平面图形的几何性质1

1、材料力学材料力学山东大学山东大学 工程力学系工程力学系附录附录 平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学材料力学山东大学山东大学 工程力学系工程力学系附录附录 平面图形的几何性质平面图形的几何性质 1 静矩与形心静矩与形心 2 惯性矩、惯性积、极惯性矩惯性矩、惯性积、极惯性矩 3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理惯性矩和惯性积的平行移轴定理 4 转轴定理转轴定理主惯性轴主惯性轴* 平面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学材料力学山东大学山东大学 工程力学系工程力学系附录附录 平面图形的几何性质平面图形的几何性质1 1 静矩与形心静矩与形心一、静矩：一、静矩： 任意平面图形如图所示，其面积为

2、任意平面图形如图所示，其面积为A，x轴和轴和y轴为图形所在平面内的轴为图形所在平面内的坐标轴。在坐标坐标轴。在坐标（x，y）处，取为面积处，取为面积dA，则遍历整个图形面积，则遍历整个图形面积A A的的积分积分AAyyAAxxAxSSAySSdd dd；dAxyyx定义为该平面图形对定义为该平面图形对x轴和轴和y轴的轴的静矩静矩也称为平面图形对也称为平面图形对x轴和轴和y轴的轴的一次矩一次矩静矩的数值：静矩的数值：可能为正，可能为负，也可能为正，可能为负，也可能为负可能为负静矩的量纲：静矩的量纲：长度长度3，单位：，单位：m3材料力学材料力学山东大学山东大学 工程力学系工程力学系附录附录 平面

3、图形的几何性质平面图形的几何性质二、形心坐标与静矩：二、形心坐标与静矩：(等厚均质板的质心与形心重合。等厚均质板的质心与形心重合。)累累加加式式CyCxxCyCAxSAySASyASx；或或； dAxyyx等厚等厚均质均质mmyymmxxmCmCdd质质心心ASAAyAtAytyASAAxAtAxtxxAACyAACdddd形形心心CxCyAAyASyAAxASxniiCixCniiCiyC11若某坐标轴通过形心，则图形对该轴的静若某坐标轴通过形心，则图形对该轴的静矩必然等于零矩必然等于零 。反之，。反之，若图形对某一轴的若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心静矩等于零，则该轴必

4、然通过图形的形心材料力学材料力学山东大学山东大学 工程力学系工程力学系附录附录 平面图形的几何性质平面图形的几何性质例例1 试确定下图的形心。试确定下图的形心。801201010 xyC2C1C1(0,0)C2(-35,60)AAyASyAAxASxniiCixCniiCiyC11212211AAAxAxAAxxCCiCiCmm3 .201080110101101035mm7 .341080110101101060Cy解解 ：1.1.组合截面法组合截面法图形分割及坐标如图图形分割及坐标如图(a)y yx xyxyx材料力学材料力学山东大学山东大学 工程力学系工程力学系附录附录 平面图形的几何性

5、质平面图形的几何性质2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)mm3 .201107080120)11070(5212211AAAxAxAAxxCCiCiC212211AAAyAyAAyyCCiCiCmm7 .391107080120)11070(658012060图(b)C1（0,60）C2（5,65）C2负面积C1xy801201010材料力学材料力学山东大学山东大学 工程力学系工程力学系附录附录 平面图形的几何性质平面图形的几何性质2 2 惯性矩、惯性积、极惯性矩惯性矩、惯性积、极惯性矩一、惯性矩：一、惯性矩：AyAxAxIAyId d22；惯性半径：

6、惯性半径：分别称为图形对分别称为图形对 x和和y 轴的轴的惯性矩惯性矩，也称为图形对也称为图形对 x和和y 轴的轴的二次矩二次矩。dAxyyxO惯性矩和极惯性矩恒为正值惯性矩和极惯性矩恒为正值2yyiAI2xxiAIAIixxAIiyy定义为图形对定义为图形对 x 轴的惯性半径轴的惯性半径定义为图形对定义为图形对 y 轴的惯性半径轴的惯性半径材料力学材料力学山东大学山东大学 工程力学系工程力学系附录附录 平面图形的几何性质平面图形的几何性质二、极惯性矩：二、极惯性矩：ApAId2称为截面对极点称为截面对极点O的的极惯性矩极惯性矩dAxyyxO惯性矩和极惯性矩恒为正值；惯性矩和极惯性矩恒为正值；

7、其量纲为长度的四次方其量纲为长度的四次方 ，常用，常用单位：单位：m4yxAAAApIIAyAxAyxAIdd)dd22222(惯性矩和极惯性矩的关系惯性矩和极惯性矩的关系材料力学材料力学山东大学山东大学 工程力学系工程力学系附录附录 平面图形的几何性质平面图形的几何性质dAxyyx三、惯性积三、惯性积AxyAxyId如果若坐标轴如果若坐标轴 x 、y 轴轴 有一个是图形有一个是图形的对称轴的对称轴, ,如如 y 轴，则轴，则称为图形对称为图形对x 、y 轴的惯性积轴的惯性积yxodAdAx x y y 讨论讨论0dAxyAxyI惯性积可为正值惯性积可为正值 or 负值负值 or 零零 材料力

8、学材料力学山东大学山东大学 工程力学系工程力学系附录附录 平面图形的几何性质平面图形的几何性质例例2 求矩形对其对称轴求矩形对其对称轴 x 、y的惯性矩的惯性矩 解：先求解：先求xI取微面积取微面积 dAdAdy y yxoh b bdydA dAyIAy2123222bhdybyhh同理同理123hbIy材料力学材料力学山东大学山东大学 工程力学系工程力学系附录附录 平面图形的几何性质平面图形的几何性质圆环截面圆环截面内径内径 d ，外径，外径 D646444dDIIyx)1 (64)(644444DdDxy组合图形的对某轴的惯性矩组合图形的对某轴的惯性矩niyiyII1nixixII1材料

9、力学材料力学山东大学山东大学 工程力学系工程力学系附录附录 平面图形的几何性质平面图形的几何性质3 3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理惯性矩和惯性积的平行移轴定理一、平行移轴定理一、平行移轴定理：byyaxxcc0CxcAcAySdyAbbSIAbbyyAbyAyIxcxccAcAcAx222222)2()( d ddAbIIxcx2dAb a xyoycyxcxxcycC取另外一对坐标轴取另外一对坐标轴: : x 和和 y，且且 x / xc 相距相距 b , y / yc 相距相距 a 对对x 和和 y轴的惯性矩为轴的惯性矩为:对形心轴对形心轴xc和和yc的惯性矩和惯性积为的惯性矩和惯性积为

10、:AcycAcxcAxIAyIdd22材料力学材料力学山东大学山东大学 工程力学系工程力学系附录附录 平面图形的几何性质平面图形的几何性质注意注意: C点必须为形心点必须为形心AbIIxcx2AaIIycy2abAIIxcycxy a 和和 b 可正、可负、可为零可正、可负、可为零同理，可得：同理，可得：材料力学材料力学山东大学山东大学 工程力学系工程力学系附录附录 平面图形的几何性质平面图形的几何性质例例2 求图示圆对其切线求图示圆对其切线AB的惯性矩。的惯性矩。解解 ：两种方法：两种方法： 一是按定义直接积分；一是按定义直接积分； 二是用平行移轴定理等知识求。二是用平行移轴定理等知识求。B

11、建立形心坐标如图建立形心坐标如图, 求图形对形心的求图形对形心的极惯性矩。极惯性矩。6424dIIIPyx6451664)2(4442dddAdIIxABAxyxdApIIIdAI23242/022dd圆xyOd d 材料力学材料力学山东大学山东大学 工程力学系工程力学系附录附录 平面图形的几何性质平面图形的几何性质4 转轴定理转轴定理主惯性轴主惯性轴*cossinsincos11yxyyxx一、一、 惯性矩和惯性积的转轴定理惯性矩和惯性积的转轴定理dAxyyx x1y1x1y1坐标轴坐标轴 x y 绕绕 O 点逆时针旋转点逆时针旋转 角，角，得到新的坐标系得到新的坐标系 x 1 y1 O2s

12、in2cos22d )2sin2cos22(d )22cos12sin22cos1( d )cos2sinsin( d)cossin(d22222222222211xyyxyxAAAAAxIIIIIAxyxyxyAyxyxAyxyxAyxAyI材料力学材料力学山东大学山东大学 工程力学系工程力学系附录附录 平面图形的几何性质平面图形的几何性质2sin2cos221xyyxyxyIIIIII2cos2sin211xyyxyxIIIIyxyxIIII11 2sin2cos221xyyxyxxIIIIII同理，可得：2cos2sin221xyyxxIIIddI材料力学材料力学山东大学山东大学 工程力

13、学系工程力学系附录附录 平面图形的几何性质平面图形的几何性质二、截面的主惯性轴和主惯性矩二、截面的主惯性轴和主惯性矩0 02cos2sin21100yxxyyxIIII，即即 上式可以求出两个相差上式可以求出两个相差90的两个角度的两个角度 0，与与 两个两个 0 对应的坐标轴对应的坐标轴x0和和 y0 称称为为主惯性轴主惯性轴；简称；简称主轴主轴；平面图形对主惯性轴之惯性矩称；平面图形对主惯性轴之惯性矩称为为主惯性矩主惯性矩。yxxyIII22tg022)2(2 ：00 xyyxyxyxIIIIIII主主惯惯性性矩矩2sin2cos221xyyxyxxIIIIII2cos2sin221xyy

14、xxIIIddI将将Ix1对对 取导数，得取导数，得若若 = 0，使，使 ，则对应于，则对应于 0所确定的坐标轴，图形的惯性矩为所确定的坐标轴，图形的惯性矩为最大值或最小值。将最大值或最小值。将 0代入上式并令其等于零，则得代入上式并令其等于零，则得01ddIx材料力学材料力学山东大学山东大学 工程力学系工程力学系附录附录 平面图形的几何性质平面图形的几何性质三、形心主轴和形心主惯性矩三、形心主轴和形心主惯性矩 通过平面图形形心通过平面图形形心C C的主惯性轴，称其为的主惯性轴，称其为形心主惯性轴形心主惯性轴。 平面图形对形心主惯性轴的惯性矩，称为平面图形对形心主惯性轴的惯性矩，称为形心主惯性

15、矩形心主惯性矩ycxcxcycIII22tg022)2(200 xCyCyCxCyCxCyCxCIIIIIII形心主惯性矩：形心主惯性矩：杆件横截面的杆件横截面的形心主惯性轴形心主惯性轴、形心主惯性矩形心主惯性矩和杆件的和杆件的形心主惯性平面，形心主惯性平面，在杆件在杆件的弯曲理论中有重要意义。截面对于对称轴的惯性积等于零，截面形心又必然的弯曲理论中有重要意义。截面对于对称轴的惯性积等于零，截面形心又必然在对称轴上，所以在对称轴上，所以截面的对称轴就是形心主惯性轴，它与杆件轴线确定的纵向截面的对称轴就是形心主惯性轴，它与杆件轴线确定的纵向对称面就是形心主惯性平面。对称面就是形心主惯性平面。材料

16、力学材料力学山东大学山东大学 工程力学系工程力学系附录附录 平面图形的几何性质平面图形的几何性质求截面形心主惯性矩的方法求截面形心主惯性矩的方法建立坐标系建立坐标系计算面积和面积矩计算面积和面积矩求形心位置求形心位置建立形心坐标系；求：建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， IxCyC求形心主轴方向求形心主轴方向 0 求形心主惯性矩求形心主惯性矩AAyASyAAxASxiCixCiCiyC22)2(2 00 xCyCyCxCyCxCyCxCIIIIIIIyCxCxCyCIII22tg0材料力学材料力学山东大学山东大学 工程力学系工程力学系附录附录 平面图形的几何性质平面图形的几何性质例例3 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d)解： 建立坐标系如图。求形心位置。 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， I xCy dddddAAyyAAAxxiCiCiC