(完整版)考研极限试题(卷)

1、“考研数学”一一做到更好，追求最好南工程考研数学辅导材料之一主编：杨降龙杨帆刘建新翁连贵吴业军FJ数学近几年来，随着高等教育的大众化、普及化，相当多的大学本科毕业生由于就业的压力，要想找到白己理想的工作比较困难，这从客观上促使越来越多的大学毕业生选择考研继续深造，希望能学到专业的知识，取得更高的学历，以增强白己的竞争能力； 同时还有相当多的往届大学毕业生由于种种的原因希望通过读研来更好地实现白我。这些年的统计数据表明：应届与往届的考生基本各占一半。白 1981989 9年起，研究生入学数学考试实行全国统一命题，其命题的范围与内容严格按照国家考试中心制定的“数学考试大纲”，该考试大纲除了在 19

2、961996 年实施了一次重大的修补以外，从 19971997 年起一直沿用至今，但期间也进行了几次小规模的增补。 因此要求考生能及时了解掌握当年数学考试大纲的变化，并能按大纲指明的“了解”，“理解”，“掌握”的不同考试要求系统有重点的复习。通常研究生入学数学考试与在校大学生的期末考试相比，考试的深度与难度都将大大的增加，命题者往往将考试成绩的期望值设定在 8080（按总分 15150 0分）左右命题，试题涉及的范围大，基础性强，除了需要掌握基本的计算能力、运算技巧外，还需掌握一些综合分析技能（包括各学科之间的综合）。这使得研究生数学入学考试的竞争力强，淘汰率很高。为了我院学生的考研需要，我们

3、编写了这本辅导讲义。该讲义共分三个部分，编写时严格按照考试大纲，含盖面广、量大，在突出重点的同时，注重于基本概念的理解及基本运算能力的培养，力求给同学们做出有效的指导。第一章函数极限与连续考试内容函数的概念及其表示，函数的有界性、单调性、奇偶性及周期性，复合函数、反函数、分段函数、隐函数，基本初等函数的图形与性质，初等函数的建立，数列极限与函数极限的性质，函数的左右极限，无穷小与无穷大的关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则，两个重要极限，函数连续的概念，函数间断点的类型，闭区间上连续函数的性质。考试要求1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题中的

4、函数关系。2、了解函数的有界性、单调性、奇偶性及周期性的概念，注意这些问题与其它概念的结合应用。3、理解复合函数、分段函数的概念，了解隐函数、反函数的概念。4、掌握基本初等函数的性质及其图形。5、理解极限、左右极限的概念，以及极限存在与左右极限的关系。6、掌握极限的性质与四则运算。7、掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法。8、理解无穷小、无穷大的概念；掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小计算极限。9、掌握利用罗必达法则求不定式极限的方法。10、理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。11、理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最值存在、介值定理），并

5、会利用这些性质。1 1 函数、函数的概念二、函数的性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性;三、函数的运算（重要考点）：四则运算、复合运算（复合函数）、逆运算（反函数）；四、函数的分类：初等函数、非初等函数。1、（88）已知f（x）2ex,f(x)x,且（x）0,求（x）及定义域。2、(92)已知f(x)sinx,f(x)x2，求（x）定义域。、r一1、3、设f（）xx(1.x21),0,f(x)。4、f(sinx1)sinxsin12sin3,求f(x)。5、(97)g(x)x,x,f(x)x,0工,0,求gf(x)。16、设f(x)1,x,00，求ff(x)。7、(90)f(x)1,0,求ff

6、(x)。2x8、求y2x0的反函数。12x2,x19、(96)设函数f(x)x3,1x2,12x16,x2(1)写出f(x)的反函数g(x)的表达式；(2)g(x)是否有间断点、不可导点，若有，指出这些点。C,a,b,c为常数，且ab,试证：f(x)为奇函数。x211、xR,f(x)W足：2f(x)f(1x)x,求f(x)。2 2 极限110、设f(x)满足：af(x)bf()x12、设f(x)连续，且f(x)sinxx2limf(x)，求f(x),limf(x)。13、(89)设f(x)连续，且f(x)1x20f(x)dx，求f(x)。14、(97)设f(x)11x210f(x)dx,求10

7、f(x)dx。、定义及性质(1)唯一性；(2)局部有界性；(3)局部保号性(i)若 f(x)0,(或 f(x)0),且 limf(x)Axx0则 A0(或 A0);(ii)若 limf(x)Axx0oo0)，则 U(x,),xU3,),f(x)0(或 f(x)0);、求极限的方法(重点)4、（1）用等价无穷小计算极限x0时，常见的等价无穷小有sinx,tanx,ln(1x),ex1,arcsinx,arctanxx,121cosxx,(1x)1x(0).2注意：x的广泛的代表性sinu,tanu,ln(1u),eu1,arcsinu,arctanuu1cosu1u2,(1u)1u等2(2)有界

8、函数乘无穷小仍为无穷小。5、用罗必达法则设(1)limf(x)0(),limF(x)0(),(xx或x1、用定义证明和观察法如limarctanxxlimarctanxx1limex0 x02、用极限的四则运算法则和函数的连续性3、用两个重要极限:sinxsinu、i)lim1(或lim。1)注意比较如下几个极限sinxlimxxsinxi0 xlimxsinx1,xm0 xsin;ii)lim(11)xxxe,lim(1ne,1x般形式：忡0（11u)u1.lim(1)uuu通常对于含三角函数的9型极限用i）,对于1型极限用ii）。0(2)在Xo的某个去心邻域内(当X充分大时)f(x),F(

9、x)可导，且F(x)0f(x)(3)lim(A()F(x)则limlim旦A()F(x)F(x)基本类型有0和一。对于0,，可以通过初等变形转化为0和一。对于1,0,0,通过取对数再用罗必达法则。6、用变量代换注意：该方法要视极限的具体形式而定，如：在计算xx0的极限时，如果被求极限中含有xx0的因式时，可以令xx0=t；在计算x的极限中，如果被求极限中含有,则可令-t。在研究xx生数学入学考试中不常出现7、用极限存在的二个准则i)夹逼(两边夹)定理；ii)单调有界定理：单调递增(减)有上界(下界)的数列必有极限。8、利用导数定义(ch.2)9、用定积分定义(ch.3)当已知函数f(x)可积时

10、，有limf(Kn1nMglim1f(ax)dx=0aa0f(x)dxlim10f(ax)dx=a1f(x)dxalimnf(a包争八ni1nnf(x)dxf(ann10、用微分和积分中值定理(ch.2)11、用Taylor公式(ch.2)注意：下面几类极限一般要讨论左右极限:分段函数在分段点的极限;xx时，与绝对值或开偶次方根有关的极限;三、无穷小阶的比较均为无穷小，且不为(C)一定不存在,(D)不一定存在。一x一.一esinxxx时，含有形如a1京因式的极限。(1)lim/0时，则称是的高阶无穷小，或称是的低阶无穷小，记(2)lim与为同阶无穷小，特别当c1时，称与0()。等价无穷小。(3

11、)lim/kc0时，则称是的k阶无穷小。注意：无穷小的比较是在数学考试中一个经常考的考点，尤其在数二、三、四中。其主要考法有已知函数f(x)与另一已知函数g(x)是同阶无穷小,求f(x)中所含的参数;当函数f(x)满足什么条件时，是xn的同阶(高阶)无穷小;将给出的几个无穷小按其阶从小到大排列。(一)极限的计算1、(00)设对任意的x,总有(x)f(x)g(x),且limg(x)(x)0,则xlimf(x):x(A)存在且等于零,(B)存在但不一定为零,tanxx(2)lim2；2、(1)lim；x0 xcosxsinx213sinxxcos-(3)(97)I羿(1cosx)|n(iX)12e

12、xsinx4、(1)(00)limj-)。(2)(05)(数二、四)1exx12cosxx6、(1)(04)求极限lim二()1；0 x13x0（二）关于数列极限：3、（1）lxm01x.1tanx.1x1sinx.1tanx.1sinx(2)(99)lim2x0 xln(1x)x25、(1)lim(1xex；(2)Jimx(Jx2100 x)。/、/、，.arctanxx(4)(00)limq-2x*3)忡。(2)(93)肺丝二点；x5x3xx0(xt)f(t)dt0，求极限limx0 xx0f(xt)dtarctanxsinx7、(1)(99)1xm0(/1xtanx2.一(2)(94)l

13、imxxln(1x1)。x8、(1)(03)1lim(cosx)ln(1x0 x2)；(2)limx1a=1b3x(a,b,c0)。10、(03)设an,bn,cn均为非负数列，且lima”n0,limbn1,nlim&,则必有:n(99、（05）设函数f（x）连续，且f（0）(A)anbn对任意n成立;(B)bnCn对任意n成立;(C)极限limanCn不存在;n(D)极限limbnCn不存在。n11、(98)设数列Xn与yn满足lim(Xnyn)0,则下列判断正确的是:(A)若Xn 发散,则yn必发散,(B)若Xn无界，贝Uyn必有界,12、13、14、(C)若Xn有界,(1)(9

14、8)lim(n(3)Xi(96)15、(97)16、设X1则yn必为无穷小,ntan】)”；n(2)(02)limnn2na1】nlnn(12a)、2,X2.2X10，Xn1设a2,an2,Xn12,.,Xn6Xn12(an12一，(nXn1，一，一(D)若一为无穷小，则1)。求limxnon,证明|imXn存在并求之。1、)，证明：liman存在。anyn必为无穷小。1),求limXnon17、(06)设数列Xn满足0X1,Xn1证明：(1)limXn存在，并求该极限；sinXn,n1,2,(2)计算limn12Xn1XnXnD:同阶但不等价无穷小18、lim(n1n2119、(95)lim

15、()nn2n12n2n2n2nn)(三)极限中常数的确定sinx,20、(04)右lim(cosxx0eab)21、(1)(97)设X。时，etanxex与xn是同阶无穷小，贝Un(2)(96)设x1ax。时，f(x)e为x的二阶无分小，求a,b。(3)(05数二)当x0时,2.(x)kx与(x)J1xarcsinxJcosx是等价无穷小，则(4)设1cosxf(x)0.2.sintdt,g(x)5x6一一.，则当x0时f(x)是g(x)的()6A：低阶无穷小高阶无穷小(5)(06)试确定常数A,B,C,使得(1/3,-2/3,1/6)C:等价无穷小ex(1BxCx2)1Axo(x3)axsi

16、nx3xdt22、(98)求a,b,c,使limx0c,(c0)。,、atanxb(1cosx)_2223、(94)设lim2,ac0,则有：x0cln(12x)d(1ex)(A)b4d,(B)b4d,(C)a4c,(D)a4c。24、(1)(01)设当x0时，(1cosx)ln(1x2)是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比x2(ex1)局阶的无穷小，则正整数n等于：(A)1,(B)2,(C)3,(D)4。(2)(01)已知f(x)在(，)内可导，且limf(x)e,xcxlim()limf(x)f(x1),求c的值。xxcx25、(02)设函数f(x)在x0的某个领域内具有一阶连

17、续导数，且f(0)0,f(0)0,若af(h)bf(2h)f(0)在h0时是比h高阶的无穷小，试确定a、b的值。26、(02)设函数f(x)在x0的某领域内具有二阶连续导数，且f(0)0,f(0)0,f(0)0,证明：存在惟一的一组实数1,2,3,使得2f(2h)3f(3h)f(0)是比h2高阶的无穷小。当h0时，1f(h)27、lim(vax3成2xxa,b。3 3 连续与间断一、f(x)在点X0连续(重点):limf(x)f(X0)或Ijmy0。初等函数在定义区间内是连续的，分段函数分界点的连续性要用定义讨论。二、若f(x)在点a不连续，称a为f(x)的间断点。间断点分两类：第一类间断点(

18、左、右极限都存在)：可去间断点(左、右极限都相等)和跳跃间断点(左、右极限不相等)第二类间断点：无穷间断点(至少有一侧极限为无穷大)，振荡间断点等。注意：这一部分在数三、四中是一个常考的考点，主要以已知连续性或间断点的类型确定参数，计算题中以讨论间断点类型并补充定义使其连续为主；在数一、二中一般不单独以单个概念出题，通常会跟函数的建立、极限、微分方程等概念结合考查。三、闭区间上连续的函数有以下性质：1)最值定理：闭区间上连续的函数一定取到最大值M和最小值m(必有界)；更一般地：我们可以得到如下结论设f(x)在开区间(a,b)内连续，且Jimf(x)及Jimf(x)都存在，则f(x)在(a,b)

19、内有界。2)介值定理：闭区间上连续的函数一定取到介于最小值和最大值M之间的任一数；3)零点定理：设f(x)在a,b上连续，f(a)与f(b)异号，则至少有一点(a,b),使得f( )0。推广的零点定理：设f(x)在区间(,)上连续，且limf(x)x(),limf(x)x(),则至少存在一点()，使f()0例题tanx1ex0.xarcsin1(02)设函数f(x)在x0处连续，则a=o22xaex0为何值时，x0是f(x)的可去间断点?3、(00)设函数f(x)二T在(,ae)内连续，且limxf(x)0,则常数a、b满足(A)a0,b0,(B)a0,b0,(C)a0,b0,(D)a0,b0

20、.4、(05)设f(x)V，则()ex11(A)x0,x1都是f(x)的第一类间断点。(B)x0,x1都是f(x)的第二类间断点。(C)x0是f(x)的第二类间断点，x1是f(x)的第二类间断点(D)x0是f(x)的第二类间断点，x1是f(x)的第一类间断点5、(04)设 f(x)lim(n21)x，贝Uf(x)的间断点为xnnx1一1x6、(98)设f(x)|im，讨论f(x)的间断点，结论为：(A)不存在间断点，(B)存在间断点x1,ln(1ax3)xarcsinxx06x0，问a为何值时,ax2exax1x0_一xxsin-42(03)设函数f(x)f(x)在x0处连续;(C)存在间断点

21、x0,(D)存在间断点x1。f(x)f(xl)。12、证明：方程xpqcosx0恰有一个实根，其中p,q为常数，且0q17、下列命题中正确的是(A)设函数f(x)在xX0处连续,g(x)在xX0处不连续，则f(x)+g(x)在x(B)f(x),g(x)都在xx处不连续，则f(x)+g(x)在xx处必不连续(C)设函数f(x)在xx0处连续，g(x)在xx0处不连续，则f(x)g(x)在x(D)f(x),g(x)都在xx处不连续，则f(x)g(x)在xx处必不连续x8、(98)求f(x)(1x)E(x在(0,2)内的间断点及类型。x处必不连续x处必不连续(exe)tanx9、(07)函数f(x)

22、1在x(ee)上的第一类间断点是x(A)0;(B)1;(C)2;(D)F10、设f(x)在a,b上连续，且a2f(x)b2,求证:a,b,使f()11、f(x)在0,1上非负连续，f(0)f(1)0，证明：对lR(0l1),x0,1，使13、设f(x)在a,b上连续，aXIx?b,试证，对两个正数t与t2,一定使tf(x)t2f(x2)(t1t2)f(C)。(本题的证明思想应掌握，并应能将结论推广到更为一般的情况)点ca,b,14、(04)函数f(x)xsin(x2)_、，-UJ 在下列哪个区间内有界:x(x1)(x2)2(A)(-1,0);(B)(0,1);(D)(2,3)。单元练习1、求函

23、数f(x)寸sin(七&)的定义域2、函数f(x)ln(1ex)的定义域为3、若f(x)的定义域为(0,1)，则函数f(ex1)的定义域为4、f(x)_1xsinxecosx(A)有界函数(B)单调函数(C)周期函数(D)偶函数5、xnn为奇数,则当n为偶数时，xn是无穷大量(B)无穷小量(C)有界变量(D)无界变量6、设f(x)是连续函数，且f(x)x0f(t)dt，则f(x)=7、当x0时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小(A)x2(B)寸1x21(C)xtanx2(D)1cosx8、设f(x),g(x)在x0的某个领域内连续，且当x0时f(x)是g(x)高阶的无穷小，贝U当x0时，of(t)sintdt是tg(t)dt的(A)低阶无穷小(B)高阶无穷小(C)同阶但不等价无穷小(D)等价无穷小/、5xsintsinx9、(x)0一弓*，(x)0(11tdt，则当x0时(x)是(x)的(A)低阶无穷小(B)高阶无穷小(C)同阶但不等价无穷小(D)等价无穷小10、已知2ln(1x)(ax成)limX0.J1、12、lim()x0 xex113、ljm(Jn3/