函数图像过定点问题的分析报告

1、函数图像过定点的研究题 1：求证：抛物线y = （3 k）x2 + （k 2）x+2k1（k w 3）过定点，并求出定点的坐标.归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x 和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x 的方程（这时系数如何变化，都“失效”了）；第四步：解此方程，得到x 的值 x0（ 定点的横坐标），将它代入原函数式（也可以是其变式），即得到一个y的值y 0（定点的纵坐标），于是，函数图象一定过定点（x0， y0）；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤题 2：（2001年

2、北京市西城区中考题）无论 m为任何实数，二次函数y x2 （2 m）x m的图像总过的点是（）A. （ 1 ， 3） B. （ 1 ， 0）C. （1 ， 3） D. （1， 0）巩固练习：1 .无论m为何实数，二次函数y=x2 - (2-m) x+m的图象总是过定点()A. (1,3) B.(1,0) C. (T,3)D.(T,0)2 .对于关于x的二次函数y=ax 2 - (2a-1) x - 1 (aw0),下列说法正确的有()无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；当 a>0时，函数在x< 1时，y随x的增大而减小

3、；当a <0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2.A. 1个B. 2个C. 3个D.4个3 . (2012?鼓楼区一模)某数学兴趣小组研究二次函数y=mx 2 - 2mx+3 ( m 0)的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总 经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标： .4 .某数学小组研究二次函救 y=mx 2 - 3mx+2 ( rn 0)的图象发现，随着 m的变化，这个 二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点.请你写出 这两个定点 的坐标：.5 . (2009?宜宾县一模)二次函数y=x2+bx+

4、c满足b - c=2 ,则这个函数的图象一定经过某 一个定点，这个定点是 .6 .无论m为何实数，二次函数y=x2 - (2-m) x+m的图象总是过定点 .7 .已知一个二次函数具有性质(1)图象不经过三、四象限；(2)点(2, 1)在函数的图象 上；(3)当x>0时，函数值y随自变量x的增大而增大.试写出一个满足以上性质的二次 函数解析式： .8 .证明无论m为何值，函数y=mx- (4m-3)图像过定点，求出该定点坐标9 .（南京2011年24题7分）已知函数y = mx26x + 1 （m是常数）.求证：不论m为何值，该函数的图象都经过 y轴上的一个定点;若该函数的图象与x轴只有

5、一个交点，求m的值.10 .已知二次函数的顶点坐标为（-，-），与y轴的交点为（0, n-m）,其顶点恰好在直线y=x+ - （1 - m）上（其中m、n为正数）.2（1 ）求证：此二次函数的图象与 x轴有2个交点；（2）在x轴上是否存在这样的定点：不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过此定点?若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由.函数图像过定点的研究题 1：求证抛物线y=(3 k)x2+(k2)x+2k1(k w 3)过定点，并求出定点的坐标.审题视角有些函数的图象具有过定点的性质，这是由函数式中的一些系数的取值特点所决定的，例如，直线y=kx+b(kw0),当b确定时，无论k取

6、不等于0的任何值，它总过定点(0, b);物线线y = ax2+bx + c(a w0),当c确定时，无论a、b取何值，它总过定点(o, c)本题中可以把函数解析式整理变形，使含字母k 的项组合于一组，赋值为零，可以求的自变量的值，而后代入函数解析式，再求得相对应的函数值，即得定点的坐标解：整理抛物线的解析式，得y=(3 k)x2 + (k 2)x +2k 1= 3x2 2x 1 -kx2 +kx + 2k= 3x2 2x 1 k(x2 -x- 2)(k w 3),上式中令 x2 x 2 = 0,得 x1 = 1 , x2 = 2.将它们分别代入y = 3x2 2x 1 k(x2 x 2),解

7、得 y1 = 4, y2 = 7,把点(一1, 4)、(2, 7)分别代入 y = 3x22x1 k(x2 x 2),无论 k 取何值，等式总成立，即点(1, 4)、(2, 7)总在抛物线 y = (3 k)x2 + (k2)x+2k 1(k 金3)上，即抛物线 y = (3k)x2+(k2)x+2k 1(k *3)过定点一1, 4)、(2, 7).归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含的形式；x 和常数的因式之积第三步：令后一因式等于 0,得到一个关于自变量 x的方程（这时系数如何变化，都“失效” 了);第四步：解此方程

8、，得到 x的值x0（定点的横坐标），将它代入原函数式（也可以是其变式）,即得到一个y的值y0（定点的纵坐标），于是，函数图象一定过定点（x。，y。）;第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤.题2:（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数y x2(2 m)x m的图像总过的点是（A. (1,3)B. (1 ， 0)C. (T , 3)D. (T , 0)解法一、特殊值法依据：二次函数x2 （2 m）x m的图像随着m的取值不同，它的位置也随之变化,可见这是一个抛物线群。如果这个抛物线群包过某定点，则该抛物线群中的某两条特殊的抛物线也必过这一定点0解：任意给m赋予两个

9、特殊值，不妨设 m=0和m=2 。则函数解析式变为:y x2 2x,2。联立方程组2x2x2x,x解得y把x 1,3代入y（2 m）x m中，无论m为何值，等式总成立。所以，抛物线群y依据:次方程axb的解有三种情形:（1）当a*0时，方程有惟一解：x b ；a(2)当a=b=0时，方程的解为全体实数;(3)当a=0 , bw0时，方程无解。这里所求定点坐标与 m的值无关，相当于关于m的一元一次方程am=b (a、b为含x、 y的代数式)中，a=b=0时的情形。解：将其二次函数整理变形为：(x 1)m x2 2x y 令x2 1 0 解得x 1x 2x y 0y 3所以，无论m为何值时，(1,

10、 3)包满足式，故该二次函数的图像包过定点(1,3)。 故应选Ao巩固练习：1 .无论m为何实数，二次函数y=x2 - (2-m) x+m的图象总是过定点()A. (1,3)B.(1,0)C. (T,3)D.(T,0)2 .对于关于x的二次函数y=ax 2 - (2a-1) x - 1 (aw0),下列说法正确的有()无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；当a>0时，函数在x<1时，y随x的增大而减小；当a<0时，函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2.A. 1个B. 2个C. 3个D.4个3. (2012?鼓楼区

11、一模)某数学兴趣小组研究二次函数 y=mx 2 - 2mx+3 ( m 0)的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标： . .某数学小组研究二次函救 y=mx 2 - 3mx+2 ( m 0)的图象发现，随着 m的变化，这个二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点请你写出这两个定点的坐标： 5 . （2009?宜宾县一模）二次函数y=x2+bx+c满足b - c=2 ,则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是 6 .无论m为何实数，二次函数y=x2 - （2-m） x+m的

12、图象总是过定点 .7 已知一个二次函数具有性质（1 ）图象不经过三、四象限；（ 2 ）点（2 ， 1 ）在函数的图象上；（3）当x>0时，函数值y随自变量x的增大而增大.试写出一个满足以上性质的二次函数解析式： 8 . 证明无论m 为何值，函数y=mx- （ 4m-3） 图像过定点，求出该定点坐标9 . 已知函数y=mx2 6x 1 （ m 是常数） 求证：不论 m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值解：当x=0时，y 1 .所以不论m为何值，函数y mx2 6x 1的图象经过y轴上的一个定点（0, 1）.当m 0时，函数y 6x 1

13、的图象与x轴只有一个交点；22当m 0时，右函数y mx 6x 1的图象与x轴只有一个交点，则万程 mx 6x 1 0有两个相等的实数根，所以（ 6）2 4m 0 ， m 9综上，若函数y mx2 6x 1的图象与x轴只有一个交点，则 m的值为0或9. 11 .已知二次函数的10 .顶点坐标为（-，-），与y轴的交点为（0 , n - m）,其顶点恰好在直线y=x+ （1 - m ）上（其中m 、 n 为正数） （ 1 ）求证：此二次函数的图象与x 轴有 2 个交点；（ 2 ） 在 x 轴上是否存在这样的定点：不论 m 、 n 如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若

14、不存在，请说明理由分析：（1 ）把二次函数顶点坐标代入代入y=x+ （1-m）得-+ （1 - m）=-,整理后利用因式分解得到（ m-n） （m+1 ） =0 ,则m=n或m= - 1 （舍去），于是二次函数的顶点坐标为（-，-），与y轴的交点为（ 0 ， 0 ） ，由 m 为正数可判断二次函数的顶点在第四象限，而抛物线过原点，所以抛物线开口向上，由此得到此二次函数的图象与x 轴有 2 个交点；（2）由（1）得到抛物线的对称轴为直线x=-,抛物线与x轴的一个交点坐标为（0, 0）,利用对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1,0）（1 ）证明：把（，）代入 y=x+ （1m）得+ （1

15、m）=",整理得 m2- mn+m - n=0 ,-.1 （ m n） （m+1 ） =0 ,m=n 或 m= - 1 （舍去），二次函数的顶点坐标为（-，-） ，与y轴的交点为（0,0）,1 .m为正数，二次函数的顶点在第四象限，而抛物线过原点，抛物线开口向上，此二次函数的图象与 x轴有2个交点；（ 2 ）解：存在,抛物线的对称轴为直线x=-,抛物线与x轴的一个交点坐标为（0,0）,，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1,0）,即不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过点（-1 , 0）和（0, 0）.反思：本题考查了抛物线与 x轴的交点：求二次函数 y=ax 2+bx+c （a, b , c是常数，aw 0）与轴的交点坐标，令 y=0 ， 即 ax 2+bx+