计量经济学第二章：单方程多元线性计量经济模型

1、计量经济学第二章：单方程多元线性计量经济模型计量经济学-第二章：单方程多元线性计量经济模型第一节第一节 单方程多元线性计量经济模型概述单方程多元线性计量经济模型概述 一、模型的一般形式一、模型的一般形式 单方程多元线性计量经济模型：描述经济因素之间的经济关系单方程多元线性计量经济模型：描述经济因素之间的经济关系（单向因果关系）（单向因果关系） 多元线性计量经济模型的一般形式为：多元线性计量经济模型的一般形式为：随机误差项：随机误差项：U U解释变量：解释变量：kXXX,21 其中：被解释变量：其中：被解释变量：Y Y ；结构参数（解释变量系数）：结构参数（解释变量系数）：k,10（k+1 k+

2、1 个）个） 给定给定 n n 组样本，每一组样本得到一个方程，即：组样本，每一组样本得到一个方程，即：1121211101uxxxykknknknnnkkuxxxyuxxxy221102222212102 矩阵表示为：矩阵表示为： 二、模型的特征分析二、模型的特征分析 UXXXYkk22110 1. 1.计量经济模型中为什么引入随机误差项计量经济模型中为什么引入随机误差项 模型与现实的偏差及参数估计形成的偏差模型与现实的偏差及参数估计形成的偏差 偏差主要指：变量误差、样本误差、模型误差、其它随机偏差偏差主要指：变量误差、样本误差、模型误差、其它随机偏差 2. 2.变量之间呈现线性关系变量之间

3、呈现线性关系 现实问题中某些计量经济模型也可能会描述成非线性模型！现实问题中某些计量经济模型也可能会描述成非线性模型！ 怎么处理？怎么处理？可线性化、不可线性化可线性化、不可线性化 三、模型的基本假设三、模型的基本假设 基本假设条件为：基本假设条件为： 随机误差项具有随机误差项具有0 0均值和同方差，即均值和同方差，即 随机误差项在不同样本点之间是独立的，不存在序列随机误差项在不同样本点之间是独立的，不存在序列相关，即相关，即n,21 对于对于 ，每两两之间存在协方差，每两两之间存在协方差，则随机误差项的协方差矩阵为：则随机误差项的协方差矩阵为：关于随机误差项的协方差矩阵：关于随机误差项的协方

4、差矩阵：关于随机误差项的协方差矩阵：关于随机误差项的协方差矩阵： 解释变量是确定性变量，解释变量之间不相关，解释变量是确定性变量，解释变量之间不相关，随机误差项随机误差项与解释变量之间不相关与解释变量之间不相关 随机误差项服从正态分布，即随机误差项服从正态分布，即第二节第二节 多元线性模型参数估计原理多元线性模型参数估计原理 选择适当的方法对模型中的参数进行估计是计量经济学方法选择适当的方法对模型中的参数进行估计是计量经济学方法最基本最重要的一步。最基本最重要的一步。 参数估计的基本原理：普通最小二乘原理（残差平方和最小原参数估计的基本原理：普通最小二乘原理（残差平方和最小原理）。理）。 一、

5、普通最小二乘法的基本原理一、普通最小二乘法的基本原理 首先以一元线性模型为例介绍普通最小二乘法首先以一元线性模型为例介绍普通最小二乘法(OLS)(OLS)的的基本原理。设模型为：基本原理。设模型为：对于变量对于变量X X，Y Y各取得各取得 n n 个样本，即：个样本，即：nxxx,21nyyy,21UXY10YXYX这条线叫什么？这条线叫什么？怎么表示出来？怎么表示出来？与总体模型的对比！与总体模型的对比！YXXY10),(66yx6e被解释变量样本值与估计值的差距，即残差：被解释变量样本值与估计值的差距，即残差： 显然，对于显然，对于 n 组样本，其组样本，其残差可用列向量表示为：残差可用

6、列向量表示为：残差平方和可表示为：残差平方和可表示为：如何评价回归方程的好坏呢：残差平方和最小！如何评价回归方程的好坏呢：残差平方和最小！为么不是残差和最小？为么不是残差和最小？得：得：解得一元线性模型参数估计式为：解得一元线性模型参数估计式为：若使若使Q Q达到最小，分别对参数求偏导数，即：达到最小，分别对参数求偏导数，即： 二、普通最小二乘法的正规方程组二、普通最小二乘法的正规方程组 对于一元线性模型对于一元线性模型 正规方程组也可表示为：正规方程组也可表示为： 利用普通最小二乘原理，对残差平方和利用普通最小二乘原理，对残差平方和Q Q求偏导数可以求偏导数可以得出以下一组重要的方程：正规方

7、程组得出以下一组重要的方程：正规方程组对于二元模型，其模型及对应的正规方程组为：对于二元模型，其模型及对应的正规方程组为： 则二元线性模型参数估计式为：则二元线性模型参数估计式为： 对于多元模型，其正规方程组应为：对于多元模型，其正规方程组应为：UXXXYkk22110多元线性计量经济模型的正规方程组还可以表示为：多元线性计量经济模型的正规方程组还可以表示为：第三节第三节 多元线性计量经济模型的参数估计多元线性计量经济模型的参数估计 一、结构参数的估计一、结构参数的估计 一般地，对于多元线性计量经济模型为：一般地，对于多元线性计量经济模型为： Y = XB + U Y = XB + U 则结构

8、参数估计式为：则结构参数估计式为：nyyyY:21knnnkkxxxxxxxxxX212221212111111 例例2-1 2-1 住房销售问题（样本数据如表住房销售问题（样本数据如表2-12-1）被解释变量均值被解释变量均值被解释变量方差被解释变量方差AIC AIC 准则准则SIC SIC 准则准则HQC HQC 准则准则DW DW 统计量统计量5.对数似然估计值对数似然估计值3.回归标准差回归标准差变量变量系数系数标准差标准差t t统计量统计量伴随概率伴随概率通过正规方程组导出参数估计式通过正规方程组导出参数估计式0eX通用性：有无常数项及任意多个解释变量通用性：有无常数项及任意多个解释

9、变量nyyyY:21knnnkkxxxxxxxxxX212221212111111YXXXB)(1通过残差平方和求导得出参数估计式通过残差平方和求导得出参数估计式 二、二、U U 的分布参数估计的分布参数估计证明：证明：MUUtrEeeE )()1(212121222knXXXXtrnXXXXtrtrIXXXXItrMtrIMtrUUMEtrUMUEtrUMUtrEuuuuuu 显然，当显然，当 满足据无偏性要求满足据无偏性要求 三、样本容量问题及估计值的性质三、样本容量问题及估计值的性质 样本容量问题样本容量问题 从检验效果角度（分布变化缓慢，检验有效）从检验效果角度（分布变化缓慢，检验有效

10、） 一般认为一般认为3030个以上样本能够满足要求。个以上样本能够满足要求。 估计值的性质包括如下几方面：线性性、无偏性、最估计值的性质包括如下几方面：线性性、无偏性、最小方差性。小方差性。 线性性：估计值与被解释变量呈现线性关系线性性：估计值与被解释变量呈现线性关系 无偏性：估计值的期望等于待估参数无偏性：估计值的期望等于待估参数 最小方差性：各种估计方法中方差最小最小方差性：各种估计方法中方差最小第四节第四节 统计检验与置信区间统计检验与置信区间 拟合优度：回归方程对样本观测值的拟合程度拟合优度：回归方程对样本观测值的拟合程度 方程的显著性检验：总体的线性关系是否成立方程的显著性检验：总体

11、的线性关系是否成立 解释变量的显著性检验：解释变量的重要性解释变量的显著性检验：解释变量的重要性原假设：原假设：0j原假设：原假设： 伴随概率：伴随概率：取多大的显著性水平呢？取多大的显著性水平呢？ “伴随概率伴随概率”也称为也称为 P值，值， P值是衡量犯第值是衡量犯第类错误类错误的的概率（错误地拒绝原假设），概率（错误地拒绝原假设），P P值越大错误的可能性越大；值越大错误的可能性越大；P P值越小拒值越小拒绝原假设的正确性越大。绝原假设的正确性越大。 P P ，拒绝原假设（，拒绝原假设（P P值比较小，拒绝原假设）值比较小，拒绝原假设） 一、拟合优度检验一、拟合优度检验 1. 1.拟合优

12、度的含义拟合优度的含义 模型是否能比较好地解释因果关系模型是否能比较好地解释因果关系 2.2.几个概念几个概念 总离差平方和：总离差平方和： 回归平方和：回归平方和： 残差平方和：残差平方和：2)(yyTSSi2)(iiyyRSS2)(yyESSiESSRSSTSS TSS = RSS + ESS ?若模型为：若模型为：若模型为：若模型为：UXXYkk11 3. 3.可决可决系数系数 反映解释变量反映解释变量对被解释变量的解释能力；或者说已经被解对被解释变量的解释能力；或者说已经被解释的部分占总的比重释的部分占总的比重 可决系数越接近于可决系数越接近于1 1，回归方程的拟合程度就越高。，回归方

13、程的拟合程度就越高。 4. 4.拟合优度拟合优度 对可决系数所进行的调整，其目的在于避免对可决系数所进行的调整，其目的在于避免“解释变量越多，解释变量越多，拟合程度越高的错觉拟合程度越高的错觉” 二、回归方程的显著性检验二、回归方程的显著性检验 1. 1.什么是回归方程的显著性检验什么是回归方程的显著性检验 拟合优度检验与回归方程显著性检验的异同拟合优度检验与回归方程显著性检验的异同 2.2.检验的方法检验的方法 根据根据TSSTSS、ESSESS与与RSSRSS分布的特征：分布的特征： 因此，根据因此，根据F F分布可知：分布可知： 查查F F分布表得到临界值，若分布表得到临界值，若拒绝原假

14、设，判断回归方程总体线性关系显著成立。拒绝原假设，判断回归方程总体线性关系显著成立。原假设：原假设： 三、解释变量的显著性检验三、解释变量的显著性检验 解释变量的显著性，指对被解释变量的影响是否重要的问题。解释变量的显著性，指对被解释变量的影响是否重要的问题。 1.1.解释变量显著性检验的原理解释变量显著性检验的原理 解释变量的显著性就是等价于假设解释变量的显著性就是等价于假设j j=0=0是否成立。是否成立。 2.2.解释变量显著性检验的方法解释变量显著性检验的方法 首先分析参数估计值的分布首先分析参数估计值的分布因此，构造统计量因此，构造统计量t t0j原假设：原假设：查查t t分布表得临

15、界值。若分布表得临界值。若拒绝原假设，该参数所对应的解释变量是显著的。拒绝原假设，该参数所对应的解释变量是显著的。 四、模型的优化与调整四、模型的优化与调整 模型的基本要求：参数经济意义合理、拟合优度高、解模型的基本要求：参数经济意义合理、拟合优度高、解释变量显著释变量显著 若模型拟合优度不高，首先考虑调整模型的形式若模型拟合优度不高，首先考虑调整模型的形式 若解释变量不显著或者其参数的经济意义不合理，其处若解释变量不显著或者其参数的经济意义不合理，其处理方法主要有：理方法主要有： 1.1.调整解释变量的设定调整解释变量的设定 2.2.扩大样本的容量扩大样本的容量 3.3.删除某解释变量删除某

16、解释变量 4.4.重新选择影响因素重新选择影响因素 几点经验：几点经验： 1.1.若删除解释变量，一次只能删除一个经济意义不合理或若删除解释变量，一次只能删除一个经济意义不合理或者不显著的解释变量；者不显著的解释变量； 2.2.对于不显著的常数项是否删除需要慎重。对于不显著的常数项是否删除需要慎重。拟合程度拟合程度参数经济意义参数经济意义解释变量显著性解释变量显著性确定研究对象确定研究对象选择影响因素选择影响因素参数估计参数估计模型确定及应用模型确定及应用整理样本数据整理样本数据模型设定模型设定协整检验协整检验模型检验模型检验序列相关：序列相关：AR(1)异方差：权重异方差：权重 五、参数估计

17、值的置信区间五、参数估计值的置信区间 依据样本得到的参数估计值是均值，那么其波动范围有多大呢？依据样本得到的参数估计值是均值，那么其波动范围有多大呢？ 那么那么t t值在值在(-,+)(-,+)区间的概率为区间的概率为1 1，用数学方法表示为：，用数学方法表示为：P(-t+)=1 P(-t+)=1 所以在所以在1-1-水平下水平下j j的置信区间为：的置信区间为： 注：置信区间与估计值、标准差及置信水平有关注：置信区间与估计值、标准差及置信水平有关第五节第五节 单方程计量经济模型预测单方程计量经济模型预测 预测是计量经济模型的重要作用之一，所谓预测就是给定预测是计量经济模型的重要作用之一，所谓预测就是给定解释变量的值（预测期的期望值），通过回归模型推测被解释解释变量的值（预测期的期望值），通过回归模型推测被解释变量的预测值。变量的预测值。 1.1.预测值和预测区间预测值和预测区间 根据如下回归方程确定预测值：根据如下回归方程确定预测值：则，预测区间为：则，预测区间为： 注：关于被解释变量的估计值与预测值注