二阶矩阵与平面向量综合检测

1、综合检测(二)1.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2+y2=1在矩阵A=0;对应的变换下得到曲线F,求F的方程.【解】设P(xo,yo)是椭圆上任意一点，点P(xo,yo)在矩阵A对应的变换下变为点P'(x'o,y'o),则七。卜产，y01b1.yo-yox'o=2xo,xo=,BPIX2V0=W，yo=y，o.又二点P在椭圆上，代入得4X,即x2+y=1.sin对应的变换作用下得到点为 cos a曲线F的方程为x2+y2=1.2.若点A偿,平"矩阵M=|cos"22HsinaB(1,0),求a的化工cos a【解】由题息知I_sin a

2、-sina|2|_?1cos 2ccos a 2 sinsin 什 2 cos a=-20,2COSa=-2,解得二Sina=一2，从而可知，-2kL4,(k&).3.已知直线l与直线3x+5y+ 6 = 0平行，且过点(5,6),求矩阵-151将直5线l变成了什么图形？并写出方程.【解】由已知得直线l的方程为3x+5y45=0,设P(x,y)为l上的任意一点，点P在矩阵对应的变换下对应点P'(x'，y').=X y o1- 5x' =x, ；y7x= x代入 3x+ 5y 45=0,得3x'+25y'45=0,直线l变换成直线3x+25

3、y45=0.13一4,求直线y=2x在矩阵确定的变换作用下得到的图形的表达式.0113【解】设点(x,y)为直线v=2x上的任意一点，其在矩阵J01确定的变换一一，>1X113Hxi,x+3yr作用下得到的点为X，y)，则C=必1K>，即一*y-x，=x+3y,x=x，3y，,所以将其代入v=2x,并整理得2x'7y'y=y,y=y',132x=0,所以直线y=2x在矩阵J01确定的变换作用下得到的图形的表达式是7v=0.5 .切变变换矩阵011巴直线x+y=1变成什么几何图形?【解】设P(x,y)在该变换下的象为P'(x'，y'),

4、则1 1所以切变变换矩阵。1把万1?L产1口故yJ91皿-y一y一y=y,直线x+y=1变成与y轴平行的直线x=1.221a226 .若曲线x+4xy+2y=1在矩阵M=11的作用下变换成曲线x-2y=1,求a、b的值.【解】设(x,y)为曲线x2+4xy+2y2=1上的任意一点，其在矩阵M的作用卜变换成点(x'，y'),则(x',y')在曲线 x2 2y2=1 上,X 111 !yL一 b=x+ ay,= bx+ y,将其代入x2 2y2=1,并整理，得(12b2)x2+(2a1 2b2=1,、，2 一、 2.4b) xy+ (a 2)y = 1,比较系数得2

5、a 4b = 4,2 la2 2 = 2,a = 2, 解得Jb = 0.12 m7.点(2,2x)在旋转变换矩阵|j3-工n的作用下得到点(y,4),求x, y, m, n.【解】因为矩阵厂 虫- 2是旋转变换矩阵,、，31所以m=亍，n = 2.设m=(;,则由题设得-a b= 1,cd=1, 即2a+b=1,2c+d=1,b= - 3, 解得c= - 2,d= - 3.一1/3x=y,x=4a/3,所以Sl解得Sl小+x=4,y=44班.8.二阶矩阵M对应的变换T将点（1,1）,（2,1）均变为点（1,1）.求矩阵M;直线l:2x+3y+1=0在变换T作用下得到什么图形？说明理由.【解】

6、一2-31所以M=231（2）设P（x,y）是l:2x+3y+1=0上任一点P'（x'，y'）是对应的点，则由一2yy 1"3l?uf"2x"3y,-23；y-2x-3yJx，二2x3y,得彳即2x+3y=x=y¥=2x3y,又2x+3y+1=0,所以x=y'=1.故在l在变换T作用下变为点（1,1）.9.求直线y=2x+1绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程.二2也2 -二cos 45sin 45-sin45T|2cos451I也-2"设直线y=2x+1上任意一点为(xo,yo),其在旋转变换作用下

7、得到点(x0,-V2迫一|2一2irxolXolyo)，则厂，12直)oy£22-唳xoyo),o=2(xo+yo),2，xo=2(xo+yo),解得yo=2(xo-yo2,因为点(xo,yo)在直线y=2x+1上，所以2xo+yo1=o,所以2X3"(xo+y'o)?(x'oy'o)i=o,整理得学x'。+警y'oi=o.所以直线v=-2x+1绕原点逆时针旋转45。后所得的直线的方程是当x+y- 1=o.io.如图所示的是一个含有6。°角的菱形ABCD,要使只变换其四个顶点中的两个顶点后，菱形变为正方形，求此变换对应的变换矩阵M.该变换矩阵惟一吗？若不惟一，写出所有满足条件的变换矩阵.【解】由题设知AC：BD=B：1.若只变换A,C两个顶点，则应把A,C两一也，芒0个顶点的横坐标压缩