分布的其它特征数(m)

1、主要内容（主要内容（1.5学时）学时）一、一、K阶矩（重点）。阶矩（重点）。 二、变异系数。二、变异系数。三、分位数（重点）。三、分位数（重点）。 四、中位数。四、中位数。五、偏度系数。五、偏度系数。 六、峰度系数。六、峰度系数。第七节第七节 （一维（一维X X）分布的其它特征数）分布的其它特征数多维：协方差（矩阵）、相关系数、混合矩等。多维：协方差（矩阵）、相关系数、混合矩等。一、一、K阶矩（重点）阶矩（重点）k() : ()kE XkkN 阶阶原原点点矩矩E(X),D(X)E(X),D(X)是是一一维维X X最最重重要要的的特特征征数数. .此此外外, ,还还有有其其它它特特征征数数. .

2、1 . kkE( X ), E( XE( X )( ),即即对对应应的的级级数数或或广广义义存存在在积积分分收收敛敛 k() : ()kkkNEXE X 阶阶中中心心矩矩说明：说明：12 X1k, k.kk( ).XX因因若若 的的 阶阶矩矩存存在在 则则低低于于 的的各各阶阶矩矩也也存存在在 212 3 ( )E(X ),E(XE(X )D(X ) 1 1、定义、定义2 2、中心矩与原点矩的关系、中心矩与原点矩的关系1k()()kkEXEEXX 10()kkikiiiEC X 10()kikikiiC 01101: (=10 ) 例例如如2222011211()2() 33321132 24

3、4431211463 注意：应用时，一般最多用到四阶矩（偏度、峰度）注意：应用时，一般最多用到四阶矩（偏度、峰度）k,.2 2k k例例1 1( (P P1 12 25 5- -例例7 7. .1 1) ) 设设随随机机变变量量X XN N( (0 0, ,) ), ,求求 2221k2: ()xkkxE Xedx 解解222ukku edu 22k, , (k=1,3,5,.)0ukku e 为为奇奇数数时时为为奇奇函函数数11222k02kkkzzedz 121222()kkk (1)(3).1 (k=2,4,6,.)kkk 2412340, , 0, : 3 前前四四阶阶原原点点矩矩 (

4、k=1,2,.)kk 二、变异系数二、变异系数()(, )().()D XXCXE XEXXX v v的的二二阶阶矩矩存存在在 称称比比值值为为 的的变变异异系系数数说明：说明：1 ) C)( Xv v无无量量纲纲, , 消消除除了了量量纲纲不不同同X X的的差差异异. .1 1、定义、定义背景背景：(1) 比较不同量纲随机变量的波动幅度，方差并不合理；比较不同量纲随机变量的波动幅度，方差并不合理；(2)相同量纲的随机变量，比较波幅仅方差也不准确相同量纲的随机变量，比较波幅仅方差也不准确(大大,小小)。2 ) C)( Xv v主主要要度度量量不不同同随随机机变变量量波波动动程程度度. .解解:

5、 D(X)D(Y)，并不表明，并不表明X的波幅比的波幅比Y大大(取值大小差异悬殊取值大小差异悬殊)。 例例2 2（P126-P126-例例7.27.2） X X表示某种同龄树的高度表示某种同龄树的高度( (单位：米单位：米) )，Y Y表示某年龄儿童的身高（单位：米）。比较随机变量表示某年龄儿童的身高（单位：米）。比较随机变量X X、Y Y的波的波幅大小。其中幅大小。其中E(X)=10E(X)=10，D(X)=1, E(Y)=1, D(Y)=0.04D(X)=1, E(Y)=1, D(Y)=0.04。()()()XCXE X v v110()0.04()(0.21)YCYE Y v v, ()

6、()YX.CXCYv vv v因因 此此的的 波波 幅幅 比比的的 波波 幅幅 大大三、分位数（重点）三、分位数（重点）()( ) ( ), ( ). ,pxppF xp x dXF xp xxxpp设设连连续续型型 的的分分布布函函数数为为密密度度函函数数对对任任意意的的p p ( (0 0, ,1 1) ), ,称称满满足足下下 分分位位数数条条件件 的的为为该该分分布布说明：说明：1 pppp( ),xF( xp).pxP( Xx )即即落落在在左左侧侧的的概概率率等等于于 时时的的 1 1、定义、定义背景背景：数理统计、计量经济学、统计学中大量使用。：数理统计、计量经济学、统计学中大量

7、使用。1 3 ppppxP Xx F( x )p( x)d( ).xpxp的的为为该该分分上上 分分位位数数布布 2 1pppP( Xx )(),xxpp.或或定定义义为为即即落落在在右右侧侧概概率率等等于于1 1- - 的的 2 2、分位数的互换与计算、分位数的互换与计算11 ppppxxxx上上下下侧侧分分位位数数互互换换: : 0.10.1, ()10.10.9P Xup 解解: :( (1 1) ) 令令2(0, 1), 0.1,0.05,0.01( , ),XNYNppp 例例3 3( (P P1 12 27 7- -例例7 7. .3 3) ) ( (1 1) )求求的的上上下下(

8、 (2 2) )求求上上分分数数. .下下位位分分位位数数. .0.11.29u 由由P P( (X X ) )= =0 0. .9 9, , 上上侧侧分分位位数数1 1. .2 29 9 0.051.645u由由P P( (X X 0: (1) (), ()0 xeXExpp x 解解其其它它0.510.5xe 0.50.5, .xy 2 2例例5 5( (P P1 12 28 8- -例例7 7. .4 4) ) X XE Ex xp p( ( ) ), ,Y YN N( ( , ,) ), ,求求中中位位数数0.50.500.5xxP Xxedx 0.5ln2 = x 2(2) YN(

9、,) ( )p yy 概概率率密密度度关关于于对对称称0.5 =()yE Y 0.5ln20.5128(0.5) = 1.39(min)PpxXEx通通话话时时间间五、偏度系数五、偏度系数3322333212()()() () ()XE XEE XEEXEXXXD 设设随随机机变变量量X X的的三三阶阶矩矩存存在在, ,则则称称下下值值为为X X的的偏偏度度系系数数, ,简简称称偏偏度度. .说明：说明：1(1) 偏偏度度实实际际上上为为 的的标标准准化化变变X X- -E E( (X X) )X XD D( (量量的的三三阶阶X X) )原原点点矩矩. .12(3) XN( ,), (p(x

10、)0E X =) ( ) 若若则则偏偏度度关关于于对对称称1(2) 刻刻画画X X分分布布偏偏度度的的对对称称性性. .1 3 33 3 0 0, ,即即= =E E 0 0, ,即即X X的的分分布布重重心心偏偏左左, ,见见P P1 1X X- -E E( (X X) )2 29 9- -a a. .11 = =0 0 0 0, ,X X的的分分布布关关于于E E( (X X) )对对称称. ., ,X X的的分分布布重重心心偏偏右右, ,见见P P1 12 29 9- -b b c c. .六、峰度系数六、峰度系数44422222() 333()() ()()XE XE XE XD XE

11、 XE XE 设设随随机机变变量量X X的的四四阶阶矩矩存存在在, ,则则称称下下值值为为X X的的峰峰度度系系数数, ,简简称称峰峰度度. .说明：说明：2(1) 峰峰度度实实际际上上为为 的的标标准准化化变变X X- -E E( (X X) )X XD D( (量量的的四四阶阶X X) )原原点点矩矩. .20 即即任任一一正正态态分分布布的的峰峰度度4422422(2) XN( ,),333 0 () 若若则则峰峰度度2 * *, ,即即X X标标准准化化的的分分布布比比标标准准正正态态分分布布更更平平坦坦, ,X X 00 高高峰峰度度. .122: ( , ), ()1.2, a bXU a bE X 解解 XU(a,b), YExp(),ZGa(,).2 2 例例6 6( (P P1 13 30 0- -例例7 7. .5 5) ) 随随机机变变量量考考察察其其峰峰度度系系数数 21.,2p( x)U, . 表表明明 若若某某随随机机变变量量则则呈呈的的形形其其2( ), ,6 .0YExp 表表明明指指数数分分布布比比正正态态分分布布更更陡陡峭峭12( , ). 26, ZGa 偏偏度度系系数数峰峰度度系系数数12( , ), .Ga 的的偏偏度度峰峰度度只只