初等矩阵和逆矩阵的求法

1、4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 10111 1初等矩阵和初等矩阵和逆矩阵的求法逆矩阵的求法一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换二、初等矩阵的概念二、初等矩阵的概念三、初等矩阵的应用三、初等矩阵的应用四、小结四、小结Page 2定义定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换: ）；记记作作两两行行对对调调两两行行（对对调调jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以数数 k）记记作作行行乘乘（第第krkii , .3 ）记记作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的对对应应的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到

2、另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换Page 3定义定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类且变换类型相同型相同 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是所用记号是把把“r”换成换成“c”)jirr kri 逆变换逆变换;jirr 逆变换逆变换;)1(krkrii 或或jikrr 逆变换逆变换.)(jijikrrrkr 或或Page 4等价关系的性质：等价关系的性质：；反反身身性性）

3、（A A 1A;B , B A 2则则若若对称性对称性）（C. AC,BB, A 3则则若若）传传递递性性（等价，记作等价，记作与与就称矩阵就称矩阵，矩阵矩阵经有限次初等变换变成经有限次初等变换变成如果矩阵如果矩阵BABABA具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价例如，两个线性方程组同解，例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价Page 5引例引例)1(求解线性方程组求解线性方程组123412341234123422,24,46224,36979,xxxxxxxxxxxxxxxx 13422 用矩阵的初等行变换用矩阵的初等行变换 解方程组

4、：解方程组： 97963422644121121112BPage 6197963211322111241211B 21rr 23 r 979632113221112412111B13322rrrr 143rr 234330635500222041211B 13322rrrr 143rr Page 7331000620000111041211B 23252rrr 243rr 310006200001110412113B43rr 342rr 4 00000310000111041211B 43rr 342rr Page 85 00000310003011040101B 21rr 32rr 对对应应

5、的的方方程程组组为为5B 33443231xxxxxPage 9方程组的解可记作方程组的解可记作或令或令,3cx 3344321cccxxxxx 30340111c.为为任任意意常常数数其其中中cPage 10.54都都称称为为行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵和和矩矩阵阵BB特点：特点：（1）、可划出）、可划出一条阶梯线，线一条阶梯线，线的下方全为零；的下方全为零；5 00000310003011040101B （2）、每个台阶）、每个台阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，

6、即非零行的第一个非零元零元Page 11.1 5的的其其他他元元素素都都为为零零列列，且且这这些些非非零零元元所所在在的的零零行行的的第第一一个个非非零零元元为为即即非非还还称称为为行行最最简简形形矩矩阵阵，行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵B.,A nm和和行行最最简简形形变变换换把把他他变变为为行行阶阶梯梯形形总总可可经经过过有有限限次次初初等等行行对对于于任任何何矩矩阵阵 注意：注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标行最简形矩阵再经过初等列变换

7、，可化成标准形准形Page 12 000003100030110401015 B214ccc 3215334cccc 例如，例如，F 00000001000001000001 0000030100310104100143 cc 00000301003001040001.的的标标准准形形称称为为矩矩阵阵矩矩阵阵BFPage 13.为为零零阵阵，其其余余元元素素全全的的左左上上角角是是一一个个单单位位矩矩F标标准准形形总总可可经经过过初初等等变变换换化化为为矩矩阵阵 Anm nmrOOOEF .,的行数的行数行阶梯形矩阵中非零行行阶梯形矩阵中非零行就是就是三个数唯一确定，其中三个数唯一确定，其中此

8、标准形由此标准形由rrnm特点：特点： 所有与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形称为一个等价类，标准形 是这个等价类中最简是这个等价类中最简单的矩阵单的矩阵.AFPage 14定义定义 由单位矩阵由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵阵称为初等矩阵. .E三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵. 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛用广泛.二、初等矩阵的概念二、初等矩阵的概念 行行（列列）上上去去乘乘某某行行（列列）加加到到另另一一以以

9、数数乘乘某某行行或或某某列列；以以数数对对调调两两行行或或两两列列；kk. 30. 2. 1Page 15，得得初初等等方方阵阵两两行行，即即中中第第对对调调)(,jirrjiE对调两行或两列对调两行或两列、1 1101111011),(jiE行行第第i行行第第 jPage 16，得得左左乘乘阶阶初初等等矩矩阵阵用用nmijmaAjiEm )(),( mnmminiijnjjnmaaaaaaaaaaaaAjiE21212111211),(行行第第i行行第第 j).( jirrjiAA行行对对调调行行与与第第的的第第把把：施施行行第第一一种种初初等等行行变变换换相相当当于于对对矩矩阵阵Page

10、17，右右乘乘矩矩阵阵阶阶初初等等矩矩阵阵以以类类似似地地，AjiEnn),( mnmimjmnijnijnaaaaaaaaaaaajiAE12222111111),().( jiccjiAA列列对对调调列列与与第第的的第第把把：施施行行第第一一种种初初等等列列变变换换相相当当于于对对矩矩阵阵Page 18 02乘乘某某行行或或某某列列、以以数数 k).()(0 kiEkriki矩矩阵阵，得得初初等等行行乘乘单单位位矩矩阵阵的的第第以以数数 1111)(kkiE行行第第iPage 19；行行的的第第乘乘相相当当于于以以数数)(kriAki mnmminiinmaaakakakaaaaAkiE2

11、12111211)(行行第第i类类似似地地，左乘矩阵左乘矩阵以以AkiEm)( ).( )(kciAkAkiEin 列列的第的第乘乘相当于以数相当于以数，其结果，其结果矩阵矩阵右乘右乘以以Page 20上上去去列列加加到到另另一一行行列列乘乘某某行行、以以数数)()(03 k ()()ijjikEjirkrkEijckc 以以乘乘的的第第行行加加到到第第行行上上或或以以乘乘的的第第 列列加加到到第第 列列上上， 1111)(kkijE行行第第i行行第第jPage 21，左左乘乘矩矩阵阵以以AkijEm)( mnmmjnjjjninjijinmaaaaaaaakaakaaaaaAkijE2121

12、221111211)().(jikrrikjA 行行上上加加到到第第行行乘乘的的第第把把Page 22( ( )(). njiEij kAAikjckc 类类似似地地，以以右右乘乘矩矩阵阵，其其结结果果相相当当于于把把的的第第 列列乘乘加加到到第第 列列上上1111112122221( ( )nijinijinmmimjmimnAEij kaaakaaaaakaaaaakaa Page 23例例1 1 以下矩阵是否初等矩阵以下矩阵是否初等矩阵?010(1)100001A 101(2)110001A001(3)010100A Page 24 定理定理1 1 设设 是一个是一个 矩阵，对矩阵，对

13、施行一施行一次初等行变换，相当于在次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于施行一次初等列变换，相当于在在 的右边乘以相应的的右边乘以相应的 阶初等矩阵阶初等矩阵. .nm mnAAAAA三、初等矩阵的应用三、初等矩阵的应用初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵Page 25 ),(),(1；则则的的逆逆变变换换是是其其本本身身，变变换换jiEjiErrji );1()(11kiEkiEkrkrii 则则，的的逆逆变变换换为为变变换换1()( ( )( () .ijijrkrrk rE i

14、j kE ijk 变变换换的的逆逆变变换换为为，则则Page 26 定理定理2 2 设设A为可逆方阵，则存在有限个初等为可逆方阵，则存在有限个初等方阵方阵.,2121llPPPAPPP 使使证证 , EA使使即存在有限个初等方阵即存在有限个初等方阵,21lPPPAPEPPPPlrr 121.PPPAl21 即即.,: BPAQQnPmBAnm 使使阶可逆方阵阶可逆方阵及及阶可逆方阵阶可逆方阵存在存在的充分必要条件是的充分必要条件是矩阵矩阵推论推论,AE 经经有有限限次次初初等等变变换换可可变变故故Page 27利用初等变换求逆阵的方法：利用初等变换求逆阵的方法：，有有时时，由由当当lPPPAA

15、21 0 ,11111EAPPPll , 111111 AEPPPll及及 EPPPAPPPllll1111111111 1 AE EAPPPll11111 . )(2 1 AEEAEAnn就就变变成成时时，原原来来的的变变成成当当把把施施行行初初等等行行变变换换，矩矩阵阵即即对对Page 28010101123100010654 ,.0010017928AA 例例已已知知求求123654 ,789B 解解 设设(1,2)(1,3(1),PAPB 则则有有11(1,2)(1,3(1)APBP 即即(1,2)(1,3( 1)PBP123654789B 12rr65412378931( 1)cc

16、652122782 .A Page 29. ,343122321 1 AA求求设设 解解例例3 3 103620012520001321 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr 23rr Page 30 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 rPage 31 . 1BA 矩阵矩阵的方法，还可用于求的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵利用初等行

17、变换求逆阵E)()( 11BAEBAA )(BABA1 即即初等行变换初等行变换Page 32例例4 4.341352,343122321 , BABAXX，其中，其中使使求矩阵求矩阵解解.1BAXA 可可逆逆，则则若若 343431312252321)(BAPage 33 1226209152052321 311009152041201 311006402023001122rr 133rr 21rr 23rr 312rr 325rr Page 34， 311003201023001.313223 X）（22 r）（13 r 311006402023001312rr 325rr Page 35

18、.1 CAY即即可可得得作作初初等等行行变变换换，也也可可改改为为对对),(TTCA , 1作作初初等等列列变变换换，则则可可对对矩矩阵阵如如果果要要求求 CACAY,CA 1 CAE列变换列变换),)( ,(),1TTTTCAECA （ 行变换行变换1TT() CTYA 即即可可得得1T() CTA .Y即可求得即可求得1,()TCA Page 36. ,1000110011102222A1, njiijAAn式之和式之和中所有元素的代数余子中所有元素的代数余子求求方阵方阵已知已知解解例例5 5, 02 A.可逆可逆A.1* AAA且且Page 37 10001000010011000010111000012222EA 100010001100010001100010001210001Page 38,100011000110001211 A,21* AA njiijA1,故故. 1)1()1(21 2 nnPage 39四、小结四、小结1.1.初等行初等行( (列列) )变换变换 ;1jijiccr