，即体积最小，即是原胞基矢是原胞基矢0a1a2电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.1 晶体结构的周期性晶体结构

7、的周期性3.3.原胞与晶胞原胞与晶胞平移矢量平移矢量321aaa、0 a1a2原胞基矢原胞基矢原胞：由平移矢量所构成的平行六面体，叫做固体物理学原胞原胞：由平移矢量所构成的平行六面体，叫做固体物理学原胞原胞是体积最小的周期性重复单元；原胞是体积最小的周期性重复单元；原胞选取不唯一，但是不同的选取得到的体积相同；原胞选取不唯一，但是不同的选取得到的体积相同；一个原胞只包含一个格点；一个原胞只包含一个格点；电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.1 晶体结构的周期性晶体结构的周期性3.3.原胞与晶胞原胞与晶胞0 a1a2Rr格矢格矢)(332211alalalrR）（)(

8、332211anananrQrQ）（格点的位格点的位置矢量置矢量物理性质的平移物理性质的平移2145aaRr电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.1 晶体结构的周期性晶体结构的周期性3.3.原胞与晶胞原胞与晶胞晶胞晶胞同时考虑晶格周期性和对称同时考虑晶格周期性和对称性的重复单元，称为晶胞性的重复单元，称为晶胞单胞（结晶单胞（结晶学原胞）学原胞）晶胞基矢晶胞基矢cba、晶胞的基矢一般选择在一些重要的对称轴上晶胞的基矢一般选择在一些重要的对称轴上晶轴：被选为晶胞基矢的对称轴晶轴：被选为晶胞基矢的对称轴称为晶轴称为晶轴晶格常数：晶轴上布拉菲格子的晶格常数：晶轴上布拉菲格子

9、的相邻格点的距离，相邻格点的距离，a a、b b、c c二维三角晶格二维三角晶格轴矢间夹角：轴矢间夹角：abc 电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.1 晶体结构的周期性晶体结构的周期性3.3.原胞与晶胞原胞与晶胞电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.1 晶体结构的周期性晶体结构的周期性3.3.原胞与晶胞原胞与晶胞)(321aaa原胞：原胞：) cb(a晶胞：晶胞：二者体积之比，就是二者所包含的格点个数之比二者体积之比，就是二者所包含的格点个数之比原胞只包含一个格点，而晶胞可以包含多个原胞只包含一个格点，而晶胞可以包含多个电子科技大学光电

10、信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.1 晶体结构的周期性晶体结构的周期性3.3.原胞与晶胞原胞与晶胞Wigner-SeitzWigner-Seitz原胞原胞对称原胞对称原胞既满足体积最小的重复单既满足体积最小的重复单元，又满足宏观对称性元，又满足宏观对称性电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.2 常见的晶体结构常见的晶体结构本小节要设计几个立方晶系，先将立方晶系的共性做一介绍本小节要设计几个立方晶系，先将立方晶系的共性做一介绍晶系晶系是以是以晶胞晶胞外形外形及及棱边长度棱边长度之间的关系以及之间的关系以及晶轴夹角晶轴夹角的情况加以归类的一种分类方式的情

11、况加以归类的一种分类方式立方晶系立方晶系外形外形“立方立方”a=b=ca=b=c晶格常数晶格常数= = =90=900 0晶轴夹角晶轴夹角SCSCBCCBCCFCCFCC七大晶系，七大晶系，1414种布拉菲格子种布拉菲格子电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.2 常见的晶体结构常见的晶体结构1.1.简单立方简单立方aiaajbakc原胞基矢可以与晶胞基矢相同原胞基矢可以与晶胞基矢相同i ij jk k8 8个顶点分别有一个格点，为个顶点分别有一个格点，为8 8个相个相邻的简单立方共有，故该晶胞只包邻的简单立方共有，故该晶胞只包含含1 1个格点个格点-Po(Po(在标

12、准状况具有立方在标准状况具有立方 结构的唯一一例结构的唯一一例) ) a a为晶格常数为晶格常数电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.2 常见的晶体结构常见的晶体结构2.2.体心立方体心立方立方体立方体8 8个顶点分别有一个格个顶点分别有一个格点，与点，与8 8个相邻的晶胞共有，个相邻的晶胞共有，体心有一格点，为其独有，故，体心有一格点，为其独有，故，体心立方共包含体心立方共包含2 2个格点个格点碱金属（碱金属（LiLi、NaNa、K K、RbRb、CsCs）、一些过渡金属（）、一些过渡金属（V V、NbNb、TaTa、CrCr、MnMn、FeFe等）等）2020多

13、种金属；多种金属；电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.2 常见的晶体结构常见的晶体结构2.2.体心立方体心立方原胞的确定原胞的确定a1a2a3ijk0abc1a2a3a)(2)(2)(2321kjiaakjiaakjiaa33321211111111118aaaaa晶胞的体积为晶胞的体积为a a3 3，是原胞体积的，是原胞体积的2 2倍倍原胞的选取并不唯一原胞的选取并不唯一电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.2 常见的晶体结构常见的晶体结构3.3.面心立方面心立方立方体立方体8 8个顶点分别有一个格点，个顶点分别有一个格点，为相邻的为

14、相邻的8 8个晶胞共有；个晶胞共有；6 6个面心分个面心分别有一个格点，为相邻两个晶胞所别有一个格点，为相邻两个晶胞所共有，故面心立方共包含共有，故面心立方共包含4 4个格点个格点CaCa、SrSr、BaBa、CuCu、AgAg、PdPd、 PtPt等等5050多种金属多种金属电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.2 常见的晶体结构常见的晶体结构3.3.面心立方面心立方晶胞的体积为晶胞的体积为a a3 3，是原胞体积的，是原胞体积的4 4倍倍a1a2a3ijk面心立方的原胞面心立方的原胞)(2)(2)(2321jiaaikaakjaa3332141011101110

15、8aaaaa电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.2 常见的晶体结构常见的晶体结构4.4.氯化钠结构氯化钠结构NaClNaCl结构描述：结构描述：a.a.复式格子复式格子b.b.钠离子和氯离子分别组成钠离子和氯离子分别组成相同的面心立方相同的面心立方c.c.是两个面心立方沿基矢方是两个面心立方沿基矢方向相互位移向相互位移1/21/2套构而成套构而成实例：实例：LiLi、NaNa、K K、PbPb、F F、ClCl、BrBr和和I I等元素结合的化合物为氯化等元素结合的化合物为氯化钠结构；钠结构；电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.2 常

16、见的晶体结构常见的晶体结构5.5.氯化铯结构氯化铯结构CsClCsCl结构描述：结构描述：a.a.复式格子复式格子b.b.铯离子和氯离子分别组成铯离子和氯离子分别组成相同的简单立方相同的简单立方c.c.是两个简单立方沿着体对是两个简单立方沿着体对角线方向位移角线方向位移1/21/2套构而成套构而成实例：实例：CsBrCsBr、CsICsI、TiClTiCl、TiBrTiBr、TiITiI等化合物晶体属于氯化铯结构等化合物晶体属于氯化铯结构电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.2 常见的晶体结构常见的晶体结构6.6.金刚石结构金刚石结构C C结构描述：结构描述：a.a

17、.虽然由单一虽然由单一C C原子构成，但是原子构成，但是该结构为复式格子该结构为复式格子b.b.每个基元包含两个每个基元包含两个C C原子，原子，这两个这两个C C原子都构成面心立方原子都构成面心立方c.c.该结构是两个面心立方沿着体该结构是两个面心立方沿着体对角线方向位移对角线方向位移1/41/4套构而成套构而成实例：半导体实例：半导体SiSi、GeGe都属于金刚石结构都属于金刚石结构d.d.每个晶胞包含每个晶胞包含8 8个个C C原子原子e.e.每个每个C C原子与之最近的原子与之最近的4 4个个C C原原子构成四面体结构；四个键长度子构成四面体结构；四个键长度相等，夹角为相等，夹角为10

18、91090 02828/ /; ;电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.2 常见的晶体结构常见的晶体结构7.7.闪锌矿结构闪锌矿结构ZnSZnS实例：重要的化合物半导体，如实例：重要的化合物半导体，如GaAsGaAs、InPInP、InSbInSb等属于等属于闪锌矿结构闪锌矿结构闪锌矿结构与金刚石结构基本相闪锌矿结构与金刚石结构基本相同，所不同的是，一个是单原子同，所不同的是，一个是单原子结构，一个是化合物结构结构，一个是化合物结构电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.3 密堆积密堆积 配位数配位数1.1.原子堆积方式原子堆积方式一维一维

19、二维二维I.I.二维正方堆积二维正方堆积II.二维密二维密堆积堆积松散的堆松散的堆积方式积方式最密的堆最密的堆积方式积方式三维三维简单立方：横纵方向都简单立方：横纵方向都是是I I的堆积方式的堆积方式丝丝相扣丝丝相扣见缝插针见缝插针体心立方：横向为体心立方：横向为I I的堆积方的堆积方式，纵向围式，纵向围IIII的堆积方式的堆积方式二者都二者都不是最不是最密堆积密堆积电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.3 密堆积密堆积 配位数配位数2.2.原子最密堆积方式与配位数原子最密堆积方式与配位数三维原子的密堆积，即横（二维）纵（第三维）都采三维原子的密堆积，即横（二维）纵

20、（第三维）都采用上页中用上页中IIII的堆积方式，该种方式所占的体积最小；的堆积方式，该种方式所占的体积最小；原子密堆积有两种，分别如下：原子密堆积有两种，分别如下：a a、立方密堆积、立方密堆积ABCABCABCABC布拉菲格子布拉菲格子面心立方面心立方b b、六方密堆积、六方密堆积ABABABABABAB两个简单六方套构的两个简单六方套构的复式格子复式格子配位数：一个原子的周围最近的原子数配位数：一个原子的周围最近的原子数SCSC配位数配位数=6=6BCCBCC配位数配位数=8=8FCCFCC配位数配位数=12=12NaClNaCl配位数配位数=6=6CsClCsCl配位数配位数=8=8金

21、刚石金刚石配位数配位数=4=4电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.3 密堆积密堆积 配位数配位数3.3.立方密堆积立方密堆积(CCP)(CCP)AABBBBBBCCCCCC配位数为配位数为1212，最大配位数，最大配位数典型晶体：典型晶体： Cu、Ag 、Au、Ca、Sr、Al、 电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.3 密堆积密堆积 配位数配位数4.4.六方密堆积（六方密堆积（HCPHCP）配位数为配位数为1212，为最大配位数，为最大配位数 典型晶体：典型晶体：Be、Mg、

22、Zn、Cd、Ti 复式格子复式格子两个简单六两个简单六方相互位移方相互位移c21a31a3221套构而成套构而成A AB BA AB BA A电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.4 晶系晶系 布拉菲晶胞布拉菲晶胞1.1.晶系晶系晶系划分的依据：晶系划分的依据：晶格常数晶格常数a a、b b、c c夹角夹角、是否相等是否相等七大晶系七大晶系立方立方简单简单simplesimple、体心、体心body-centeredbody-centered、面心、面心四方四方简单、体心简单、体心六方六方简单简单三方三方简单简单正交正交简单、底心、体心、面心简单、底心、体心、面心f

23、ace-centeredface-centered单斜单斜简单、底心简单、底心base-centeredbase-centered三斜三斜简单简单共共1414种布拉菲格子种布拉菲格子电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.4 晶系晶系 布拉菲晶胞布拉菲晶胞立方立方三斜三斜六方六方单斜单斜四方四方正交正交三方三方电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.4 晶系晶系 布拉菲晶胞布拉菲晶胞2.2.立方晶系立方晶系立方立方 Cubica=b=c, = = =90bcaaaa(1)aaa(2) 2)aaa(3)电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学

24、光电信息学院陈德军12.4 晶系晶系 布拉菲晶胞布拉菲晶胞3.3.四方晶系四方晶系四方四方 Tetragonala=b c, = = =90b=acaaac(4)aca(5)电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.4 晶系晶系 布拉菲晶胞布拉菲晶胞4.4.六方晶系和三方晶系六方晶系和三方晶系b=a ca六方六方 Hexagonal a=b c, = =90, =120三方三方 Rhombohedrala=b=c, = =90bac电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.4 晶系晶系 布拉菲晶胞布拉菲晶胞5.5.正交晶系正交晶系正交正交 ort

25、horhombica b c, = = =90bacacbacbacbacb电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.4 晶系晶系 布拉菲晶胞布拉菲晶胞6.6.单斜晶系单斜晶系单斜单斜 Monoclinic a b c = =90, 90acbacbacb电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.4 晶系晶系 布拉菲晶胞布拉菲晶胞7.7.三斜晶系三斜晶系三斜三斜 Triclinic a b c 90baclCubic（立方）a=b=c=90lTetragonal （四方）a=bc=90lOrthorhombic（正交）abc=90lMonocli

26、nic（单斜）abc =90, 90lTriclinic（三斜）abc 90lHexagonal（六方）a=bc=90, =120ltrigonal（三方） a=b=c=90电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军bca电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军c21b31a32电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.5 晶体的对称性晶体的对称性对称对称要素要素宏观宏观对称对称要素要素反映晶体外形和其反映晶体外形和其宏观性质的对称性宏观性质的对称性旋转旋转 C Cn n反映反映倒反倒反 i i象转象转 S Sn n旋转旋转- -倒

27、反倒反 n n微观微观对称对称要素要素平移对称操作以及转动和平移结合的对称操作平移对称操作以及转动和平移结合的对称操作1.1.宏观对称要素宏观对称要素电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.5 晶体的对称性晶体的对称性1.1.宏观对称要素宏观对称要素a a、旋转、旋转 C Cn n定义：当晶体绕其某轴定义：当晶体绕其某轴u u旋转旋转=2=2/ /n n后，晶体能自身重合的对称操作后，晶体能自身重合的对称操作旋转对称轴旋转对称轴n n次对称轴次对称轴n n的值只能取的值只能取1 1，2 2，3 3，4 4，6 6=2, , 2/3, /2, /3C C1 1,C,C2

28、 2, C, C3 3, C, C4 4, C, C6 6电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.5 晶体的对称性晶体的对称性1.1.宏观对称要素宏观对称要素a a、旋转、旋转 C Cn nC4 (4)C6 (6)C3 (3)C1 (1)C2 (2)电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.5 晶体的对称性晶体的对称性1.1.宏观对称要素宏观对称要素b b、反映、反映 镜镜面面对称对称c c、倒反、倒反 i i中心中心点点对称，反演对称，反演ie e、象转、象转 S Sn n旋转旋转+ +反映反映nhhnnCCSS S1 1, S, S2 2,

29、 S, S3 3, S, S4 4, S, S6 6f f、旋转、旋转- -倒反倒反n niCnn6, 4, 3, 2, 1垂直于对垂直于对称轴的水称轴的水平镜面平镜面n n次反转轴次反转轴电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.5 晶体的对称性晶体的对称性1.1.宏观对称要素宏观对称要素g g、一些等价的操作、一些等价的操作34612S6S4S3S2iS1f f、立方晶系的对称操作、立方晶系的对称操作u三个立方轴转动三个立方轴转动/2/2、 、 3/2共共9个对称操作；个对称操作；u六个面对角线转动六个面对角线转动 共共6个对称操作；个对称操作；u四个体对角线转动四

30、个体对角线转动2 2/3/3、 4 4/3 /3 共共8个对称操作；个对称操作；u绕中心转动绕中心转动2 2 共共1个对称操作；个对称操作；u以上每个对称动作反演以上每个对称动作反演总共总共242=48个对称操作；个对称操作；正六面体有正六面体有2424个对称操作个对称操作电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.5 晶体的对称性晶体的对称性2.2.点群和空间群点群和空间群点群：描述晶体宏观对称要素的所有可能组合点群：描述晶体宏观对称要素的所有可能组合u理论上晶体有理论上晶体有3232个点群，个点群，230230个空间群个空间群；u8个独立的宏观对称要素：个独立的宏观对

31、称要素：C1、C2、 C C3 3、C C4 4、 C C6 6、i i、S S4 4空间群：描述晶体宏观对称要素和微观对称要素（加上空间群：描述晶体宏观对称要素和微观对称要素（加上平移对称操作）的所有可能组合平移对称操作）的所有可能组合电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.5 晶体的对称性晶体的对称性2.2.点群和空间群点群和空间群电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.6 晶向指数和晶面指数晶向指数和晶面指数1.1.晶向和晶向指数晶向和晶向指数晶体中的晶列晶体中的晶列晶列的方向称之为晶向晶列的方向称之为晶向电子科技大学光电信息学院陈德军

32、电子科技大学光电信息学院陈德军12.6 晶向指数和晶面指数晶向指数和晶面指数1.1.晶向和晶向指数晶向和晶向指数晶向指数晶向指数参考坐标参考坐标原胞基矢原胞基矢m n pm n p表示晶列方表示晶列方向的指数向的指数如何求出晶向指数如何求出晶向指数a a、过坐标原点的晶列、过坐标原点的晶列如果该晶列上一点的格矢为：如果该晶列上一点的格矢为：cpbnam则该晶列的晶向指数为：则该晶列的晶向指数为：m,n,pm,n,pmnpmnp为为m m/ /n n/ /p p/ /的的互质化整数互质化整数或为：或为：pnm方向从原点指向该点方向从原点指向该点方向从该点指向原点方向从该点指向原点如果是负数，负号

33、标在顶如果是负数，负号标在顶端端电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.6 晶向指数和晶面指数晶向指数和晶面指数1.1.晶向和晶向指数晶向和晶向指数如何求出晶向指数如何求出晶向指数a a、过坐标原点的晶列、过坐标原点的晶列如果该晶列上有两点如果该晶列上有两点A A、B B，其格矢分别为：，其格矢分别为：b b、不过坐标原点的晶列、不过坐标原点的晶列cpbnam:Bcpbnam:A222111ABAB的晶向指数的晶向指数m n pm n pm n pm n p为为m2-m1,nm2-m1,n2 2-n-n1 1,p2-p1,p2-p1的互质化整数的互质化整数电子科技大学

34、光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军1.6 晶向指数与晶面指数晶向指数与晶面指数晶向与晶向指数晶向与晶向指数5Ex1：请求出以下立方晶系中晶列的晶向指：请求出以下立方晶系中晶列的晶向指数数aaaoijk1、OA122) 1 , 1 , 5 . 0(kji5 . 0OA晶向指数A2、BC011 -晶向指数jiOBOCBCkiOCkjOB1/21/2BCD 3、BD 111 kjiOB-ODBDiODkjOB晶向指数电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.6 晶向指数和晶面指数晶向指数和晶面指数1.1.晶向和晶向指数晶向和晶向指数已知晶向指数已知晶向指数mnp

35、mnp画晶列画晶列a a、过坐标原点、过坐标原点b b、不过坐标、不过坐标连接原点和坐标点连接原点和坐标点 m m，n n，p p（或者（或者mnpmnp倍数）倍数）构建构建ABAB两点，使其坐标相减后互质化结果为两点，使其坐标相减后互质化结果为mnp,ABmnp,AB为所求晶列为所求晶列要求熟练掌握：已知晶列求出晶向指数和已知晶向指数画晶列要求熟练掌握：已知晶列求出晶向指数和已知晶向指数画晶列的方法的方法电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军1.6 晶向指数与晶面指数晶向指数与晶面指数晶向与晶向指数晶向与晶向指数5Ex2：请在立方晶系中标注出如下晶向：请在立方晶系中标注

36、出如下晶向aaaoijk1、1 2 3123432141:412143:kjiBAkjiBkjiAAB2、2 1 221221:21:kjiDCjDkiCDC3/43/41/21/21/41/4构建构建BABA方向方向构建构建DCDC方向方向也可以直接画出通也可以直接画出通过原点的晶列过原点的晶列电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军1.6 晶向指数与晶面指数晶向指数与晶面指数晶向与晶向指数晶向与晶向指数5Ex2：请在立方晶系中标注出如下晶向：请在立方晶系中标注出如下晶向aaaoijk1、1 2 31233231kjiOE2、2 1 221221kjiOF构建构建OEOE

37、方向方向构建构建OFOF方向方向直接画出通过原点的晶列直接画出通过原点的晶列1/31/32/32/3E EF F-1/2-1/2两种画法的两种画法的结果比较结果比较晶向指数不止表征某晶向指数不止表征某条晶列，而是代表一条晶列，而是代表一系列平行的晶列方向系列平行的晶列方向电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.6 晶向指数和晶面指数晶向指数和晶面指数1.1.晶向和晶向指数晶向和晶向指数小总结小总结u晶向指数晶向指数m n pm n p不仅代表一个晶列，而是表征着与之平行的不仅代表一个晶列，而是表征着与之平行的一系列晶列；一系列晶列；u晶向指数中的晶向指数中的m+n+p

38、m+n+p表示着原子在该方向的密集程度。其表示着原子在该方向的密集程度。其值越大（晶向指数越大）表明单位长度该方向的原子数越值越大（晶向指数越大）表明单位长度该方向的原子数越少，平行晶列间的距离也越小；少，平行晶列间的距离也越小；u由于晶胞的旋转对称性，若干个不平行方向性质上却是等由于晶胞的旋转对称性，若干个不平行方向性质上却是等价的，这样的晶向称之为晶向族，记作价的，这样的晶向称之为晶向族，记作电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军立方立方晶系晶系电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.6 晶向指数和晶面指数晶向指数和晶面指数1.1.晶面和晶面

39、指数晶面和晶面指数晶面：晶面：在晶体中，所有的原子也可以看成分列在一系列在晶体中，所有的原子也可以看成分列在一系列平行等距的平面上，这些平面叫平行等距的平面上，这些平面叫晶面晶面晶面指数晶面指数(h k l)(h k l)米勒指数米勒指数A：对：对晶胞晶胞作晶轴作晶轴X、Y、Z，以晶胞的边长（晶格常数）作为晶轴上的，以晶胞的边长（晶格常数）作为晶轴上的单位长度。单位长度。B：求出待定晶面在三个晶轴上的截距，如该晶面与晶轴平行，则截距：求出待定晶面在三个晶轴上的截距，如该晶面与晶轴平行，则截距为为。C：取这些截距的倒数，如截距为：取这些截距的倒数，如截距为，则其倒数为，则其倒数为0。D：将上述倒

40、数化为最小的简单整数（或称为互质整数），并加上圆括：将上述倒数化为最小的简单整数（或称为互质整数），并加上圆括号，即表示该晶面的指数，一般为（号，即表示该晶面的指数，一般为（h k l）。）。负数表示与晶负数表示与晶向指数相同向指数相同电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军2:1:12/11:1:1请确定右图立方晶系的晶面指数请确定右图立方晶系的晶面指数ABCODEFabc1、建立坐标系、建立坐标系2、求面、求面ABC的晶面指数的晶面指数面面ABC：（：（112）3、求面、求面ODE的晶面指数的晶面指数1:1:1面面ODE：作辅助面作辅助面AFB与与ODE平行，则它的晶面

41、指数与平行，则它的晶面指数与ODE同同)111(做平行面方做平行面方便求出坐标便求出坐标轴截距轴截距电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军aaa求图中面求图中面ABC的晶面指数的晶面指数ABCijkO做平行线、延长，做平行线、延长，扩大现有晶面可见扩大现有晶面可见的范围，以求坐标的范围，以求坐标轴截距轴截距三个方向的截距比为三个方向的截距比为1/2:1/2:晶面晶面ABCABC的晶面指数的晶面指数(100)(100)电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军aaaDEijkOFDEDE两点位于立方体的两个面心，求晶面两点位于立方体的两个面心，求晶面DEF

42、DEF的晶面指数？的晶面指数？X XY YZ ZOX:2/3aOX:2/3aOY:-2aOY:-2aX XY YO OO OX XZ ZG GG G面心面心D DOZ:OZ:2 2a aFDEFDE的晶面指数为的晶面指数为截距倒数比截距倒数比3/2:-1/2:3/2:-1/2:1/21/2) 113(O Oa/3a/3a/2a/22a/32a/3a/2a/2电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军aaaDEijkOFDEDE两点位于立方体的两个面心，求晶面两点位于立方体的两个面心，求晶面DEFDEF的晶面指数？的晶面指数？截距：截距：1/61/6、-1/2-1/2、1/21

43、/2倒数：倒数：6 6、-2-2、2 2晶面指数（晶面指数（311311）电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军aaaDEijkOFDEDE两点位于立方体的两个面心，求晶面两点位于立方体的两个面心，求晶面DEFDEF的晶面指数？的晶面指数？坐标：坐标：D D：1/2,0,1/21/2,0,1/2E E：1/2,1/2,11/2,1/2,1F F：1,11,1，0 0DE- 0,1/2,1/2DE- 0,1/2,1/2EF-1/2,1/2,-1EF-1/2,1/2,-1）互质化：（，矢量参数113a/4-a/44/a3-4/4/4/312/12/12/12/10ikajai

44、aGhk jEFDE电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军请在立方晶系中标注出晶面请在立方晶系中标注出晶面) 122(1:21:21) 122(abc截距比截距比ABCODE面面ABC与与面面ODE都都是所求面是所求面电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军请在立方晶系中标注出晶面请在立方晶系中标注出晶面)012(:1:21)012(截距比截距比O平面平面ABCD为为所求所求表示该晶面与表示该晶面与坐标第三轴平行坐标第三轴平行abcDABC电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.6 晶向指数和晶面指数晶向指数和晶面指数2.2.

45、晶面和晶面指数晶面和晶面指数要求熟练掌握：已知晶面求出晶面指数和已知晶面指数画出晶要求熟练掌握：已知晶面求出晶面指数和已知晶面指数画出晶面的方法面的方法u晶面指数晶面指数(h k l(h k l）代表着一系列互相平行方向一致的晶面）代表着一系列互相平行方向一致的晶面u由于晶胞的旋转对称性，有时存在若干个不平行晶面但是由于晶胞的旋转对称性，有时存在若干个不平行晶面但是性质上却是等价的，这样的晶面称之为晶面族，记作性质上却是等价的，这样的晶面称之为晶面族，记作 h k h k l l u晶面指数小的晶面，原子面密度大，晶面间距也大，面与晶面指数小的晶面，原子面密度大，晶面间距也大，面与面之间结合力

46、弱，容易分开，称之为解理面；也常被选作面之间结合力弱，容易分开，称之为解理面；也常被选作X X射线的衍射面射线的衍射面电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军同一个格子，两组不同的晶面族同一个格子，两组不同的晶面族电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军立方晶系的晶面族立方晶系的晶面族电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军)100(面等效的晶面数分别为：面等效的晶面数分别为：6个个100表示为表示为)110(面等效的晶面数分别为：面等效的晶面数分别为：6个个110表示为表示为)111(面等效的晶面数分别为：面等效的晶面数分别为：4个

47、个111表示为表示为电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军a3a2BDEOa1A求晶向指数求晶向指数AB求晶面指数求晶面指数ODE并画出并画出(102)213电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.7 倒格子与布里渊区倒格子与布里渊区1.1.倒格子倒格子Reciprocal Lattice 关于倒格子，请同学们熟练掌握如下内容：关于倒格子，请同学们熟练掌握如下内容：a.a.对倒格子的描述对倒格子的描述和正和正格子格子类似类似321bbb332211hKbhbhbh是一系列具有周期性的格点构成的格子是一系列具有周期性的格点构成的格子存在倒格子基矢：

48、存在倒格子基矢：存在倒格矢：存在倒格矢：332211Rblblbll1b2bhK1a2alR倒易倒易点阵点阵空间空间点阵点阵电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.7 倒格子与布里渊区倒格子与布里渊区1.1.倒格子倒格子b.b.对倒格子空间的描述对倒格子空间的描述倒格子线度的量纲是倒格子线度的量纲是mm-1-1 ，与波矢的量纲相同，与波矢的量纲相同所以有如下的关系：所以有如下的关系：倒格子空间倒格子空间波矢空间波矢空间K K或或q q空间空间状态空间状态空间电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.7 倒格子与布里渊区倒格子与布里渊区1.1.倒

49、格子倒格子c.c.倒格子与正格子的关系倒格子与正格子的关系CBNPAO从原点从原点O引晶面族引晶面族ABC的法线的法线ON，在法线上截取一段，在法线上截取一段OP= ，使，使 d=2 ；d是晶面族是晶面族ABC的面间距的面间距，对于每一，对于每一个晶面族都有一点个晶面族都有一点P，以，以OP为该方向的周期为该方向的周期，把，把P平移，平移，得出一个新的点阵。这个新格子称为原来晶格的得出一个新的点阵。这个新格子称为原来晶格的倒格子倒格子，而把原来的晶格称为正格子而把原来的晶格称为正格子 电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.7 倒格子与布里渊区倒格子与布里渊区1.1.

50、倒格子倒格子d2c.c.倒格子与正格子的关系倒格子与正格子的关系一个倒格子一个倒格子对应着对应着一族一族平行的晶面平行的晶面方向：方向：一个正格一个正格子晶面子晶面该晶面对应的倒该晶面对应的倒格子基矢格子基矢垂直于该晶面垂直于该晶面大小：大小：O Od d为晶面间距为晶面间距)(22)(21213aadSaab由此可得：由此可得：垂直于晶面垂直于晶面的单位矢量的单位矢量:S:S是面积是面积大小大小原胞原胞的体的体积积电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.7 倒格子与布里渊区倒格子与布里渊区1.1.倒格子倒格子c.c.倒格子与正格子的关系倒格子与正格子的关系如上方法，

51、可以得出其他两个方向的基矢，如下：如上方法，可以得出其他两个方向的基矢，如下：)(2)(2)(2213132321aabaabaab321022、当当jijijiabijji求倒格矢原胞基矢的公式求倒格矢原胞基矢的公式电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.7 倒格子与布里渊区倒格子与布里渊区请利用公式求出简立方，体心立方和面立方的倒格子基矢请利用公式求出简立方，体心立方和面立方的倒格子基矢1 1、确定正格子原胞基矢、确定正格子原胞基矢2 2、利用公式求出倒格子原胞基矢、利用公式求出倒格子原胞基矢如何求二维格子的倒格子基矢？如何求二维格子的倒格子基矢？电子科技大学光电

52、信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.7 倒格子与布里渊区倒格子与布里渊区(2 /a) i-(2 /a) i(2 /a) j-(2 /a) j求二维正方格子的倒格子基矢求二维正方格子的倒格子基矢aiaj正方格子的正方格子的正格子基矢正格子基矢j aai aa21o设其倒格子设其倒格子基矢如下基矢如下jxixbjxixb432211ijjab212002422212321111axbaaxbaaxbaaxbajabiab2221求得倒格子求得倒格子基矢如下基矢如下倒易点阵倒易点阵电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军l请求出一维布拉菲格子的倒格子基矢l请求出二维

53、三角格子的倒格子基矢a a电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军体心立方正格子基矢体心立方正格子基矢面心立方正格子基矢面心立方正格子基矢)(2)(2)(2321ikaakjaajiaa)(2)(2)(2321kjiaakjiaakjiaa) ji (a2111111kjia)aa (2b)ki (a2111111kjia)aa (2b)kj(a2111111kjia)aa (2b213132321ReciprocReciprocalalLatticeLattice原胞体积原胞体积23a)(21100112)(2)(20111012)(2)(21011102)(221313

54、2321kjiakjiaaabkjiakjiaaabkjiakjiaaabReciprocReciprocalalLatticeLattice原胞体积原胞体积43a体心立体心立方的倒方的倒格子原格子原胞为一胞为一面心立面心立方方面心立面心立方的倒方的倒格子原格子原胞为一胞为一体心立体心立方方电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军l请求出简单六方的倒格子基矢？l请求出简单正交的倒格子基矢？电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.7 倒格子与布里渊区倒格子与布里渊区1.1.倒格子倒格子胞体积分别为倒、正格子的原、*3321*)2()(bbbd.d.倒

55、格子的性质倒格子的性质I.I.II.II.）正交和晶面（倒格矢321332211hhhbhbhbhKhIII.III.hhhhK2d321IV.IV.SRKlh2V.V.正倒格子之间互为傅里叶变换正倒格子之间互为傅里叶变换电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.7 倒格子与布里渊区倒格子与布里渊区2.2.布里渊区布里渊区a.a.布里渊区的几何画法布里渊区的几何画法倒空间的倒空间的W-SW-S原胞原胞 (2 /a) i-(2 /a) i(2 /a) j-(2 /a) j 第一布里渊区第一布里渊区 第二布里渊区第二布里渊区 第三布里渊区第三布里渊区二维正方格子的布里渊区二

56、维正方格子的布里渊区 先求出二维正方先求出二维正方格子的倒空间格子的倒空间电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.7 倒格子与布里渊区倒格子与布里渊区2.2.布里渊区布里渊区b.b.求解布里渊区的步骤求解布里渊区的步骤1 1、确定正格子原胞基矢、确定正格子原胞基矢2 2、利用公式求出倒格子原胞基矢、利用公式求出倒格子原胞基矢3 3、利用画图法或者边界条件公式求出布里渊区边界、利用画图法或者边界条件公式求出布里渊区边界电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军12.7 倒格子与布里渊区倒格子与布里渊区2.2.布里渊区布里渊区c.c.布里渊区边界方程布里

57、渊区边界方程22121hhhhhKKkKKKk倒格矢；如果仅仅对倒格矢；如果仅仅对第一布区进行讨论，第一布区进行讨论，则该矢量为距离原点则该矢量为距离原点最近或者次紧邻的倒最近或者次紧邻的倒格矢格矢布里渊边界布里渊边界上的某点的上的某点的波矢坐标波矢坐标, ,为我们的待为我们的待求量求量垂直中垂直中分面分面电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军试求出晶格常数为试求出晶格常数为a a的一维布拉菲格子的布里渊区？的一维布拉菲格子的布里渊区？O Oaiai2ai2ai-ai-ai-2ai-2ai1 1、正格子基矢：、正格子基矢：iaa12 2、倒格子基矢：、倒格子基矢：ia2b

58、13 3、倒格矢：、倒格矢：iah2bhK1h（h h为任意整数）为任意整数）ia2ia4O Oia2ia44 4、利用边界条件求布区边界：、利用边界条件求布区边界：2hhK21Kkikkx设ahkx布区边界位于：布区边界位于：iaiaiahk第一第一布区布区电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军试求出晶格常数为试求出晶格常数为a a的二维布拉菲格子的布里渊区？的二维布拉菲格子的布里渊区？1 1、正格子基矢：、正格子基矢：j aaiaa212 2、倒格子基矢：、倒格子基矢：ja2bia2b213 3、倒格矢：、倒格矢：) jhih(a2bhbhK212211h（h1&am

59、p;h2h1&h2为任意整数）为任意整数）4 4、利用边界条件求布区边界：、利用边界条件求布区边界：2hhK21Kkjkikkyx设)hh(ahkhk22212y1x求第一布区求第一布区的边界方程的边界方程aaaa/k/k/k/kyyxx以及以及以及边界方程边界方程(h(h1 1h h2 2) )分别取（分别取（1,01,0）（-1,0-1,0）（）（0,10,1）（）（0 0，-1-1）四组）四组第一第一布区布区边界边界方程方程电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军有关晶格常数为有关晶格常数为a a的面心立方第一布里渊区的讨论？的面心立方第一布里渊区的讨论？)k

60、j (2aa1)(22ikaa)(23jiaa面心立方正面心立方正格子基矢格子基矢)(21kjiab)(22kjiab)(23kjiab面心立方倒格子基面心立方倒格子基矢矢体心立方体心立方)(2kjiaKh决定面心立方第一布区的是其倒格子决定面心立方第一布区的是其倒格子体心立方中的最近体心立方中的最近邻（邻（八个体心八个体心）和次近邻（）和次近邻（6 6个相邻顶点个相邻顶点）所确定倒格矢的）所确定倒格矢的垂直中分面，即如下过原点倒格矢的垂直中分面：垂直中分面，即如下过原点倒格矢的垂直中分面：ia4和ja4和ka4和电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军 面心立方格子的第一布里渊区面心立方