2019年福建省普通高中毕业班质量检查(数学文)

1、2019年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学本试卷分第 I I 卷（选择题）和第 n 卷（非选择题），本试卷共 5 5 页。满分 150150 分。考试时间 120120 分钟。注意事项：1 1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2 2 考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作 答，超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。3 3 选择题答案使用 2B2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号; 非选择题答案使用 0 0. 5 5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。4 4 保持答题卡卡

2、面清洁，不折叠、不破损。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。参考公式：样本数据X,x2，xn的标准差：球的表面积、体积公式：S=4：R2,V =4 R3，其中R为球的半径。3第I卷（选择题共60分）4 4 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为柱体体积公式：V =Sh，其中S为底面面积，h为咼；锥体体积公式：1VSh，其中S为底面面积，h为咼；3X为样本平均数;x =X)2 *+(x2X)2+ (XnXp，其中、选择题：本大题共1212 小题，每5 5 分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意要求的。1 1 已知（a i）（3 -i）为纯虚数，R,i为虚数单位

3、，则的值为A A. -3-3B B. 3 3C.C.D D2 2已知向量a =(1,2),b =(x, -4)，若a/b，则a b等于A A.-10-103 3. 等差数列A A. 2626C.C. 52524C.C. 4 4D.D.- -35 5有编号为 1 1, 2 2，700700 的产品，现需从中抽取所有编号能被7 7 整除的产品作为样品进行检验。下面是四位同学设计的程序框图，其中正确的是6 6.若函数f(x)=x2 3 4-2x m在2, ：)的最小值为-2-2，则实数m的值为2 29.已知椭圆亍十皿心2)与y轴交于A、B两点，点F为该椭圆的一个焦点, 则L ABF面积的最大值为A

4、A. 1 1B B. 2 2C.C. 4 4D.D. 8 8n 3兀1010.若函数y=f(x)，si nx在区间(，-)内单调递增，则f (x)可以是4 4A A. -3-3B B. -2-27 7.若集合，则“”是的A.A.充分而不必要条件C.C.充要条件C.C. -1-1D.D. 1 1B.B.必要而不充分条件D.D.既不充分也不必要条件1111.函数f (x)二cos二x-log3x的零点个数是A A. 1 1B B. 2 2C.C. 3 31212.如图，已知线段AB = 2，但点A沿着以原点O&已知平面区域门=(X, y) |x2. y2乞1,上随机找一个点P，则点P落在区

5、域的概率为A A.B B.C.C.CO*V若在。区域1 1 D.D.2 -B.B. 2 2C.C. 4 4D.D. 8 8/2为圆心的单位圆上运动时，点B在x轴上滑动。设.AOB记x(旳为点B的横坐标关于 二的函数，贝U x(r)在0,，上的图象大致1 2是第H卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题 4 4 小题，每小题 4 4 分，共 1616 分。把答案填在答题卡相应位置1313.为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了2000020000 人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，如图。现按月收入分层，用分层抽样的方法在这2000020000 人中抽出 200200 人作进

6、一步调查，则月收入在1500,2000)(单位：元)的应抽取 _人。1515过点P(1,1)的直线I交L O: :x2y2=8=8 于A、B两点，且AOB= =120120。，则直线l的方程为。16.从甲、乙、丙、丁、戊、己6 6 人中选出 3 3 人组成一个辩论赛队，要求满足如下三个条件：1414设函数f(x)=,贝y f(_)=_x0,21甲、丙两人中至少要选上一人；2乙、戊两人中至少要选上一人；3乙、丙两人中的每个人都不能与戊同时入选 如果乙未被选上，则一定入选的两人是三、解答题：本大题共 6 6 小题，共 7474 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分 1212

7、 分）FC某城市有连接 8 8 个小区A、B、C、D、E、F、G、H和-市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图。20.20. (本小题满分 1212 分)已知an为递增的等比数列，且g, a3, a5 -10, -6, -2,0,13 ,4佝。(I)求数列an的通项公式；(n)是否存在等差数列bn， 使得a1bn+a2bnJ+a3bn +? +anbi =2曲一n2对一切 都成立？若存在，求出bn；若不存在，说明理由某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往H。（I） 列出此人从小区A到H的所有最短路径 示） ;（n）求他经过市中心0的概率（自A至H依次用所经过的小区的

8、字母表1818.（本小题满分 1212 分）在L ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c,sinC二。(I)求sin C;(n)若c = 2,sin B = 2sin A，求 LABC的面积。1919.（本小题满分 1212 分）如图，正方体ABCD-ABCJDJ中，M、N分别为AB、（I）求证：平面B“MN_平面BB1D1D；（n）按图中示例，在给出的方格纸中，用事先再画出 此正方体的 3 3 个形状不同的表面展开图，且每个展开提 均满足条件“有四个正方形连成一个长方形”。（如果多画，则按前 3 3 个记分）BC的中点。21.21. (本小题满分 1212 分)已知抛物线C的顶点在坐

9、标原点，焦点F在x轴上，且过点(1,2)。(I)求抛物线C的方程；2 2(n)命题：“过椭圆 1的一个焦点F1作与x轴不垂直的任意直线丨”交椭圆于2516A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则 上里为定值，且定值是10”。命题F1M3中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线T，过该圆锥曲线焦点F1的弦AB,AB的垂直平分线与焦点所在的对称轴的焦点M,AB的长度与F1、M两点间距离的比值试类比上述命题，写出一个关于抛物线C的类似的正确命题，并加以证明。(川)试推广(n)中的命题，写出关于抛物线的一般性命题(不必证明)。22.22. (本小题满分 1414 分)已知函数f (x) =(ax2

10、bx c)ex在x =1处取得极小值，其图象过点A(0,)，且在点处切线的斜率为-1-1。(I)求f(x)的解析式；(n)设函数g(x)的定义域D，若存在区间Im, nD，使得g(x)在l.m, nl上的值 域也是l.m,n 1,则称区间m, nl为函数g(x)的“保值区间”(i)证明：当x 1时，函数f (x)不存在“保值区间”；(ii)函数f(x)是否存在“保值区间”？若存在，写出一个“保值区间”(不必证明)；若不存在，说明理由。2019年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知讥和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如 果考生的解

11、法与本解答不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准制定相应的评分细则。二、 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的 一半，如果后继部分的解答有较严重的错误就不再给分。三、 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。四、 只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。一、选择聽，本丈聡考查基础知识和基本运算.毎小题5分，满分60分.L D 2. A3 4. C久B 6. B 7. A D 9. B B EL C 12. B二、 填空题：本大題考査基砒知识和基本运算.每小题

12、4分.满分16分*13. 40；14.屁15. i+y-20；甲、比三、解答题；本大题共&小题,共恥分.解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤.】九 本小毬主卷再查古典概酗習基础知识，考奔推理论证能力、运算求解能力，以及运用数 学知识分析和解抉实际问縣的能力.满分12分.解：（I）此人从小区丸前往H的所冇戲短路径为：仏OSH,FTJH 共6条. . 石分（ID记“此人经过市中心为事件関.则討包含的菇本事 件为：AR 0* HtAB0 /1E7, 0S共4个* .10分即他经过市中心0的機率为寻* .12分（注：若考生写出路径为A&CEH ABOEH.等其它彭式愿样给分）18.本

13、小题主要考査同角三角函数的基本关系、 二倍角公式、 正弦定理、 余弦定理及三角形 而积公式等基础知识，考杳椎理论证能力、运算求解能力.满分12分.解法一：（I）皿碍占，Ovfv号，.1分.003 = /一血垮-（普）=半,.3分/. sinC =2sin -cos =2 xx. 5分22444*（H） V sinB = 2siM、：.由正弦定理得b=2a,. 7分cosC 1 2sin *一 +.CM2.由d a2+62-2abcMCf得4=a2+4a2-4a2xJ-t解彳Qa = l.9分4从而6=2. 10分= yasinC = y x 1 x2 x= -5. 12分cosC = 1 -

14、2sin = 1 - 2 x（普）=寺，XvOC/ -cos2C =四边形A/1.C.C是平行四边形 ACgC. 7分由（I）知.WVAC, MN儿C又 MN/平面gP.AlCC平面ACR :.MN平面AP. 9分（III）符合条件的表面展开图还有5个.如下图.正确画岀一个得1分.满分3分.20本小题主要考査尊差数列、等比数列等基础知识，考査推理论证能力.运算求解能力, 考査待殊与一般思想、化归与转化思想.满分12分.解法一：（I）因为比是递增的等比数列，所以数列的公比g是正数，又alta3,a5C-10, -6, -2, Otlt3, 4t16t所以a严1. a严4.勺：=16, . 3分从

15、而q2= s4tq=2ta.广、211 ai所以数列%的通项公式为S =2- . 6分(D)假设存在满足条件的等差数列,其公差为d则当n = l时，又6=1.妨=1 ；当n =2时，5 Fa? =4,b2+26, =4t=2则 / =62-6, =1,+ (n - 1)J = 1 + (a - I) x 1=/L. 8分以下证明当b.=n时,a,6. T + +a.162+a.6, =2aH-n-2对一切neN-都成立.设S.=a、b.+幻6.| + +a._i62+a.，H卩S=l xn+2x(n-l) +22x(n-2) +23x(n-3) + +2x2+21xl,(1)2S=2x/i+2

16、2x(n-l) +25x(n-2) + -+2-1x2+2 x 1,(2)(2)(1)得S. = -n+2 +22+23+- +2小+2”= n *、” L n /F所以存在等差数列卩，b.,使得a,6a+026., + +aa.,62+a.6j =2* -n-2对一切neN*都成立.12分 解法二：(I )同解法一.(U)假设存在满足条件的等差数列仏计，其公差为d.* a】6. +a26a.! +3-2 + +a.6(=2*1- n-2 (n eN* ), a.+a.-2+a4.“ + +a.j6 =2-n - 1(心2), . 8分由上面两式相滅得，da】 +da3+/a3+ +血一十 a

17、.b】=2。一 (nM2),2*1-1 ., .又a】fa? + +a.才二 =2 - 1, a. =2*_,A-1) +2-*6, =2*-1,.2(d + 62)=d-l, ( ) . 10分等式()对心2恒成立，.*. -5-1) +2+22+22+2,5-1)2(1 -2)+1-2所以(2“ 1)6)+(2 7“)d=2 -n-2.即(打+d) 2“ -dn-b、-J=2II#,-n-2.10分fbx+ d=2t 因为上式对一切neN-都成立，所以-d=1.6| d = 2,所以6.=山+(“l)d =几经检验.存在邹差数列16.1,使得a】6. +a26B_| + *a.g +aj

18、=2* -n -2对一切neN*都成立.；.12分21.本小题主要考査直线、椭圆、抛物线等基础知识，考査椎理论证能力、运算求解能力， 考査数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想满分12分.解法一：(I )依题意.可设拋物线c的方程为：/ =2MP0). 1分抛物线c过点(1,2),.-. 22=2p.wap=2. 3分抛物线C的方程为:/=4x . 4分(D)关于抛物线C的类似命题为：过抛物线/=4x的焦点F(lf0)作与轴不垂 直的任意直线/交抛物线于A. B两点，线段AB的垂直平分线交篇轴于点则腸为定值，且定值是2.证明如下:设直线M的方程为xxir+ l(t#0)t代人/=4x,消

19、去力得y-4xy-4 =0.因为A =16/ 16 0,可设则 H 亿皿八4.7分+2(人+/2)+2 =4? +2,所以线段中点P的坐标为(2d+1,2(), . 8分AB的垂直平分线MP的方程为y-2i= -:(z-2?-l),令y=0,解得“2+3.即M(2/+3,0).所以IFMI =22+2.9分(皿)过抛物线的焦点尸作与对称轴不垂宜的任总直线！交抛物线于仏B两点，线段個的垂H平分线交对称釉于点M,则鬻为定值，且定值是2 12分 (注：如果考生给出“过抛物线/=2px (p0)的焦点F作与轴不垂直的任意直线/ 交抛物线于厶8两点，线段佔的垂直平分线交兀轴于点M,则鵲为定值，且定值由抛

20、物线定义可&IABI =%, +x2+2=4?+4f所以IT=2-10分并整理得忌二嵌#,即右8分是T等.照样给分.)解法二：(I )同解法一.(U)关于抛物线C的类似命題为：过抛物线/=4x的焦点F(1,O)作与*轴不垂 直的任意立线/交抛物线于A、B两点，线段人的垂直平分线交釉于点M,则牆为定值.且定值足2. . 6分证明如下：设直线的方程为厂紅1)(20).ftA/ =4x,消去尤得k/-4/-44=0.因为16 + 16卩0.可设心务)S(x2,ya),4则力+n /ins 4.7分 引+巧y(i *jJ) Yt(ri +/2)22皿】=7(+8)sp+2所以线段M中点p的坐标

21、为(寻+i,令)佔的垂立平分线MP的方程为y-|=-J(X-J-I).令厂0,解得“3 痒、即呻寺,0),所以IFMI诒十2. 9分由抛物线定义可QI個 勺+补+2晋+4,所以關“. .10分(ID)同解法一.解法三：(I )同解法一.(U)关于抛物线c的类似甜題为：过抛物线/=4x的條点F(I,0)作与轴不垂 直的任童直线【交抛物线于人.两点.线段AB的垂直平分线交力轴于点证明如下：依题氛 直线/与拋物线/=4z必有两个交点仏B、设4(衍,幷)，BgyJ,线段*B的中点为P(xo./o).又直线I与轴不垂直，禺*帀ry=4xlf由ABTfST为定值.且所以AB的垂直平分线MP的方程为y-n= -y（） 令7=0,得x = x0+ 21即M(%o+2.O).所以IFMI =l(x0+2) -II =x0+ l.由抛物线定义可知I仙I =x,+X2+2=2X0+2,所以1=2.（皿）同解法一.22.本小题主要考査函数、导数等基础知识，考査推理论证能力、运算求解能力，考査函数 与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想满分】4分.解法-： (I ) v/(x)=(ox2+6x +c)c-t厂() =(ax2+(2a+6)x + (6+c)eB.2分Fc = l.a = 11由厂(0)= -1,即6+c= -1,解得6 = -2,. .4分卜(1)=0,3a +26