16相似矩阵PPT精选文档

1、12一一. 相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质 相似矩阵的定义相似矩阵的定义设设A和和B皆是皆是n阶方阵，若存在一个阶方阵，若存在一个n阶可逆阶可逆方阵方阵P，使得，使得P-1AP=B，则称矩阵，则称矩阵B与与A相似相似。从矩阵从矩阵A到矩阵到矩阵B=P-1AP的变换称为的变换称为相似变相似变换换；称；称P为该相似变换的为该相似变换的变换矩阵变换矩阵。2. 相似关系相似关系自反性自反性; 对称性对称性; 传递性传递性.等价关系等价关系33. 相似矩阵的特征值、特征向量相似矩阵的特征值、特征向量定理定理1. 若若A与与B相似，则相似，则A和和B具有相同的特征具有相同的特征多项式，从而具有相同的特征

2、值。多项式，从而具有相同的特征值。定理定理2. 若若B=P-1AP, 是是A的关于特征值的关于特征值 的一个的一个特征向量特征向量,则则 = P-1 是是B的关于特征值的关于特征值 的的一个特征向量。一个特征向量。例例1. 证明证明00010A0100 与与 00000B0000 尽管具有相同的特征值，但它们并不相似。尽管具有相同的特征值，但它们并不相似。4证明：证明： 显然显然|A - E| = |B - E| = ( 0 - )3，从而，从而A和和B的特征值皆为的特征值皆为 0容易得到：容易得到： 1000 , 1 , 0001 皆是皆是B的与的与 0对应的对应的特征向量特征向量. 倘若倘

3、若A和和B相似，即有某一可逆方阵相似，即有某一可逆方阵P，满足，满足依据定理依据定理2得：得： 100P 0 ,P 1 ,P 0001 的与特征值的与特征值 0对应的特征向量对应的特征向量. P-1AP=B.皆是皆是A5也就是说也就是说,矩阵矩阵A应该有应该有3个线性无关的特征个线性无关的特征向量向量.证毕证毕二二. 方阵在相似变换下的方阵在相似变换下的Jordan标准形标准形1, Jordan块块 0, 001,0 00011, 0000111 而这是不可能的而这是不可能的因为矩阵因为矩阵A - 0E的秩为的秩为2，方程组方程组(A - 0E)X = 0不可能有三个线性无关的不可能有三个线性

4、无关的解向量。解向量。612JJJJs 2. Jordan矩阵矩阵定理定理3. 设设A是一个是一个n阶方阵阶方阵,则存在某一则存在某一Jordan矩矩阵阵J, 使得使得A与与J相似相似. 称该称该Jordan矩阵矩阵J为方阵为方阵A在相似变换之下在相似变换之下的的Jordan标准形标准形.7三三. 确定方阵确定方阵Jordan标准型的方法标准型的方法.定理定理4 设设A是一个是一个n阶方阵，则阶方阵，则A相似于一个对相似于一个对角阵的充分必要条件是：角阵的充分必要条件是：A有有n个线性无个线性无关的特征向量。关的特征向量。12n 证明：证明： A相似于一个对角阵相似于一个对角阵 的充分必要条件

5、是的充分必要条件是:12(,.,)ndiag 8存在存在n阶可逆方阵阶可逆方阵P，使得，使得P-1AP = ,即即AP = P 记记P = (p1, p2, , pn)，其中，其中p1, p2, , pn是是P矩阵的矩阵的n个线性无关的列向量。个线性无关的列向量。(Ap1, Ap2, , Apn) = ( 1p2, 2p2, , npn)从而有从而有:也就是说：也就是说：Apk = kpk, k = 1, 2, , n. 即即p1, p2, , pn皆是矩阵皆是矩阵A的特征向量。的特征向量。证毕证毕推论：若推论：若n阶矩阵具有阶矩阵具有n个互异的特征值，则该矩个互异的特征值，则该矩阵相似于一个

6、对角矩阵。阵相似于一个对角矩阵。9试问试问:若方阵若方阵A相似于对角方阵相似于对角方阵12(,.,)ndiag 1. A2是否也相似于对角方阵是否也相似于对角方阵? 相似于什么样相似于什么样的对角方阵的对角方阵?2. A3呢呢?3. 若若 ( ) = a0 + a1 + a2 2 + + am m是一个是一个多项式多项式, 定义定义 (A) = a0E + a1A + a2A2+ + amAm. (A)相似于相似于12( (), (),., ()ndiag 10特别当特别当:( )AE , (A)相似于相似于12( (), (),., ()ndiag O 即即: (A) = O定理定理5. 设

7、设A是一个是一个n阶方阵阶方阵, ( ) = |A - E|是是A的的特征多项式特征多项式, 则则 (A) = O凯莱凯莱-哈密顿哈密顿(Cayley-Hamilton)定理定理 例例2.判断下列矩阵是否相似于一个对角矩阵，如判断下列矩阵是否相似于一个对角矩阵，如相似，求出相似变换矩阵相似，求出相似变换矩阵P11704A22120011 解：解： 70422120011 74(2)2011 (1)(2)(3) 该矩阵有三个不同的特征值，所以相似于对该矩阵有三个不同的特征值，所以相似于对角矩阵角矩阵diag(1, 2, 3).12解下列方程组解下列方程组,计算特征向量计算特征向量: 123710

8、40221102001110 xxx 102 12372040222102001120 xxx 010 12373040223102001130 xxx 215 13即：即： 11A 00 ,22 00A 12 1 ,00 22A 13 155 从而从而 1021021A 01101122052053 令令 102P011205 ,得到：得到： 11P AP23 14例例3矩阵矩阵 431A632613 是否相似于对角阵？是否相似于对角阵？如果相似，请求出相似变换矩阵如果相似，请求出相似变换矩阵P解：解： 431632613 143263361 14302(1)30(1)(6) 8 3 143

9、02(1)300(1)(2)/2 152(2)(1)解方程组解方程组, 求特征向量：求特征向量： 123423106322061320 xxx 128 123413106312061310 xxx 103 该方阵只有两个线性无关的特征向量，所以该方阵只有两个线性无关的特征向量，所以它并不相似于对角矩阵。它并不相似于对角矩阵。 16例例4证明矩阵证明矩阵 431A632613 的的Jordan标标标准型为：标准型为：200011001 证明思路，证明的过程就是要寻找一个证明思路，证明的过程就是要寻找一个3阶阶可逆方阵可逆方阵P = (p1, p2, p3)，使得，使得: 200APP 01100

10、1 17即即:（Ap1, Ap2, Ap3）=（2p1, p2, p2 + p3) 得知：得知：Ap1 = 2p1，Ap2= p2，Ap3= p2 + p3也就是说，也就是说，p1是是A的与特征值的与特征值2对应的特征向对应的特征向量，量，p2是与特征值是与特征值1所对应的特征向量所对应的特征向量,而而P3则是则是方程组方程组(A E)X = p2的解向量。的解向量。取取 112 ,8p 2103p 18解方程组解方程组: 123331164206123xxx 得：得： 123100132xxcx , 取取 3012p 显然：显然： P-1AP = 200011001 ,其中其中 110P20

11、1832 19例例5证明矩阵证明矩阵 100A311643 的的Jordan标标标准型为标准型为100J011001 解：解： 100311643 11(1)43 3(1) 20解方程组解方程组 123110003111064310 xxx 得到特征向量：得到特征向量： 011 ,023 所以该方阵并不与对角阵相似。剩下的问题就所以该方阵并不与对角阵相似。剩下的问题就是要在这两个向量中是要在这两个向量中, 把其中的一个记作把其中的一个记作p1, 另一另一个记作个记作p2, 然后解线性方程组然后解线性方程组(A E)X = p2, 得到得到p3, 最终找一个可逆矩阵最终找一个可逆矩阵P(p1, p2, p3)，使，使P-1AP = J 211231