李星等腰三角形的性质

1、 15.3 等腰三角形 (第1课时) 皋城中学 李星下载图片在练习本上，你能用直尺、圆规作在练习本上，你能用直尺、圆规作（画）出一个等腰三角形？（画）出一个等腰三角形？ 如图：把一张长方形纸片按图中的虚线对折如图：把一张长方形纸片按图中的虚线对折, 并剪去红线下方的部分并剪去红线下方的部分,再把它展再把它展 开开,得得ABCACDB观察观察AC和和AB有什么关系有什么关系?这个三角形有什么特点这个三角形有什么特点?AC=AB, AC=AB, ABCABC是等腰三角形是等腰三角形活动1：BACDABCDAB(C)D【操作】画一个等腰三角形ABC，把边AB叠合到边AC上，这时点B与点C重合，并出现

2、折痕AD，观察图形: ADB与ADC有什么关系？图中哪些线段或角相等？AD与BC垂直吗？活动2：（1 1）、等腰三角形是轴对称图形）、等腰三角形是轴对称图形（2 2）、）、 B = C,B = C,（3 3）、）、BD = CD,BD = CD,（4 4）、）、ADB = ADC = 90ADB = ADC = 90, ,（5 5）、）、BAD = CAD BAD = CAD ，CABD即即两底角相等两底角相等即即AD 为底边上的中线为底边上的中线即即AD为底边上的高为底边上的高即即AD为顶角平分线为顶角平分线 大胆猜想大胆猜想由上述结论（由上述结论（3 3）、（）、（4 4）、（）、（5 5

3、）得到）得到 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。边上的高互相重合。猜想1等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等。由上述由上述结论（结论（2 2）得到）得到猜想2活动3：猜想与论证等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等。已知：ABC中，AB=AC 求证：B=C3.如何证明两个角相等？如何证明两个角相等？ 4.4.如何构造两个全等的三角形？如何构造两个全等的三角形？猜想1ABC1.等腰三角形的两个底角相等的这个命题条件和结论分别是等腰三角形的两个底角相等的这个命题条件和结论分别是什么什么？ 2.用数学符号如何表达条

4、件和结论？用数学符号如何表达条件和结论？ 思考：思考： 思考：思考： 则有则有1 2在在ABD和和ACD中中证明证明: 作顶角的平分线作顶角的平分线AD，ABAC 12 ADAD （公共边）（公共边） ABD ACD （SAS） BC （全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等） CABD1 2ABC则有则有 BD CDD在在ABD和和ACD中中证明证明: 作作ABC 的中线的中线ADABAC BDCDADAD （公共边）（公共边） ABD ACD （SSS） BC （全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等） ABC则有则有 ADBADC 90D在在RtABD和和RtACD中中证明证

5、明: 作作ABC 的高线的高线ADABAC ADAD （公共边）（公共边） RtABDRtACD （HL） BC （全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等） 归纳结论等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等。性质1(等边对等角)用符号语言表示为：用符号语言表示为： 在在ABC中，中， AB=AC （已知）（已知） B=C （等边对等角）（等边对等角）ABC 通过刚才的探索，通过刚才的探索，AD在在ABC中充当什么角色？中充当什么角色？ 由由性质性质1的证明过程的证明过程，你，你能证明能证明猜想猜想2 吗？吗？则有则有1 2在在ABD和和ACD中中证明证明: 作顶角的平分线作顶角的

6、平分线AD，ABAC 12 ADAD （公共边）（公共边） ABD ACD （SAS） BDCD（全等三角形对（全等三角形对应边相应边相等）等） CABD1 2论证猜想 ADBADC 90(等腰三角形三线合一)。等腰三角形的等腰三角形的顶角顶角平分线平分线与与底边底边上的中线上的中线，底边底边上上的高的高互相重合互相重合性质2归纳结论用符号语言表示为：用符号语言表示为：在在ABC中，中，AB =AC, 点点 D在在BC上上1、AD是角平分线，是角平分线， ， = 。2、AD是中线，是中线， ， = 。3、AD BC = ， = 。12ABCD12BDCDADBC12ADBCBDCD思考：等腰三

7、角形的对称轴是什么？等腰三角形的对称轴是什么？等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线的中线(顶角平分线顶角平分线,底边上的高底边上的高)所在直线。所在直线。等腰三角形一个底角为等腰三角形一个底角为4040, ,它的顶角为它的顶角为 。等腰三角形一顶角为等腰三角形一顶角为4040, ,它的另外两个底角为它的另外两个底角为 。等腰三角形一个角为等腰三角形一个角为4040, ,它的另外两个角它的另外两个角 为为 。100 100，40 或或 70 70 ，70 70 70,70 4.等腰三角形一个角为等腰三角形一个角为120, ,它的另外两个角为它的另外两

8、个角为 。 3030，3030牛刀小试牛刀小试5.5.在在ABCABC中，若中，若AB=BC=CAAB=BC=CA， 则则 A=_ A=_ B=_ B=_ C=_ C=_ABC推论： 等边三角形三个内角都相等，每一等边三角形三个内角都相等，每一个角都等于个角都等于 。60 建筑工人在盖房子时，用一块等腰三建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道其中反映了什么说房梁是水平的，你知道其中反映了什么数学原理数学原理? ?解：解： AB=AC（已

9、知）（已知） B=C（等边对等角）（等边对等角） B=C= 30 又又BD=AD(已知已知) BAD=B= 30（等边对等角）（等边对等角） 同理同理 CAE =C= 30 DAE =BACBADCAE =1203030 =60 例例1：如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC，BAC=120，点，点D E是底边的两点，且是底边的两点，且BD=AD，CE=AE （1）求求B的度数；的度数； （2）求求DAE的度数；的度数； 思考：思考：图形中存在的等腰图形中存在的等腰三角形的个数有多少？三角形的个数有多少？变式一：本题中若去掉变式一：本题中若去掉 “AB=AC”这个条件，能求出这个条件，能求出

10、 DAE的度数吗？的度数吗？解解: BD=AD （已知）（已知） BAD=B（等边对等角）（等边对等角） 同理同理 CAE=C BAD+ DAE+ CAE= B+ DAE+ C= 120 又又 B+ C= 60 DAE= 60变式二：如图，点变式二：如图，点D、E在在ABC 的边的边BC上，且上，且 AD=AE=BD=DE=CE，则则 BAC是多少度？是多少度？ 变式三：如图，点变式三：如图，点D、E在在ABC 的边的边BC上，且上，且 AB=AC,AD=AE.求证：求证：BD=CE 1 1、等腰三角形的性、等腰三角形的性质质1 1：等边对等角等边对等角2 2、性质、性质2 2 等等腰三角形顶角的平分线垂直平分腰三角形顶角的平分线垂直平分底边底边 （三线合一）三线合一） 4 4、有时利用等腰三角形的、有时利用等腰三角形的“三线合一三线合一”性质作辅助线性质作辅助线（顶（顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线）角的平分线、底边上的高、底边上的中线），可帮助我们解，可帮助我们解决实际问题。决实际问题。3 3、等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于、等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于 60605 5、数学思想：分类讨论思