四川大学结构力学第2章

1、结构力学结构力学（第二版）（第二版）四四 川川 大大 学学 水水 利利 水水 电电 学学 院院 本本 科科 教教 学学主主 编：龙驭球编：龙驭球 包世华包世华授课教师：周授课教师：周 宏宏 伟伟授课对象：农水、热动本科授课对象：农水、热动本科 第二章 结构的几何构造分析1 几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律3 平面杆件体系的计算自由度平面杆件体系的计算自由度 4 在求解器中输入平面结构体系在求解器中输入平面结构体系 5 用求解器进行几何构造分析用求解器进行几何构造分析 6 小结小结 第二章 结构的几何构造分析1 几何构造分析的几

2、个概念几何构造分析的几个概念2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律3 平面杆件体系的计算自由度平面杆件体系的计算自由度 4 在求解器中输入平面结构体系在求解器中输入平面结构体系 5 用求解器进行几何构造分析用求解器进行几何构造分析 6 小结小结 本章就是要从几何学的原理对体系发生运动的可能性进行分析，即体系的几何构造分析，体系的几何构造分析不涉及内力和变形 （1）几何构造分析的目的）几何构造分析的目的 判断体系的属性。不变判断体系的属性。不变? 可变可变? 静定静定? 或超静定或超静定? 及超静定次数。及超静定次数。 （2）几何构造分析的方法）几何构造分析的方法 经典方法经典

3、方法 零载法零载法 计算机方法计算机方法 在体系的几何构造分析中，最基本的规律是在体系的几何构造分析中，最基本的规律是三角形规律，其它规律都是从它派生出来的。三角形规律，其它规律都是从它派生出来的。第二章 结构的几何构造分析（1 1）几何不变体系：）几何不变体系： 在不考虑杆件应变的假定下，体系的位置和形状是在不考虑杆件应变的假定下，体系的位置和形状是不会改变的体系（图不会改变的体系（图1 1）。）。（2 2）几何可变体系：）几何可变体系： 在不考虑杆件应变的假定下，体系的位置和形状是可在不考虑杆件应变的假定下，体系的位置和形状是可以改变的体系（图以改变的体系（图2 2）。）。（图（图2 2）

4、P P（图（图1 1）P P1 1 几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念 几何组成分析的目的：几何组成分析的目的： 判别某一体系是否为几何不变，从而决定它能否作判别某一体系是否为几何不变，从而决定它能否作为结构。为结构。 区别静定结构、超静定结构，从而选定相应计算方区别静定结构、超静定结构，从而选定相应计算方法。法。 搞清结构各部分间的相互关系，以决定合理的计算搞清结构各部分间的相互关系，以决定合理的计算顺序。顺序。1 1 几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念 只有几何不变体系才能作为建筑结构使用！（3 3）自由度：）自由度： 所谓体系的自由度是指体系运动时，可以独所谓体系的自

5、由度是指体系运动时，可以独立改变的几何参数的数目；立改变的几何参数的数目； 即确定体系位置所需独立坐标的数目。即确定体系位置所需独立坐标的数目。 平面内一点个自由度；平面内一点个自由度；xyyx图aX oyyx图b 平面内一刚片个自由度；平面内一刚片个自由度；23 一个体系自由度的个数，等于这个体系运动时可以改变的坐标的数目。1 1 几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念 单链杆：仅在两处与其 它物体用铰相连，不论其形状和铰的位置如何。2314 一根链杆可以减少体系一个自由度，相当于一个约束。561 1、2 2、3 3、4 4是链杆，是链杆，5 5、6 6不是链杆。不是链杆。（4 4）约

6、束：）约束：在体系内部加入的减少自由度的装置。在体系内部加入的减少自由度的装置。1 1 几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念 单铰单铰： 联结联结 两个两个 刚片的铰。刚片的铰。单铰或1个固定铰支座可减少体系两个自由度相当于两个约束。(a)(a) (b)(b) 1 1 几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念 单刚结点： 将两刚片联结成一个整体的结点图示两刚片有六个自由度,1 1个刚节点（单刚节点），或个刚节点（单刚节点），或1 1个连续杆（梁式杆），或个连续杆（梁式杆），或1 1个固定端，相当于个固定端，相当于3 3个约束。个约束。加刚联结后有三个自由度1 1 几何构造分析的几个

7、概念几何构造分析的几个概念 一个体系中有多个约束时，应当分清多余约一个体系中有多个约束时，应当分清多余约束和非多余约束，只有非多余约束才对体系束和非多余约束，只有非多余约束才对体系的自由度有影响。的自由度有影响。（5 5）多余约束：）多余约束：在体系中增加一个约束而不减少自由度的装置。在体系中增加一个约束而不减少自由度的装置。1 1 几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念 图图a图图b本来是几何可变，经微小位移后成为几何不本来是几何可变，经微小位移后成为几何不变的体系称为变的体系称为瞬变体系瞬变体系。可以发生大位移的几何可变体系称为可以发生大位移的几何可变体系称为常变体常变体系系。（6

8、6）瞬变体系）瞬变体系1 1 几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念 图图a图图b（7 7）虚铰（瞬铰）虚铰（瞬铰）连接两个刚片的，不直接相连接的两根单链杆构成的联连接两个刚片的，不直接相连接的两根单链杆构成的联系，叫系，叫虚铰虚铰。虚铰的铰心在两根链杆（延长线）的交点。虚铰的铰心在两根链杆（延长线）的交点上。上。 AO联结两刚片的两根不共线的链杆相当于一个单铰即瞬铰。单铰瞬铰定轴转动绕瞬心转动！1 1 几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念 第二章 结构的几何构造分析1 几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律3 平面杆

9、件体系的计算自由度平面杆件体系的计算自由度 4 在求解器中输入平面结构体系在求解器中输入平面结构体系 5 用求解器进行几何构造分析用求解器进行几何构造分析 6 小结小结 （1 1）三刚片规则）三刚片规则( (基本三角形）基本三角形） 规则规则1: 三个刚片用不在一条直线上的三个铰两两相连，三个刚片用不在一条直线上的三个铰两两相连，组成一几何不变体系，且无多余约束。组成一几何不变体系，且无多余约束。 注意：三铰不能共线。注意：三铰不能共线。 否则，如果三铰在一条直线上则否则，如果三铰在一条直线上则为几何瞬变。为几何瞬变。2 2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律 , 0NF讨论

10、：关于瞬变体系的受力性能讨论：关于瞬变体系的受力性能PF(a)(b)PFABCllNCAFNCBFC2sin20sin2:0:0PPNPNyNNCBNCAxFFFFFFFFFF=2 2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律 规则规则2:2: 二个刚片用既不完全平行，也不完全相交的二个刚片用既不完全平行，也不完全相交的三根链杆相连，组成一几何不变体系，且无多余约束。或三根链杆相连，组成一几何不变体系，且无多余约束。或者，一铰、一链杆相连者，一铰、一链杆相连。 （2） 两刚片规则两刚片规则.123IIIo(a)III(b)2 2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律

11、 IIIIII几何可变几何可变几何瞬变几何瞬变微小运动微小运动2 2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律 （3 3）二元体法则）二元体法则 规则规则3:3:在体系上增加或减去一个二元体，不改变体系在体系上增加或减去一个二元体，不改变体系的属性。的属性。体系体系ABC 实际上，以上两刚片规则、三刚片规则及二元实际上，以上两刚片规则、三刚片规则及二元体法则都同属于一个基本规则：体法则都同属于一个基本规则：铰结的三角形是几铰结的三角形是几何不变体何不变体。因此，几何构造分析的最基本规律是三。因此，几何构造分析的最基本规律是三角形规则。角形规则。2 2 平面几何不变体系的组成规律平面

12、几何不变体系的组成规律 利用基本组成规则，就可对体系进行几何不变性的分析。利用基本组成规则，就可对体系进行几何不变性的分析。在分析过程中应注意：在分析过程中应注意： 如果在分析过程中约束数目足够，布置也合理，则组成几如果在分析过程中约束数目足够，布置也合理，则组成几何不变体系。何不变体系。 如果在分析过程中缺少必要的约束，或约束数目足够，布如果在分析过程中缺少必要的约束，或约束数目足够，布置不合理，则组成几何可变体系或瞬变体系。置不合理，则组成几何可变体系或瞬变体系。构件不能重复使用，如作为约束链杆，就不能再作为刚片或构件不能重复使用，如作为约束链杆，就不能再作为刚片或刚片中的一部分。刚片中的

13、一部分。2 2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律 （a）（b）（c）（e）（d）四个规则可归结为一个三角形法则。四个规则可归结为一个三角形法则。规则规则连接对象连接对象必要约束数必要约束数对约束的布置要求对约束的布置要求一一三刚片六个三铰(单或虚)不共线二两刚片三个链杆不过铰三三链杆不平行也不交于一点四一点一刚片两个两链杆不共线规则一：三刚片以规则一：三刚片以不在一条直线上的三铰不在一条直线上的三铰相联，相联， 组成无多余约束的几何不变体系。组成无多余约束的几何不变体系。规则二：两刚片以一铰及不通过该铰的一根链杆规则二：两刚片以一铰及不通过该铰的一根链杆 相联组成无多余约束

14、的几何不变体系相联组成无多余约束的几何不变体系 。规则三：两刚片以不互相平行，也不相交于一点的三根规则三：两刚片以不互相平行，也不相交于一点的三根 链杆相联，组成无多余约束的几何不变体系。链杆相联，组成无多余约束的几何不变体系。规则四：一点与一刚片用两根不共线的链杆相联，规则四：一点与一刚片用两根不共线的链杆相联， 组成无多余约束的几何不变体系。组成无多余约束的几何不变体系。抛开基础，分析上部，抛开基础，分析上部，去掉二元体后，剩下两个刚片用两根杆相连去掉二元体后，剩下两个刚片用两根杆相连故：该体系为有一个自由度的几何可变体系。故：该体系为有一个自由度的几何可变体系。2 2 平面几何不变体系的

15、组成规律平面几何不变体系的组成规律 例例1 1例例2 2IIIOI,IIOI,IIIOII,III结论：结论：( (a)a)几何不变几何不变. .2 2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律 例3结论:(b).几何瞬变III123o2 2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律 例4结论：三刚片规则， (a)、几何不变体系。 (b)、三铰在一条直线上，瞬变。2 2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律 2 2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律 例例 5 5分两步分析：分两步分析：(展开分析展开分析)1、应用三刚片规则，地基与正方

16、形组成刚片、应用三刚片规则，地基与正方形组成刚片III。2、再应用三刚片规则，整个体系为几何不变体系。、再应用三刚片规则，整个体系为几何不变体系。IIIIIIIIIIIIOI,IIIOII,IIIOI,II2 2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律 例例 5 5IIIIIIIIIIIIOI,IIIOII,IIIOI,II2 2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律 例例 5 5ABCDFE2 2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律 ABCDFEIII2 2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律 ABCDFEIIIOI，IIOI

17、，IIIOII，III2 2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律 结论：几何瞬变体系结论：几何瞬变体系ABCDFEIIIOII，IIIOI，IIIOI，II2 2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律 2 2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律 OI,IIIOI,IIOII,IIIOI,IIOI,IIIOII,IIIIIIIIIIIIIIIOI,IIOI,IIIOII,III结论：由两刚片规则，为几何不变体。结论：由两刚片规则，为几何不变体。ABCacbIIIIIIIIIIIOI,IIOI,IIIOII,III应用三刚片规则应用三刚片规则结论

18、：几何不变体系结论：几何不变体系结论：瞬变体系。结论：瞬变体系。IIIIIIOI，IIOI，IIIOII，IIIABCabcO结论：瞬变体系。结论：瞬变体系。 结论结论: :该体系是几何不变体系有四个该体系是几何不变体系有四个多余约束。多余约束。由基础开始逐件组装由基础开始逐件组装 ABCDEFGH 由基础开始，依次组装梁由基础开始，依次组装梁AB、BCD、加二元体加二元体CEA后为无多余约束的几何不变体系，作为刚片后为无多余约束的几何不变体系，作为刚片，再与刚片再与刚片FGH用交于一点的三根链杆相连，故原体系用交于一点的三根链杆相连，故原体系为为瞬变体系瞬变体系。由基础开始逐件组装由基础开始

19、逐件组装ABCDEFG1 1、去掉二元体，将体系化简单，然后再分析。、去掉二元体，将体系化简单，然后再分析。几种常用的分析途径几种常用的分析途径依次去掉二元体A、B、C、D后，剩下大地。故该体系为无多余约束的几何不变体系。ACBD依次去掉二元体A、B、C、D、E、F、G 后剩下大地，故该体系为几何不变体系且无多余约束。 AB CFD2 2、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片 间用链杆形成的瞬铰相连，而不用单铰相连。间用链杆形成的瞬铰相连，而不用单铰相连。O12O23O13如图示，三刚片用三个不共线的铰相连，故：该体系为无多余约束的

20、几何不变体系。如将基础、ADE、EFC作为刚片，将找不出两两相联的三个铰。A BDECFO23O23O23O13O13O13O12O12O12（,）（，）(,)（,）（，）(,)如图示，三刚片以共线三铰相连几何瞬变体系如图示，三刚片以共线三铰相连几何瞬变体系三刚片以三个无穷远处虚铰相连三刚片以三个无穷远处虚铰相连组成瞬变体系组成瞬变体系三刚片用不共线三铰相连，故无多余约束的几何不变体系。 4 4、由一基本、由一基本刚片开始，逐步刚片开始，逐步增加二元体，扩增加二元体，扩大刚片的范围，大刚片的范围，将体系归结为两将体系归结为两个刚片或三个刚个刚片或三个刚片相连，再用规片相连，再用规则判定。则判定

21、。(,)(,)(,)该体系为无多余约束的几何不变体系。该体系为无多余约束的几何不变体系。抛开基础抛开基础,只分析上部。只分析上部。在体系内确定三个刚片。在体系内确定三个刚片。三刚片用三个不共线的三铰相连。三刚片用三个不共线的三铰相连。有一个多余约束的几何不变体系有一个多余约束的几何不变体系3.3.等价变换等价变换 一个刚片，无论其大小、形状，只要本身没有多余联一个刚片，无论其大小、形状，只要本身没有多余联系，则可在不改变与其它部分联结方式的前提下，用一根系，则可在不改变与其它部分联结方式的前提下，用一根链杆或一铰接三角形代替。链杆或一铰接三角形代替。例15o12o13o23IIIIIIIIII

22、IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIOI,IIOI,IIIOII,III例18DEF例18DEF例18DEFIIIIIIOI,IIOI,IIIOII,III结论结论: :几何不变体系几何不变体系DEFIIIIII例例18例例19例例19例例19例例19IIIIII例例19IIIIIIOI,IIOII,IIIOI,III结论：三铰在一直线上，为几何瞬变体系。结论：三铰在一直线上，为几何瞬变体系。A三个刚片用共点的三个铰相连，三个刚片用共点的三个铰相连， 将虚铰用单铰代替，可见刚片将虚铰用单铰代替，可见刚片、均可绕刚片均可绕刚片上上A的点转动，故该体系为有两个自由度的几何瞬变体系。的点转动，

23、故该体系为有两个自由度的几何瞬变体系。()()()()()()()()()()()()()()() 瞬铰和单铰在分析体系动与不动时是等效的，瞬铰和单铰在分析体系动与不动时是等效的，在确定体系作何种运动时两者不等效的。在确定体系作何种运动时两者不等效的。动画演示54.4.零载法零载法 零载法是将几何构造分析的问题转化为静力零载法是将几何构造分析的问题转化为静力计算问题，它为研究计算问题，它为研究W=0W=0的复杂体系提供了新的的复杂体系提供了新的有效途径。有效途径。0, 0222:0=XXXGABCDEFHXX-X-X000XXG大家一起来大家一起来III结论结论: : 几何不变几何不变, ,有

24、一个多余约束有一个多余约束. . ( )(,)(,)(,)(, )(, )(, )(,)(,)瞬变体系有一个多余约束的几何不变体系大家一起来ABCDEFGH (,)(, )(, ) 无多余约束的几何不变体系无多余约束的几何不变体系瞬变体系(, )(, )(, ) 大家一起来 无多余约束的几何不变体系变体系 大家一起来 结论结论: 由三刚片规则由三刚片规则, 几何不变几何不变,且无多且无多余约束余约束.IIIIIIIIIIII大家一起来GFEDCBAH二元体撤去二元体撤去基础基础 刚片刚片EAD 刚片刚片DCG 刚片刚片E（、）D（ 、）（ 、）二元体二元体加上加上结论：几何不变且无多余约束的体

25、系结论：几何不变且无多余约束的体系大家一起来ABCDEFG基础基础 刚片刚片刚片刚片DCFG 刚片刚片A（、）C（ 、）（ 、）结论：几何不变且无多余约束的体系结论：几何不变且无多余约束的体系大家一起来ABCDMFGHEIJKL基础基础 刚片刚片刚片刚片刚片刚片A（、）C（ 、）B（ 、）结论：几何不变且无多余约束的体系结论：几何不变且无多余约束的体系再依次加上二元体再依次加上二元体K-D-L、D-M-F、M-G-C、G-H-C、H-I-J 大家一起来21HGFEDCBA34基础连同基础连同GH 刚片刚片刚片刚片G（、）链杆链杆2刚片刚片BCE 刚片刚片刚片刚片和刚片和刚片由链杆由链杆1、EF

26、和和CD连接连接刚片刚片AB 刚片刚片B（、）链杆链杆4链杆链杆3为多余约束为多余约束结论：几何不变有结论：几何不变有1个多余约束的体系个多余约束的体系大家一起来刚片刚片刚片刚片刚片刚片O1（、）O3（ 、）O2（ 、）二元体加上二元体加上刚片刚片 刚片刚片O4（ 、 ）多余约束多余约束刚片刚片 刚片刚片 刚片刚片O5（ 、 ）多余约束多余约束刚片刚片O6（ 、 ）结论：几何不变有结论：几何不变有2个多余约束的体系个多余约束的体系大家一起来12AB1 2AB12AB(a)(b)(c)基础刚片基础刚片刚片刚片刚片刚片B（ 、）A（、）（ 、）结论：结论：如果如果AB连线和链杆连线和链杆1、2平平

27、行，则为瞬变体系，否则为几何不变行，则为瞬变体系，否则为几何不变且无多余约束的体系。且无多余约束的体系。基础刚片基础刚片刚片刚片刚片刚片A（、）B（ 、）（ 、）结论：为几何不变且无结论：为几何不变且无多余约束的体系。多余约束的体系。基础刚片基础刚片刚片刚片刚片刚片（、）（ 、）（ 、）结论：瞬变体系。结论：瞬变体系。大家一起来基础刚片基础刚片刚片刚片刚片刚片O1（、）O3（ 、）O2（ 、）结论：为几何不变且无多余约束的体系。结论：为几何不变且无多余约束的体系。大家一起来课堂练习课堂练习1、2、1234567654321FDECBA3.4.1.1.654321FDECBAD（、）E（ 、 ）

28、（、）结论：几何不变且无多余约束的体系结论：几何不变且无多余约束的体系3. 先用二元体法则，先用二元体法则，再两刚片规则（用一再两刚片规则（用一铰一杆）铰一杆）,几何不变有几何不变有4个多余约束。个多余约束。III4. 结论结论: 由三刚片规则由三刚片规则, 几何不变几何不变.且无多余且无多余约束约束.IIIIIII第二章 结构的几何构造分析1 几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律3 平面杆件体系的计算自由度平面杆件体系的计算自由度 4 在求解器中输入平面结构体系在求解器中输入平面结构体系 5 用求解器进行几何构造分析用求解器进行

29、几何构造分析 6 小结小结 一个平面体系通常都是由若干部件（刚片或结点）一个平面体系通常都是由若干部件（刚片或结点）加入一些约束组成。按照各部件都是自由的情况，加入一些约束组成。按照各部件都是自由的情况， 算算出各部件自由度总数，出各部件自由度总数， 再算出所加入的约束总数，再算出所加入的约束总数， 将两者的差值定义为：将两者的差值定义为： 体系的计算自由度体系的计算自由度W。即：。即：W=（各部件自由度总数）（全部约束总数）（各部件自由度总数）（全部约束总数） 如刚片数如刚片数m，单铰数，单铰数n，支承链杆数，支承链杆数r，则，则W=3m （2n+r）（21）注意：注意：1、复连接要换算成单

30、连接。复连接要换算成单连接。3 3 平面杆件体系的计算自由度平面杆件体系的计算自由度连四刚片 n=3连三刚片 n=2连两刚片 n=1 2、刚接在一起的各刚片作为一大刚片。如带有、刚接在一起的各刚片作为一大刚片。如带有a个无铰封闭框，约束数应加个无铰封闭框，约束数应加 3a 个。个。 3、铰支座、定向支座相当于两个支承链杆，、铰支座、定向支座相当于两个支承链杆， 固定固定端相当于三个支承链杆。端相当于三个支承链杆。3 3 平面杆件体系的计算自由度平面杆件体系的计算自由度m=1，a=1，n=0 ，r=4+3210则：W=3m2n r 3a =3110 31 10m=7，n=9，r=3W=3m2nr =37293