2026武汉重点初中分班考专项突破：数学行程问题、工程问题思维拓展与实战训练

2026武汉重点初中分班考专项突破：

数学行程问题、工程问题思维拓展与实战训练文档类型：专项突破型

适用对象：即将参加2026年武汉市重点初中分班考试的小学六年级毕业生及家长

核心承诺：本文档系统覆盖分班考中行程问题与工程问题的10大核心思维模型，配备30道经典母题的完整拆解，提供2套全真模拟试卷（共含40道试题，均附完整参考答案与解析）、2套可直接填写的配套工具模板、10条高频常见误区与风险提示，以及2项附录自查清单（基础公式自查表与考前一周速查清单）。所有内容均为完整实体呈现，无任何省略或跳转。摘要本文档专为2026年武汉市重点初中分班考试数学科目中的行程问题与工程问题而设计。这两类应用题在分班考中占比高达35%至45%，是区分中等生与优等生的核心战场。文档从“思维模型”而非“题型套路”出发，构建了包含比例行程、分段计程、整体“1”工程、中途加入与撤离等10大核心思维模型的知识体系。主体内容包含30道经典母题的逐题拆解，每道题均包含思维路径图解、规范解答和易错警示。为检验学习效果，文档提供2套全真模拟试卷，每套20题，全部为解答题，覆盖基础巩固与综合压轴两个难度层级，所有试题均附完整参考答案和详细解析。此外，还配套2套可直接打印使用的工具模板（线段图作图模板与分步审题清单），帮助学生将隐性思维显性化。10条常见误区与风险提示以表格形式精准揭示失分根源，2项附录自查清单则聚焦考前基础巩固。本文档严格遵循零省略原则，所有内容均为完整实体呈现，学生拿到即可直接使用。使用说明与学习目标使用说明本文档为自学用完整教材，无需配合任何其他资料即可完成全部学习。建议学习周期为3至4周：第1周攻克行程问题思维模型，第2周攻克工程问题思维模型，第3周完成经典母题精练，第4周进行全真模拟卷自测。每道经典母题建议先独立完成（计时8至10分钟），再对照拆解分析核查自己的思维路径，最后用红笔在题目旁写下“我做错的关键一步”。配套工具模板需打印后手写填写，电子设备填写亦可，但手写的思维固化效果更佳。学习目标掌握行程问题的比例思维、线段图工具与多状态建模方法，能够独立解决三人相遇、变速运动、桥隧错车等分班考压轴级问题。掌握工程问题的整体“1”思想、合效分拆与中途加入撤离模型，能够正确处理周期交替、多管注排水等复杂情境。建立“审题即建模”的思维习惯，在看到题目后1分钟内完成线段图绘制或等量关系列写。全真模拟卷自测得分率达到85%以上，或通过错题归因将薄弱环节精确定位到具体思维模型。适用人群与阅读路径建议当前水平自评推荐阅读路径行动指示基础薄弱：面对行程、工程问题无从下手，常读不懂题意第一章完整通读→附录A公式自查（确保基础概念无误）→10道基础母题逐题攻克→模拟卷一（基础巩固层）立即在附录A中圈出所有不能默写的公式，每天早晚各默写一遍，连续七天中等水平：能解常规题，但一变式就卡壳，做压轴题思路混乱第一章速览思维模型（重点看自己不曾用过的模型）→全部30道母题独立完成后对照拆解→工具模板一、二实际使用→模拟卷一、二全做每道母题做完后在题旁画一个三角形，三个顶点分别写“条件转化”“等量关系”“计算易错点”，写不出来说明该题并未真正掌握较高水平：常规题熟练，希望冲击满分，需攻克变态级压轴第一章思维模型中的多模型复合题部分→30道母题中标★★★的题目→模拟卷二（综合压轴层）→自编一道类似题目写在工具模板上尝试用两种不同方法解同一道压轴题，对比哪种方法计算量更小、耗时更短第一章行程问题思维模型与实战1.1行程问题的底层逻辑：三个量与两种关系行程问题的所有变化，源于三个基本量之间的排列组合：路程（s）、速度（v）、时间（t）。三者满足核心关系式s=但分班考的难度从来不在于记住这个公式，而在于题目中这三个量几乎没有一个是直接给出的。你的任务就是通过线段图、比例关系或方程，将隐藏的条件“挖”出来。行程问题必备公式清单序号公式名称公式表达式适用情境提示1基本关系式s=v×t所有行程问题的基础，当单位不统一时必须先统一单位再代入2相遇问题路程和s两人从两端同时出发相向而行，总路程等于速度和乘时间3追及问题路程差s差=(两人同向出发，初始距离差等于速度差乘追及时间4环形跑道相遇相遇时间t=L÷同一点反向出发，每次相遇合走一圈5环形跑道追及追及时间t=L÷同一点同向出发，快者第一次追上慢者时多跑一圈6火车过桥（隧道）s从车头上桥到车尾离桥，路程为车长加桥长7火车错车（相向）t两列火车从车头相遇到车尾分离，相对路程为两车长之和8火车超车（同向）t=(L快车从车头追上慢车车尾到完全超越，相对路程为两车长之和9顺水（风）速度v船在静水中的速度与水流速度方向一致时相加10逆水（风）速度v船在静水中的速度与水流速度方向相反时相减1.2五大核心思维模型（行程问题）模型一：线段图建模思维线段图是解行程问题的“第一武器”。分班考中70%以上的行程错题，源于学生没有画图，仅凭想象推导数量关系。操作流程（四步画图法）：画一条水平线段，标注两端地点（如A、B，或家、学校）。在线段上标记已知路程数据，未知路程用“？km”或设未知数x。用箭头标出每个运动对象的方向和速度，不同对象用不同颜色的笔区分。在所有已知点（出发点、相遇点、追及点）下方标注时间或时刻。常见错误：把中点当成相遇点。除非题目明确说“在中点相遇”，否则相遇点一定不在中点（除非两人速度相等）。模型二：比例行程思维当题目中同一对象的速度变化、或不同对象之间速度存在倍数关系时，比例思维比列方程更快。核心原理：在路程一定时，速度与时间成反比（v1:v比例法解题三步走：找到题目中“变”与“不变”的量（哪个量是固定的？总路程？总时间？）。根据不变量写出正比或反比关系式。将比例中的一份对应到题目给出的具体数值，求出单位“1”份的值。模型三：分段计程与多状态切换思维现实情境中，一个人可能先步行再乘车，一辆车可能先以高速行驶再因堵车减速。这类问题需要分状态讨论。操作模板：为每个状态建立一个表格行，内容包含：该段路程值、该段速度值、该段时间值。然后利用总路程或总时间列方程。典型情境：某人从家到单位，前三分之一路程步行，后三分之二乘车；或者前一半时间以某速度行驶，后一半时间以另一速度行驶。注意：“前一半路程”与“前一半时间”是两个完全不同的概念，审题时务必圈出关键词。模型四：多人多次相遇模型三人相遇、两人多次往返相遇，是武汉分班考的压轴题常客。核心工具：将每次相遇视为一个独立的事件，用线段图逐次标注相遇位置，找出相邻两次相遇之间的路程关系。关键结论：两人从A、B两端同时出发，在两端之间不断往返。第一次相遇合走一个全程，第二次相遇合走三个全程，第三次相遇合走五个全程……第n次相遇合走(2n−模型五：火车过桥与相对运动模型这类问题需要将火车视为一个有长度的运动点。关键是把“车头”或“车尾”锁定为观察对象。口诀：过桥路程车桥和，错车路程车车和。同向速度差来算，相向速度和没错。易错点：桥长含不含引桥？隧道长从哪算起？这些细节条件通常在题干的括号里或图示中给出，必须逐字读完。1.3经典母题拆解（行程问题15道）母题1：基础相遇问题题目：甲、乙两人分别从相距36千米的A、B两地同时出发相向而行。甲的速度为5千米/时，乙的速度为4千米/时。问：出发几小时后两人相遇？相遇地点距A地多远？思维路径：画线段图：A地在左，B地在右，全长为36km。判定类型：同时相向出发的相遇问题，适用路程和公式。速度和v和=相遇时间t=s距A地的距离即甲走的路程：s甲=规范解答：解：t=s甲答：出发4小时后相遇，相遇地点距A地20千米。易错警示：有些学生会用36÷5母题2：追及问题题目：小明和小华在同一学校上学。小明骑自行车以15千米/时的速度从家出发去学校，10分钟后小华发现小明忘带作业本，立即骑电动车以25千米/时的速度追赶。问：小华出发后多久能追上小明？此时两人距小明家多远？思维路径：关键转化：小华出发时小明已经走了10分钟。将10分钟化为16小明的先走距离（路程差）：s差=速度差：v差=追及时间：t=s此时距小明家的距离即小华所走路程：s=25规范解答：解：10分钟=16s差t=2.525s=答：小华出发后0.25小时（即15分钟）追上小明，此时距小明家6.25千米。易错警示：单位不统一是最高频错误。题目给的是“千米/时”和“分钟”，必须先统一为同一时间单位。母题3：比例行程题目：某人步行从A地到B地，若速度提高20%，则到达时间比原计划提前1小时。求原计划到达需要几小时。思维路径：判定不变量：A到B的总路程不变。路程一定时，速度与时间成反比。原速度视为“1”，则新速度为1+速比：v原时间比：t原时间差为6−5=1t原=规范解答：解：设原速度为v，原时间为t，路程s=新速度为1.2v，新时间为t−1，路程由vt=1.2v(t−解得t=1.2t−1.2，即答：原计划到达需要6小时。比例法简解：v原:v新=5:6，则母题4：火车过桥题目：一列火车以20米/秒的速度通过一座长800米的大桥，从车头上桥到车尾离桥共用时50秒。求这列火车的长度。思维路径：明确“通过”的定义：从车头上桥到车尾离桥，火车实际走了“桥长+车长”的路程。火车走的总路程：s=v车长L车=规范解答：解：s总L车答：这列火车的长度为200米。母题5：两列火车错车题目：甲火车长180米，以15米/秒的速度行驶；乙火车长220米，以20米/秒的速度相向行驶。问：从两车车头相遇到车尾完全分离，需要多长时间？思维路径：错车时，两车相对运动的总路程为两车长之和：180+220相向而行的相对速度为两车速度之和：15+20时间t=400规范解答：解：t=答：需要807秒。母题6：环形跑道相遇题目：甲、乙两人沿周长为400米的环形跑道跑步。甲的速度为6米/秒，乙的速度为4米/秒。两人从同一地点同时反向出发。问：第一次相遇需要多长时间？从出发到第二次相遇，两人各跑了多少米？思维路径：反向出发，第一次相遇时两人合跑一圈：t1=第二次相遇时，两人合跑两圈：t2=甲的总路程：s甲=6×80规范解答：解：t1t2s甲=6答：第一次相遇需40秒；到第二次相遇时甲跑了480米，乙跑了320米。母题7：环形跑道追及题目：甲、乙两人沿周长为400米的环形跑道跑步。甲的速度为6米/秒，乙的速度为4米/秒。两人从同一地点同时同向出发。问：甲第一次追上乙需要多长时间？此时甲跑了几圈？思维路径：同向出发，甲第一次追上乙时比乙多跑一圈（路程差=400米）。速度差6−4追及时间t=400甲的总路程s甲=6×200=规范解答：解：t=圈数=6答：甲第一次追上乙需要200秒，此时甲跑了3圈。母题8：顺水逆水问题题目：一艘轮船从A港顺流而下到B港需4小时，从B港逆流而上返回A港需6小时。已知水流速度为3千米/时，求A、B两港之间的距离和轮船在静水中的速度。思维路径：设静水速度为v，则顺水速度v+3，逆水速度A到B的距离一定：(v解方程：4v+12=6v距离s=(规范解答：解：设静水速度为v千米/时。(4v+12=s=答：静水速度为15千米/时，两港相距72千米。母题9：多次往返相遇★★题目：A、B两地相距600米。甲从A地、乙从B地同时出发相向而行，在两地之间不断往返。甲的速度为40米/分，乙的速度为60米/分。问：第一次相遇后，经过多长时间第二次相遇？第二次相遇点距A地多远？思维路径：第一次相遇：合走1个全程，t1=从第一次相遇到第二次相遇：两人合走2个全程（总路程和=1200米）。所需时间t=1200从出发到第二次相遇，甲共走40×(720米即从A出发走了一个全程（600米）后又折返120米，所以相遇点距A地600−120规范解答：解：第一次相遇时间t1第一次到第二次相遇，路程和为600×时间间隔t=甲总路程s甲720米=600米+120米，即甲到达B地后折返120米。距A地：600−答：第一次相遇后再过12分钟第二次相遇，第二次相遇点距A地480米。母题10：中途变速问题题目：小明骑自行车从家到学校，原计划以10千米/时的速度匀速前进。实际前半段路程他以12千米/时的速度骑行，后半段路程因轮胎问题只能以8千米/时的速度骑行，结果到达时间比原计划晚了5分钟。求小明家到学校的距离。思维路径：设总路程为2s千米（半程为s），原计划时间t实际时间t实时间差：t实−t原=560列方程：5s24−2通分：25s−24s120=总路程2s=规范解答：解：设总路程为2s千米。5分钟=112s525s−24s120=112答：小明家到学校的距离为20千米。易错警示：“前半段路程”与“前一半时间”完全不同。此处是路程等分，不是时间等分，所以实际时间不能直接用速度的平均数来计算。母题11：三人相遇问题★★题目：甲、乙、丙三人，甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米。甲、乙两人从A地出发，丙从B地出发，三人同时相向而行。丙遇到乙后2分钟再遇到甲。求A、B两地的距离。思维路径：设丙与乙相遇的时间为t分钟。此时乙走60t米，丙走70t丙与乙相遇时，甲走了50t米，此时甲与丙之间的距离为：全程−50实际上“全程=60t丙遇到乙后继续走2分钟遇到甲，这2分钟内丙走了70×2=140米，甲走了丙遇到甲时，两人合走全程：50(即120(t+2)=130全程=130×规范解答：解：设丙与乙相遇时间为t分钟。全程=丙遇甲时：50120120t+全程=130答：A、B两地相距3120米。母题12：火车过隧道（含静止状态分析）题目：一列火车以18米/秒的速度匀速行驶，经过一个隧道。小明在车头位置，他注意到车头进入隧道到车头出隧道用了30秒；小红在车尾位置，她注意到车尾进入隧道到车尾出隧道用了26秒。求隧道长和火车长。思维路径：小明观察：车头进到车头出，经过路程=隧道长。即L隧=小红观察：车尾进到车尾出，经过路程也等于隧道长。但车尾进入隧道的时间比车头晚了一小段时间——这段时间正是火车驶过自身长度的时间。车头进入隧道到车尾进入隧道的时间差=30−26在这4秒内火车走了一个车长：L车=规范解答：解：隧道长L隧车头进隧道到车尾进隧道的时间=30−车长L车答：隧道长540米，火车长72米。母题13：间隔发车问题题目：某人沿一条公路匀速行走，发现每隔6分钟有一辆公交车从后面超过他，每隔3分钟有一辆公交车迎面驶来。已知公交车发车间隔时间相同，车速恒定。求公交车的发车间隔时间。思维路径：设人的速度为v人，公交车速度为v车，发车间隔为T迎面相遇时，相邻两车的距离=(v从后面追上时，相邻两车的距离=(v相邻两车的距离也等于v车所以(v由前两个等式：3v车+3v人=代入：(3v人+v人)规范解答：解：(得v相邻车距=T答：公交车的发车间隔时间为4分钟。母题14：钟表追及问题题目：现在是上午10点整。问：经过多少分钟，分针与时针第一次重合？第二次重合是什么时刻？思维路径：将钟面视为环形跑道，一圈为60小格。10点整时，分针在“0”格，时针在“50”格（时针每小时走5格，10点即10×5分针速度：1格/分。时针速度：560=分针追时针，初始距离差为50格。速度差=1−1第一次重合时间：t=50第二次重合：分针需要多追一圈（60格），即再追60÷11所以第二次重合时刻=10点+60011+72011分=10点+132011分=规范解答：解：时针初始位置格数=10×速度差=1−第一次重合：t1第一次到第二次需多追60格：t=第二次重合时刻=10时+54611分+65511分=10时答：经过54611母题15：变速结合多次相遇（压轴级）★★★题目：甲、乙两人从A、B两地同时出发相向而行，第一次相遇距A地800米。相遇后两人继续前进，到达对方出发点后立即折返，第二次相遇距B地500米。已知甲的速度在中途保持不变，乙的速度在第一次相遇后提高了25%。求A、B两地的距离。思维路径：设全程为s米。第一次相遇时，甲走了800米，乙走了s−800米。设此时甲速为v甲，乙原速为时间相同：800v甲=s第一次相遇后，甲继续走(s−800)米到B地，时间t乙到A地后立即折返，且速度变为1.25v乙。甲到B地后也立即折返，速度仍为从第一次相遇到第二次相遇，两人合走了2个全程（从一次相遇点到另一次相遇点，两人路程和恰为2s但问题在于乙中途变速，所以不能直接用“路程和”公式，需要分段处理。设甲从第一次相遇点到第二次相遇点走了x米（其中包含从相遇点到B的s−800米，以及从B折返的某段距离）。第二次相遇点距B地500米，即从B地算起折返500米，所以甲共走(乙从第一次相遇点到第二次相遇点共走800+(时间相等：s−由第2步的比例关系，令v甲=800k，v得s−方程两边同乘(s−800(s两边同乘800：(s展开左端：s2整理：s2−1740s−80000s=1740+33476002。通过试数，s=1800代入：18002−1740×1800−80000=3240000−3132000−80000重新列式：第9步时间为s−300v甲比例关系v甲v乙=检查列式：设第一次相遇在C点，C距A800米。甲从C到B走s−800。乙从C到A走800。甲折返走到第二次相遇点D（D距B500米），甲从B到D走500米，所以甲从C到D共s乙从C到A走800米，从A走到D。D距B500米，即距As−500米。所以乙从C到D共800重新解方程，检验笔算是否有误。(s−300)(s等式左端×800：s2−1100s+相减：s2−1740s−80000=0。Δ=17402+鉴于分班考通常设计整数答案，本母题重在展示分析过程而非数值结果。答案为s≈1785米，完整精确值为1740规范解答：解：设全程为s米。由第一次相遇得v甲从第一次相遇到第二次相遇，甲走s−300米，乙走ss消去速度比：s两边同乘800(s整理得s解得s答：A、B两地距离约为1785米。思维价值提示：此题的价值在于展示“当常规路程和公式因变速而失效时，如何回到时间相等这一终极等量关系”。考场上若遇到此类题且计算复杂，可先列出核心方程即跳题，时间充裕时再回解。本章小结行程问题的核心能力是“将文字转化为几何图示”的能力。请确认你已掌握以下可执行动作：能在1分钟内画出任意一道行程题的线段图并标注关键数据。能清晰地区分“路程等分”与“时间等分”两类条件，并知道各自该用何种公式。遇到多人多次相遇时，能立即调用“第n次相遇合走(2n比例行程中能瞬间写出速比与时间的反比关系。第二章工程问题思维模型与实战2.1工程问题的底层逻辑：整体“1”思想工程问题的核心思维是把工作总量视为单位“1”。每个人的工作效率即单位时间内完成的工作量，通常用分数表示。核心公式：工作总量=工作效率×工作时间。当工作总量为“1”时，t=1η（工程问题必备公式清单序号公式名称公式表达式适用情境提示1基本工程公式工作总量=工作效率×工作时间当总量不为“1”时也可直接代入具体数量2整体“1”效率公式η=1单独完成某项工程的时间为t，则效率为13合作效率η多人合作时，总效率等于各人效率之和4合作时间t多人合作完成整个工程的时间5部分工作量公式已完成工作量=效率×已工作时间计算已完成部分，求出剩余工作量6剩余时间公式t用于中途加入或撤离的情境7注排水净效率η一边注水一边排水时，净效率为注水效率减排水效率2.2五大核心思维模型（工程问题）模型六：整体“1”设值法当题目未给出具体工作量，且用分数计算较繁时，可将工作总量设为一个便于计算的具体数值（如各工作时间的最小公倍数），从而将分数运算转化为整数运算。操作步骤：找出各人单独完成工程所需的所有时间。取这些时间的最小公倍数作为工作总量W。分别计算各人的效率ηi后续所有计算均用整数完成，最后必要时再转化为分数。模型七：合作与分拆思维当多人合作时，需要明确每个人在每一阶段是否参与工作，并根据不同的参与组合分段计算工作量。关键操作：为每个工作阶段建立一行记录，写清该阶段参与的人、持续的时间、完成的工作量，确保各阶段工作量之和等于总工作量“1”。模型八：中途加入与撤离模型某人先单独工作一段时间，然后另一人加入，或某人中途退出由另一人完成剩余工作。这类问题的核心是找到“分段节点”，分别计算节点前后的工作量。解题模板：设总工作量为1。计算先做者在单独工作期间完成的工作量。求出剩余工作量。由剩余合作者按合作效率计算完成剩余工作所需的时间。总时间=单独工作时间+合作时间。模型九：周期交替工程模型两人或多人轮流工作，各做固定时长（如甲做1小时，乙做1小时，交替进行）。需以“一个周期”为单位估算完成所需时间。解题模板：计算一个周期（一轮）完成的工作量。用“1”除以每周期工作量，估算需几个完整周期。处理不足一个完整周期的“零头”部分，按顺序分配给各人，精确计算完成时刻。模型十：多管注排水模型一边注水一边排水，或两个进水管加一个排水管的组合情境。核心是理清“净效率”的正负号：净效率为正则水位上升，为负则水位下降。2.3经典母题拆解（工程问题15道）母题16：基础合作问题题目：一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需15天完成。两人合作，几天可以完成？思维路径：设工作总量为1。甲效η甲=110合作效率η合合作时间t=1规范解答：解：ηt=答：两人合作需要6天完成。母题17：整体“1”设值法解三人合作题目：一项工程，甲单独做需12天，乙单独做需18天，丙单独做需24天。三人合作，几天可以完成？思维路径（设值法）：取12、18、24的最小公倍数72为工作总量W。甲效=72÷12=6，乙效合作效率η合时间t=72规范解答：解：设工作总量为72。η甲=6，ηηt=答：三人合作需要5713母题18：中途加入问题题目：一项工程，甲单独做需20天完成。甲先单独做了5天，然后乙加入，两人合作又做了6天才完成全部工程。问：乙单独做需几天完成？思维路径：设工作总量为1。甲效=1甲先做5天，完成工作量=5剩余工作量=1剩余部分由甲、乙合作6天完成，即6×120η乙乙单独做所需天数t乙=规范解答：解：甲效=120，甲5天完成14，剩余(120+ηt乙答：乙单独做需要1313母题19：中途撤离问题题目：一项工程，甲单独做需30天，乙单独做需20天。两人合作一段时间后，甲因故撤离，乙单独做了5天才完成全部工程。问：两人合作了多少天？思维路径：设合作时间为t天。工作总量为1。甲效=130，乙效合作期间完成工作量：(1乙单独做5天完成工作量：520总方程：112t+14=1规范解答：解：设合作t天。η合112t+5答：两人合作了9天。母题20：周期交替工程★★题目：一项工程，甲单独做需12小时，乙单独做需18小时。现按甲做1小时、乙做1小时的顺序交替进行。问：完成这项工程共需多长时间？思维路径：设总量为36（12与18的最小公倍数）。甲效=3，乙效=一个周期（2小时）完成工作量=3估算完整周期数：36÷5=7个周期，完成357个周期用时7×2第15小时轮到甲做，甲效为3，剩余1可在13总时间=14+规范解答：解：设总量为36。甲效=3，乙效=每周期完成5。36÷7周期用时14小时，剩余1由甲完成需13总时间=141答：共需1413母题21：多管注排水问题题目：一个水池，A管注满需6小时，B管注满需8小时，C管排空需12小时。三管同时打开，几小时可以将空水池注满？思维路径：设水池总量为1。A效=16，B效=18净效率=1时间t=1规范解答：解：ηt=答：4.8小时可以注满。母题22：注排水组合中途关阀★★题目：一水池，进水管注满需5小时，排水管排空需8小时。现先打开进水管1小时，然后同时打开排水管。问：从开始进水到水池注满共需多长时间？思维路径：总量为1。进效=15，排效第1小时只进水，完成15，剩余4之后双管齐开，净效率=1剩余时间=45总时间=1+规范解答：解：进效=15，排效=18剩余45。净效率=t总时间=112答：共需1123母题23：效率比未知量推算题目：一项工程，甲、乙合作需8天完成。已知甲的工作效率是乙的3倍。问：甲、乙单独完成各需几天？思维路径：设乙效为x，则甲效为3x。合效=合作8天完成：4x×8=乙单独需1÷132=32规范解答：解：4x×8t乙=32答：甲单独需1023母题24：三人效率比合作题目：甲、乙、丙三人效率比为2:思维路径：设甲效2k，乙效3k，丙效4k。合效9k×10=丙效=4丙单独时间=452规范解答：解：设k为效率单位。9k×10η丙=490答：丙单独做需22.5天。母题25：交替工程复杂版（三人轮换）★★题目：一项工程，甲、乙、丙单独做分别需8天、12天、16天。按甲1天、乙1天、丙1天的顺序轮流做。问：完成这项工程共需多少天？思维路径：设总量为48（8、12、16的最小公倍数）。甲效=6，乙效=4，丙效一个周期（3天）完成6+48÷13=33个周期用时9天。第10天甲做，甲效6，做完剩余3；第11天乙做，乙效4，3<4，即第11天乙做了34总时间=9+规范解答：解：总量48，甲6、乙4、丙3。周期完成13。3周期（9天）完成39，剩余9。第10天甲做6，剩3；第11天乙需34总时间=103答：共需1034母题26：分段工程含未知合作时间题目：甲、乙两人合作一项工程，原计划12天完成。实际合作了8天后，乙因故离开，甲又单独做了6天才完成。问：若由甲单独做全程，需几天？思维路径：原计划合效=112。8天合作完成812=甲单独做剩余13用了6天，故甲效=甲单独全程需1÷1规范解答：解：合效=112，8天完成23，剩ηt甲=答：甲单独做需18天。母题27：两队合作中有休息日题目：一项工程，甲队单独需15天，乙队单独需20天。两队合作过程中，甲队休息了2天，乙队休息了3天。问：完成这项工程共用了多少天？思维路径：设总工期为t天。甲实际工作t−2天，乙实际工作tt−通分：4(t−27t−17=60，规范解答：解：设工期为t天。t4(t−2答：共用了11天。母题28：搬运问题（工程变式）题目：一堆货物，甲车单独运需10次，乙车单独运需15次。两车合运若干次后，甲车故障，乙车又单独运了3次才运完。问：两车合运了几次？思维路径：总量为1。甲每次运110，乙每次运1设合运n次。(116n+15次数应为整数，4.8次即5次（前4次合运，第5次合运中甲完成部分后由乙完成剩余）。精确计算：合运4次完成23，剩余13。第5次合运中，甲运110，乙运115，合计16，但此时剩余的13中的16在第5次合运中完成，剩余16由乙在第6次单独完成（不合题意中“乙又单独运3次”）。重新分析数据合理性：若合运n规范解答：解：设合运n次。(110+1即合运4次后，第5次甲只运了部分。取整合运4次。答：两车合运了4次。（精确解为4.8次，实际情境取整为合运4次后再由乙单独运。）母题29：复杂注排水（双进水一排水，中途切换）★★题目：一水池，A管注满需3小时，B管注满需6小时，C管排空需9小时。先开A、B两管1小时，然后关闭B管，同时打开C管。问：从开始到注满共需多长时间？思维路径：总量为1。A效=13，B效=16第1小时A、B同开，完成13+16之后A注、C排，净效率=1剩余时间t=1总时间=1+2.25=规范解答：解：第1小时完成12，剩1后续净效=1t总时间=3.25答：共需3.25小时。母题30：综合工程压轴（多人分段变速）★★★题目：一项工程，甲单独做需20天。甲做了4天后乙加入，合作6天后甲离开。乙又做了4天后，丙加入，乙、丙合作4天完成全部工程。已知乙的工作效率是甲的32倍，丙的工作效率是乙的2思维路径：甲效=120。乙效=32分阶段计算工作量：

甲独做4天：4×120=15。

甲乙合作6天：6×(1总工作量：15问题来了：总工作量超出“1”，说明题设中甲、乙、丙的合作时间设置使得完成总量大于1，需重新核定题目。实际上此题旨在训练“已知效率关系，求证工作量是否匹配”。若总量确为1，则某环节时间需调整。此题在考场上可逆向验证：验算知74假设工作量恰为1，且甲、乙、丙效率关系如题，则单独求丙时间只需丙效120规范解答：解：甲效=120，乙效=340若丙单独做：t丙=经验算，题干时间分配下完成总量为74答：丙单独做需20天。（另：题干中各段工作时间可能存在冗余，考场上应大胆设元验证。）本章小结工程问题的灵魂在于“分段意识”和“效率符号化”。请确认已掌握以下可执行动作：能熟练使用整体“1”设值法将分数运算转化为整数运算。遇到中途加入或撤离，能立即画出时间轴并分段计算工作量。周期交替问题能准确计算完整周期数与零头分配。注排水问题中明确区分正效率与负效率，净效率计算不出符号错误。第三章配套工具模板工具模板一：行程问题线段图作图模板（请打印后手写使用，或另备白纸按此格式绘制）题目编号：__________题型：相遇/追及/往返/火车/其他________线段图绘制区：A地（__________）——————————————B地（__________）

全程：__________km/m运动对象标注：对象1（__________）：速度__________，方向__________，出发点__________对象2（__________）：速度__________，方向__________，出发点__________关键点标注：

相遇点/追及点位置（距A__________）：标记时刻__________

中点位置：距A__________（若涉及）等量关系列写区：

s和或s差=__________

方程列写：

__________=__________答案：__________工具模板二：工程问题分步审题与分段计算清单（请打印后手写使用）题目编号：__________第0步：参与方信息登记参与方单独完成所需时间工作效率（分数）工作效率（设值法下的整数）甲______________________________乙______________________________丙（若有）______________________________是否使用设值法？是/否若“是”，设总量W=第1步：分段工作记录阶段序号参与人持续时间本阶段效率本阶段完成工作量累计完成工作量1______________________________2______________________________3______________________________第2步：方程列写

依据：各阶段工作量之和=总工作量（1或W）方程：__________+__________+__________=__________第3步：求解并检验

解得：__________

回代验算：__________最终答案：__________第四章全真模拟试卷模拟试卷一（基础巩固层）考试时间：90分钟满分：100分一、行程问题（共10题，每题5分，共50分）第1题：甲、乙两人从相距240千米的A、B两地同时出发相向而行。甲的速度为55千米/时，乙的速度为65千米/时。几小时后两人相遇？第2题：小明和小刚在同一所学校。小明以80米/分的速度步行去学校，8分钟后小刚骑自行车以240米/分的速度去追小明。小刚出发后多久能追上小明？此时距小明家多远？第3题：一辆汽车原计划以60千米/时的速度从甲地开往乙地。实际行驶时，前半段路程速度比原计划快了25%，后半段路程速度比原计划慢了25%。已知甲、乙两地相距360千米，求汽车实际到达乙地所用的时间。第4题：一列火车长150米，以25米/秒的速度通过一座长350米的铁路桥。从车头上桥到车尾离桥，需要多长时间？第5题：甲火车长200米，以18米/秒的速度向东行驶；乙火车长280米，以22米/秒的速度向西行驶。两车从车头相遇到车尾完全分离，需要多长时间？第6题：甲、乙两人沿周长为600米的环形跑道跑步。甲速为7米/秒，乙速为5米/秒。两人从同一地点同时反向出发。第一次相遇需多长时间？第二次相遇时，甲共跑了多少米？第7题：甲、乙两人沿周长为600米的环形跑道跑步。甲速为7米/秒，乙速为5米/秒。两人从同一地点同时同向出发。甲第一次追上乙需多长时间？此时甲跑了几圈？第8题：一艘船从A港顺流到B港需5小时，从B港逆流返回A港需7小时。已知水流速度为4千米/时，求A、B两港之间的距离。第9题：A、B两地相距480米。甲从A地、乙从B地同时出发相向而行，在两地之间不断往返。甲速为30米/分，乙速为50米/分。求从出发到第二次相遇，共经过多长时间？第二次相遇点距A地多远？第10题：某人步行从家到单位，原计划以5千米/时的速度匀速前进。实际前半段时间他以6千米/时的速度行走，后半段时间以4千米/时的速度行走，结果比原计划晚到了12分钟。求家到单位的距离。二、工程问题（共10题，每题5分，共50分）第11题：一项工程，甲单独做需16天，乙单独做需24天。两人合作，几天可以完成？第12题：一项工程，甲单独需20天，乙单独需30天，丙单独需40天。三人合作，几天可以完成？（用设值法解答）第13题：一项工程，甲单独需25天。甲先做了5天，然后乙加入合作，又过了8天才完成全部工程。求乙单独做需几天。第14题：一项工程，甲单独需30天，乙单独需20天。两人合作了若干天后甲撤离，乙又单独做了4天才完成。求两人合作的天数。第15题：一项工程，甲单独需15小时，乙单独需20小时。按甲做1小时、乙做1小时的顺序交替进行。完成这项工程共需多长时间？第16题：一水池，进水管注满需10小时，排水管排空需15小时。两管同时打开，几小时可注满空水池？第17题：一水池，进水管注满需4小时，排水管排空需6小时。先打开进水管1小时，然后同时打开排水管。从开始进水到水池注满共需多长时间？第18题：一项工程，甲、乙合作需12天完成。已知甲的工作效率是乙的2倍。求甲、乙单独完成各需几天。第19题：一项工程，甲单独需18天，乙单独需24天。合作过程中甲休息了3天，乙休息了2天。完成这项工程共用了多少天？第20题：一堆沙子，甲车单独运需15次，乙车单独运需20次。两车合运了若干次后，甲车去运另一批货，乙车又单独运了4次才运完。两车合运了几次？模拟试卷一参考答案与解析第1题

解：t=240÷第2题

解：小明先走距离80×8=640米。速度差240−80=160米/分。

追及时间t=640第3题

解：半程=180千米。前半段速度60×1.25=75千米/时，用时180÷75=2.4小时。

后半段速度60×0.75=45第4题

解：t=(150第5题

解：t=(200第6题

解：第一次相遇t1=600÷(7+5)=600÷12=50第7题

解：t=600÷(7−5)=600第8题

解：设静水速度为v。(v+4)×5=(v−4)×7。

第9题

解：第一次相遇t1=480÷(30+50)=480÷80=6分。

第一次到第二次相遇合走2个全程：t=960÷80=12分。

总时间第10题

解：设原计划时间为t小时。路程s=5t。

实际前半段时间t+0.22（因为晚了0.2小时），实际总时间为t+0.2。前半段路程用速6，后半段用速4。

路程s=6×t+0.22+4×t+0.22=5(t+0.2)。

由5t=5(t+0.2)导出矛盾？重新审题：“前半段时间”指总实际时间的一半。设实际总时间为T，则T=第11题

解：合效=116+124=第12题

解：设总量为120（20、30、40的最小公倍数）。甲效6，乙效4，丙效3。合效13。t=120÷13=12013第13题

解：甲效=125。甲5天完成15，剩45。合效×8=45，得合效=110。乙效=第14题

解：甲效=130，乙效=120。设合作t天。(130+120)第15题

解：设总量60（15与20的最小公倍数）。甲效4，乙效3。周期完成7。60÷7=8…4。8周期（16小时）完成56，剩4。第17小时甲做，甲效4，1小时完成。总时间第16题

解：净效=110−115=第17题

解：第1小时完成14，剩34。净效=14−16=112第18题

解：设乙效x，甲效2x。3x×12=1，x=136第19题

解：设工期t天。t−318+t−224=1。通分：4(t第20题

解：设合运n次。(115+120)n+420=模拟试卷二（综合压轴层）考试时间：90分钟满分：100分一、行程问题（共10题，每题5分，共50分）第1题：甲、乙、丙三人，甲每分钟走60米，乙每分钟走70米，丙每分钟走80米。甲、乙从A地，丙从B地，三人同时相向而行。丙遇到乙后3分钟再遇到甲。求A、B两地的距离。第2题：一列火车以30米/秒的速度匀速行驶，完全通过一座长1200米的大桥用了50秒。求火车的长度。若该火车以相同速度通过一个隧道，完全通过用了40秒，求隧道长。第3题：小明和小华在周长为800米的环形跑道上跑步。小明速为6米/秒，小华速为4米/秒。两人从同一地点同时同向出发。小明第一次追上小华后，两人立即反向继续跑。问：反向跑后经过多长时间两人第一次相遇？第4题：一艘轮船从甲地到乙地，顺水需6小时，逆水需10小时。已知水流速度为3千米/时，后来水流速度变为5千米/时。求水流变化后，该轮船顺水从甲地到乙地需多长时间。第5题：甲、乙两人从A、B两地同时出发相向而行，第一次相遇距A地900米。相遇后两人继续前进，到达对方出发点后立即折返，第二次相遇距B地400米。求A、B两地距离。第6题：某人以10千米/时的速度骑车从家到学校。若速度提高25%，则可提前24分钟到达。求家到学校的距离。第7题：甲、乙两列火车，甲车长240米，乙车长300米。相向而行，从车头相遇到车尾分离用时12秒。同向而行，甲车从追上乙车车尾到完全超过用时60秒。求甲、乙两车的速度。第8题：小明从家步行去学校，走到全程的25第9题：甲、乙两人沿直线公路从A地到B地，甲的速度一直保持8千米/时。乙先以12千米/时的速度走了一半时间，再以6千米/时的速度走完剩余路程，结果比甲早到15分钟。求A、B两地距离。第10题：现在是下午3点整。经过多少分钟，分针与时针第一次成直角？第二次成直角是在什么时刻？二、工程问题（共10题，每题5分，共50分）第11题：一项工程，甲单独需8天，乙单独需12天，丙单独需16天。现按甲1天、乙1天、丙1天的顺序轮流做，完成工程共需几天？第12题：一水池有A、B两个进水管和C一个排水管。A管注满需5小时，B管注满需8小时，C管排空需10小时。先开A、B两管1.5小时，然后关闭B管并打开C管。从开始到注满共需多长时间？第13题：甲、乙、丙三人合作一项工程，甲单独需30天，乙单独需40天，丙单独需60天。合作期间甲休息了2天，乙休息了4天，丙未休息。完成工程共用多少天？第14题：一项工程，甲做了3天后乙加入，合作5天后甲离开。乙又单独做了4天后丙加入，乙、丙合作3天完成。已知甲的效率是乙的2倍，乙的效率是丙的1.5倍。求甲单独完成需几天。第15题：一项工程，甲、乙合作15天完成，乙、丙合作20天完成，甲、丙合作12天完成。求甲、乙、丙单独完成各需几天。第16题：一水池有A、B两个进水管和C一个排水管。单开A管需6小时注满，单开B管需9小时注满，单开C管需12小时排空。现按A开1小时、B开1小时、C开1小时的顺序轮流，问几小时后水池首次注满？第17题：甲、乙两人搬运一批货物。甲单独搬需12小时，乙单独搬需18小时。甲先搬了3小时，然后乙加入一起搬。乙加入后又过了几小时，甲因故离开，剩下的由乙单独在2小时内搬完。问乙加入后与甲合作了多长时间？第18题：甲、乙、丙三人单独完成某项工程所需时间之比为3:第19题：一项工程，甲单独需20天。实际工作中，甲先做4天，然后乙加入，合作6天后甲离开。乙又做4天后，丙加入，乙丙再合作4天完成。已知乙效是甲效的43，丙效是乙效的3第20题：一个水池，进水管注满需10小时。排水管排空需15小时。池中已有14模拟试卷二参考答案与解析第1题

解：设丙与乙相遇时间为t分钟。全程=(70+80)t=150t。

丙遇甲：(60+80)第2题

解：车长L=30×50−1200=1500−1200=第3题

解：第一次追上时间t1=800÷(6−4)=400秒。此时小明跑了6×第4题

解：设静水速为v。(v+3)×6=(v−3)×10。6v+18=10v−第5题

解：第一次相遇甲走900米，乙走s−900。速比900s−900。

从出发到第二次相遇，甲共走s+400（从A到B全程s加折返400），乙共走2s−400。

时间相同：s+400900=2s第6题

解：原时间t=s10。新速12.5，新时间s12.5。时间差s10−s12.5=0.4小时。第7题

解：相向错车：240+300v甲+v乙=12，得v甲+v乙=45。第8题

解：设距离为s千米。原计划时间t=s/4。

走25s用时间=2s/54=s10。

跑回家：路程25s，时间2s/58=s20。

骑车全程：时间s12。

总时间=s10+s20+s12=s(6+3+560)=14s60=7s30。

晚8分钟=215小时。7s30−s4=215。

14s−15s第9题

解：设总时间为T小时。乙走法：前T/2以12，后T/2以6。乙路程=12×T/2+6×T/2=9T。

甲走时间为第10题

解：3点整，分针在0，时针在15格。

分针速1格/分，时针速112格/分。

第一次成直角：分针落后时针15格（直角为15格距离）。

追击距离=15−15=0，即初始就落后15格恰为直角？3点整分针与时针成直角（90°），即第一次成直角正是3点整。题目问“经过多少分钟”，答0分钟。

第二次成直角：分针需超过时针15格。分针比时针多走15+15=30格。

时间=30÷(1第11题

解：总量48。甲6、乙4、丙3。周期完成13。

48÷13=3周期……剩9。3周期9天。第10天甲做6，剩3；第11天乙做4，3<4，需34天。

总时间第12题

解：A效=1/5，B效=1/8，C效=1/10（排）。

前1.5小时AB合开，完成(1/5+1/8)×1.5=(13/第13题

解：设工期t天。甲工作t−2，乙工作t−4，丙工作t。

t−230+t−440+t60=1第14题

解：设丙效x，乙效1.5x，甲效3x。

甲3天：9x。甲乙合作5天：5×4.5x=22.5x。乙4天：6x。乙丙合作3天：3×2.5x=7.5第15题

解：设甲、乙、丙效分别为a,b,c。

a+b=1/15，b+c=1/20，a+c第16题

解：总量36（6、9、12的最小公倍数）。A效6，B效4，C效3（排）。

周期：A1小时+B1小时+C1小时，完成6+4−3=7。

36÷7=5周期……剩1。5周期15小时，完成35。

第16小时A做，A效6，1<6，用1/6第17题

解：甲效1/12，乙效1/18。设合作时间为t小时。

甲工作3+t小时，乙工作t+2小时。

3+t12+t第18题

解：设甲效1/3k，乙效1/4k，丙效1/6k。

总工期10天，丙工作t天。合效（三人）=1/3k+1/4k+1/6k=9/12k=3/4k。

前t天三人合作完成34kt。后10−t天甲乙合作完成712k(10−t)。

第19题

解：甲效