74-3定积分的分部积分公式PPT精选文档

1、3/22/20221第二节 定积分的计算()分部积分公式3/22/20222 设函数设函数)(xu、)(xv在区间在区间 ba,上具有连续上具有连续导数，则有导数，则有 bababavduuvudv. . 定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导: ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv 定积分的分部积分法3/22/20223例例1 1 计算计算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx

2、621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 则则3/22/20224例例2 2 计算计算解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40secln218 x.42ln8 3/22/20225例例3 3 计算计算解解.sin420 dxx xt 20sin2 tdtt 20)cos(2 tdt 2200cos2cos 2 tdttt20sin2 t 2 .sin420 dxx3/22/20226例例4 4 计算计算解解.)2()1ln(102

3、 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 3/22/20227 102102)1ln()1ln(xdxdxxx解：解： 1022)1ln(201)1ln(2xdxxxdxxx 1021212ln21dxxx)111(212ln2110 01)1ln(2212ln212 xxx41 .)1ln( 510dxxx计算例3/22/20228 edxx1)sin(ln解解： exxdexx1)sin(ln1)sin(ln

4、edxxe1)cos(ln1sin edxxee1)sin(ln11cos1sin.)sin(ln 61edxx计算例3/22/2022911cos1sin)sin(ln21 eedxxe)11cos1sin(21)sin(ln1 eedxxe求定积分也经常采用递推的方法，如下例：求定积分也经常采用递推的方法，如下例：3/22/202210例例 证明定积分公式证明定积分公式 2200cossinxdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数证证 设设,sin1xun ,sin xdxdv ,cossin)1(2xdx

5、xndun ,cos xv 3/22/202211 dxxxnxxInnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxnInnn 22002sin)1(sin)1( nnInIn)1()1(2 21 nnInnI积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式nI4223 nnInnI,直到下标减到直到下标减到0或或1为止为止3/22/202212,214365223221202ImmmmIm ,3254761222122112ImmmmIm ), 2 , 1( m,2200 dxI, 1sin201 xdxI,221436522322122 mmmmIm.325

6、476122212212 mmmmIm于是于是3/22/202213.)()()( 800 xxuodudxxfduuxufxf连续，证明：设例证：证： 利用定积分的分部积分法利用定积分的分部积分法 xuuoxduuufxdxxfududxxf000)(0)()( xxduuufdxxfx00)()(3/22/202214例例9 9 设设 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf因因为为ttsin没没有有初初等等形形式式的的原原函函数数，无无法法直直接接求求出出)(xf，所所以以采采用用分分部部积积分分法法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21x

7、fx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx3/22/202215 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102cos21x ).11(cos21 , 0sin)1(11 dtttf3/22/202216设设)(xf 在在 1 , 0上上连连续续，且且1)0( f，3)2( f，5)2( f，求求 10)2(dxxfx. 例例1010 10d)2(xxfx 10)2(d21xfx 1010d)2(21)2(21xxfxfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff . 2 3/22/202217几个特殊积分、定积分的几个等式几个特殊积分、定积分的几个等式1、定积分的换元法、定积分的换