测量误差理论与数据处理

1、与数据处理Harbin Institute of Technology误差理论与数据处理误差理论与数据处理不确定度的估计与合成不确定度的估计与合成与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度的估计与合成不确定度的估计与合成不确定度及其表征参数不确定度的估计标准差不确定度的合成扩展不确定度的合成算术平均值不确定度的合成按t分布评定扩展不确定度不确定度的自由度及其估计误差间的相关关系及相关系数的估计与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度及其表征参数不确定度及其表征参数不确定度及其表征参数不确定度的概念 经过修正的测量结果仍有

2、一定的误差。误差的或大或小，或正或负，其取值具有一定的分散性，即不确定性。 在多次重复测量中，可看出测量结果将在某一范围内波动，从而展示了这种不确定性。测量结果可能的取值范围越大，测量结果的可靠性越低；测量结果可能的取值范围越小，测量结果的可靠性越高。与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度及其表征参数不确定度及其表征参数 测量的不确定度测量的不确定度表示由于存在测量误差而是被测量值不能肯定的程度，它的大小表征测量结果的可信程度。测量不确定度的分类： 按误差性质分类，分为系统分量的不确定度和随机分量的不确定度两类。 按不确定度数值的估计方法分类，分为用统计

3、方法估计的不确定度和用其他方法估计的不确定度两类。与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度及其表征参数不确定度及其表征参数测量的不确定度与测量误差的区别 测量不确定度表示由于存在测量误差而使被测量值不能肯定的程度，它是表征误差对测量结果影响程度的参数，对于某一确定的测量方法来说，不确定度具有确定的值。 测量误差是指被测量的测得值与其相应的真值之差，测量误差取值具有不确定性并服从一定的分布。与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度及其表征参数不确定度及其表征参数不确定度的表征参数方差 或标准差 可作为测量不确定性的表征参

4、数。 反映了测量结果可能取值的分散程度。 或 较大，则误差分布曲线较宽，表明测量结果可能的取值范围较宽，应认为该测量精度较低，或可靠性较差。 或 较小，则误差分布曲线高而窄，表明测量结果取值不确定的程度小而精度高。DDD 与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度及其表征参数不确定度及其表征参数 实践上则使用估计的标准差（子样标准差） 作为不确定度的表征参数，常称为标准不确定度，用 表示，即 测量不确定度也可用扩展不确定度表示： 式中: 为包含因子，是相对应于置信概率 的置信系数，置信概率 为测量数据包含于子区间 的概率。susukuUk1PP),(kuku

5、与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度及其表征参数不确定度及其表征参数当 值可信度较高时，由选定的 值按正态分布确定 值（当被测量误差服从正态分布时）当 值可信度较低时（由小子样获得 值），则应按 分布确定 值。不确定度也可以以相对量的形式给出，如 ， kukutuxuxPxUx与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度及其表征参数不确定度及其表征参数注意事项：不确定度的合成结果不仅与各分量的不确定度有关，而且还与各误差间的相关性有关。用统计的方法给出不确定度时，因为所依据的测量数据的数目是有限的，所以给出的方差或标准

6、差仅是其估计量（子样方差或子样标准差）。自由度是指所给的方差（或标准差）的估计量中所含独立变量的个数。自由度越大，所给估计方差越可靠。当按t分布估计扩展不确定度时，自由度是必须涉及的关键参数。与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度的估计不确定度的估计不确定度的估计 标准差是不确定度的基本表征参数，我们可以用不同的方法给出标准差，这些方法可以归结为：用统计的方法估计不确定度。用其他方法估计不确定度。与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度的估计不确定度的估计用统计的方法估计不确定度 概念：用统计的方法估计不确定度是指依

7、据一定数量的测量数据，按数理统计的方法给出测量的不确定度。 基础：该方法以统计试验和统计理论为基础。所给结果具有明确的概率意义和一定的客观性 应用范围：原则上，对于测量的随机误差的不确定度总可以用统计的方法作出估计。与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度的估计不确定度的估计 注意事项： 不确定度统计估计都是根据有限次测量的数据所给出的精度参数，它们是子样的方差，标准差或极限误差等，是总体相应参数的估计量。 所依据的数据越少，给出的不确定度估计的可信程度就越差，所依据的数据越多，给出的不确定度的可信程度就越高。由于实际条件的限制，测量数据较少，所以给出的不

8、确定度的可信程度是有限的，其有效数字通常只取12位。与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度的估计不确定度的估计若对被测量进行等精度测量，用统计方法估计测量数据的标准差的方法有以下几种矩法贝塞尔（Bessel)公式极差法最大误差法别捷尔斯（ ）公式epceT 与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度的估计不确定度的估计矩法按定义，方差为：对于随机误差 ，其数学期望为： 因此，随机误差 的方差为： 22( )()( )DEfd (51) 2( )( )DEE ( )0E 与数据处理Harbin Institute of

9、Technology不确定度的估计不确定度的估计 理论上：为计算测量的方差或标准差，在一恒定的条件下对某量 进行多次的重复测量，这里所进行的测量是等精度测量，得 个测量数据 ，则由方差的定义（式 ）测量的方差可估计为： 标准差的估计量为： 式中： -第 次测量误差， ； -测量次数。Xn12,.nxxx) 15( 2211niisn (52) 211niisn (53) i iiixX n与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度的估计不确定度的估计实践中：因为在一般的测量中，被测量的真值或相对真值 是未知的，即 在通常情况下是计算不出来的，在实际计算中，我

10、们用残差 代替真误差 按照式 ，则有： 或 Xi ivi (53) 221niivsn )45( 21niivsn )55( 与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度的估计不确定度的估计估计的有偏性设有残差 式中 被测量真值； 测量结果 的误差， ； 算术平均值的误差， ；则方差的数学期望为： ()()iiiixvxxxXxXXi x ixXxii Xxx 2221111111() (2)ninnnniiiixxxiiiivEEEnnn 与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度的估计不确定度的估计 上式= 又因为： 所

11、以： )()(1212xniinEEn 22)( iEnExx222)( 2121 nnnvEnii )65( 与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度的估计不确定度的估计贝塞尔公式由 可得： 可见， 是 的无偏估计量，因此取方差的估计量为： 而标准差的估计量为： （贝塞尔公式） )65( 2121 nvEnii21(1)niivn 2 1122 nvsnii)85( 112 nvsnii)95( 与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度的估计不确定度的估计按式 给出的 是 的无偏估计量，但按贝塞尔公式给出的 则是有偏

12、的，因为估计量 是随机变量，开方后产生系统偏差，即求得的 相对 有系统偏差，其值偏小。 的无偏形式表示成如下形式： 式中， 为修正系数，对于正态分布的情形，其之列于表 中。见下页表:)85( 2s2 sss 11112 nvMsMsniinn)105( nM115 与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度的估计不确定度的估计n2345678910151.2531.1281.0851.0641.0511.0421.0361.0321.0281.018nM12 3 45 6 7 8 9n2025304050607080901001.0131.0111.0091

13、.0061.0051.0041.0041.0031.0031.0025nM1与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度的估计不确定度的估计由上表可知，有偏性只有在测量数据较少时才有较明显的影响。由于测量数据总是有限的，所以按贝塞尔公式给出的结果具有随机性。由此造成的影响可用估计量 的标准差 来评定， 可估计为 ： 当 很小时，所得估计量 的分散性是很大的；当 增大时，这一分散性减小。总的来说，影响不能忽略，即一般所给的 并不精密。所给的标准差估计量 的有效数字一般只取一位或二位就够了。 sssss)1(2 nsss)115( nsnss与数据处理Harbin

14、 Institute of Technology不确定度的估计不确定度的估计极差法定义：设按某一测量方法对量 进行 次等精度测量，得测量数据 ，取其中最大值 及最小值 做统计量（极差) 测量的标准差可按下式估计 式中 为系数，对于正态分布的测量误差，其 值按 值由表 查得（该表见下页）。 Xnnxxx,.,21maxxminxminmaxxxWn )125( nndWs )135( ndndn25 与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度的估计不确定度的估计nnnn21.1280.886282.8470.3512143.4070.2935404.3220.

15、231431.6930.590892.9700.3367153.4720.2880454.4150.226542.0590.4857103.0780.3249203.7350.2677504.5980.222352.3260.4299113.1730.3152253.9310.25441005.0250.19962.5340.3946123.2580.3069304.0850.24482005.4950.18272.7040.3698133.3360.2998354.2130.23744005.8820.170ndndnd1ndnd1ndnd1nd1与数据处理Harbin Institute

16、of Technology不确定度的估计不确定度的估计 适用范围：测量数据较少的情况。极差法给出的结果为标准差的无偏估计，在测量数据的数目较少时，其估计精度比贝塞尔公式给出的结果略高一些。与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度的估计不确定度的估计最大误差法定义：设测量误差服从正态分布，现对量 进行多次独立的重复测量，得测量数据 ， 若已知被测量的真值 （或相对真值），则可得测量数据的真误差 ，测量的标准差可估计为： （理论上） 式中： 绝对值最大的误差； 系数，其值可由表 查得。 Xnxxx,.,21Xn ,.,21max1inKs )145( maxi

17、 nK135 与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度的估计不确定度的估计但被测量的真值或相对真值常是未知的，所以实际上应按残差计算标准差，取 ，则： （实际上）式中 绝对值最大的残差； 系数，其值按 值由表 查得。 xxvi 2max1invKs )155( maxiv nK1n35 表35 n12345678910152025301.250.880.750.680.640.610.580.560.550.530.490.460.440.431.771.020.830.740.680.640.610.590.570.510.480.460.44nK1 n

18、K1与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度的估计不确定度的估计适用范围及特点：用最大误差法估计标准方法简便，所求得的标准差 为无偏估计量，在测得的数据较少（约 时），这一估计量有一定精度，因而有一定使用价值。特别是在一次性试验中，不可能按贝塞尔公式给出标准差，这时只能用最大误差法作出估计。这是最大误差法的突出特点。s10 n与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度的估计不确定度的估计例 、 对某量的测量数据分别为 和 ，经较为精确的检定，其结果为 ，试评定 和 的测量精度。解 检定结果较为准确，故可认为其结果为相对真

19、值，则 、 所获得结果的误差分别为 用最大误差法计算相应的标准差 故 的结果远较 的结果精度高。 15 AB5286. 55302. 55298. 5ABAB0012. 05298. 55286. 5 XxAA 0004. 05298. 55302. 5 XxBB 0015. 00012. 025. 11 AnAKs 0005. 00004. 025. 11 BnBKs BA与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度的估计不确定度的估计别捷尔斯（别捷尔斯（ ）公式）公式定义：设测量误差服从正态分布，若对某量 进行多次重复测量（独立地），得 个测量数据 ，求出

20、其相应的残差 ，则测量的标准差可按下式估计 这就是计算标准差的别捷尔斯公式，其简化式为 XepceT nnxxx,.,21nvvv,.,21)1(21 nnvsnii )1(253. 11 nnvsnii)165( (517) 与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度的估计不确定度的估计 特点：别捷尔斯公式所给结果为标准差的无偏估计，其精度与贝塞尔公式相近。与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度的估计不确定度的估计例 已知某测量方法的测量误差服从正态分布，现用该方法测量某量 共 次，得测量数据 （单位略）如表 所示，

21、使用各种方法求测量的标准差。解 测量数据的算术平均值为 由此可求得残差，如表所示，则标准差按不同的公式分别计算如下（为区分其效果，有效数字都取三位）：25 Lil45 5758. 41 nllnii10123456789104.5754.5734.5784.5764.5744.5794.5764.5744.5774.576-0.8-2.82.20.2-1.83.20.2-1.81.20.20.647.844.840.043.2410.240.043.241.440.04iil310 iv610 iv5758. 4 l4.141 niiv6 .3112 niiv与数据处理Harbin Insti

22、tute of Technology不确定度的估计不确定度的估计 按矩法计算 按贝塞尔公式计算 按别捷尔斯公式计算 36121078. 110106 .31 nvsnii)1() 2()3(36121087. 1110106 .311 nvsnii3311090. 1)110(10104 .14253. 1)1(253. 1 nnvsnii与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度的估计不确定度的估计 按极差法计算 按最大误差法计算 )5(331095. 1078. 3106 nndWs331max1082. 1102 . 357. 01 niinvKs)4

23、(与数据处理Harbin Institute of Technology不确定度的估计不确定度的估计用其他方法估计不确定度 概念：当误差因素的标准差无法用统计的方法给出时，就需要借助其他的方法，在详细研究测量过程的基础上，按误差的作用机理来确定标准差，这就是非统计的方法。 适用范围：误差因素的标准差无法用统计的方法给出，特别是对某些系统性误差因素。 注意：按非统计的方法给出不确定度估计并没有固定的模式和规则化的方法，应针对具体的测量的问题去研究。与数据处理Harbin Institute of Technology标准差不确定度的合成标准差不确定度的合成标准差不确定度的合成各误差分量相应的不确

24、定度合成为测量结果的总不确定度时，不应再按线性关系叠加，而是采用方差求和的方法，并且还考虑到各误差分量的相关关系。标准不确定度合成的基本关系测量结果的总误差 应为各项原始误差 的线性和，即 若各项原始误差 均为随机误差，则总误差 也为随机误差。上式即为随机变量之和。根据随机变量方差的性质，线性和的方差为：y nxxx ,.,21 niiiyxa1 nxxx ,.,21与数据处理Harbin Institute of Technology标准差不确定度的合成标准差不确定度的合成（线性和方差） 式中 的方差； 分别为 的方差 分别为 的传递系数 误差 与 的协方差（相关矩）。以标准差的符号代入，得

25、方差合成的表达式：而标准差的合成关系式为 ninlkkllkiiDaaxDayD1122)()( )( yD y )(),.(),(21nxDxDxD nxxx ,.,21naaa,.,21nxxx ,.,21klDkx lx lkllkkklniiiaaa 21222 nilkllkkkliiaaa1222 )185( 与数据处理Harbin Institute of Technology标准差不确定度的合成标准差不确定度的合成式 可写成式中 的标准差； 的标准差， 误差 与 的相关系数； 反映误差间相关关系的相关项。其中，相关项为 ，相关系数为 ，式中 为协方差（相关矩）。 niiiRa1

26、22 y i ix kl kx lx R lkllkkklaaR 2)185( lkklklD klD;,.,2 , 1ni 与数据处理Harbin Institute of Technology标准差不确定度的合成标准差不确定度的合成关于式 的讨论：式 即为： 即相关项 反映了各项误差间的线性关联对标准差合成的影响。误差间具有正相关关系时，其相互间的抵偿性减弱，此时，误差间的相关系数为正值，合成的总标准差偏大。反之，误差间具有负相关关系时，抵偿性增强，合成总标准差偏小。 nilkllkkkliiaaa1222 niiiRa122 )185( )185( R与数据处理Harbin Instit

27、ute of Technology标准差不确定度的合成标准差不确定度的合成当误差间具有最强的正相关关系时，相关系数为1，合成的标准差最大。若各项误差间均满足这一条件，即 ，则式 可化为：当误差间互不相关时，相关系数 ，则相关项为 ，式 变为如下形式： niiinilkllkkiiaaaa1122)( )205( 1 kl )185( 0 kl 0 niiia12)( )215( )185( 与数据处理Harbin Institute of Technology标准差不确定度的合成标准差不确定度的合成以上各式中 与 都为总体参数，而实践上给出的都是子样参数，以上各式应以子样参数带入。以标准不确定

28、度 代 ，估计的相关系数 代 ，即得合成标准不确定度为：或写成)225( )215( u r nilkllkkkliiuauaruau122)( niiiRuau12)(与数据处理Harbin Institute of Technology标准差不确定度的合成标准差不确定度的合成上式中 的子样标准不确定度， ； 的传递函数。其中相关项 而相关系数估计量式中， 为估计的协方差。iuix iisu iaix lkllkkkluauarR2)235( lkklkluuur )245( klu与数据处理Harbin Institute of Technology标准差不确定度的合成标准差不确定度的合成

29、讨论：当全部相关系数 ，则 当各项误差互不相关，全部相关系数 ，即 则有 0 kl niiiuau12)(0 R)265( 1 klr niiinilkllkkiiuauauauau1122)()255( 与数据处理Harbin Institute of Technology标差准不确定度的合成标差准不确定度的合成 在实际中，各误差量之间互不相关的情形是常能得到满足或近似满足的，因此式 是最常用的公式。令 ，式 可写为： )265( iiciuau )265( niciuu12)275( 与数据处理Harbin Institute of Technology标准差不确定度的合成标准差不确定度的

30、合成系统分量标准不确定度的合成 不确定的系统误差也以其不确定度来评定。 由于系统误差的取值具有不确定性，所以多个不同的这类误差进行叠加时具有随机误差那样的抵偿性，其相应的不确定度分量的合成也采取向随机误差那样的方差相加的方法。 若给定这类误差分量相应的各标准不确定度，应按式 至 合成总的标准不确定度 。(522) (527) 与数据处理Harbin Institute of Technology标准差不确定度的合成标准差不确定度的合成随机分量与系统分量标准不确定度的合成考虑到不确定系统误差的不确定性，不确定系统误差的标准不确定度与随机误差的标准不确定度也应按方差求和的方法进行合成，一般可认为不

31、确定系统误差与随机误差是不相关的，则合成的标准不确定度应为：式中 随机误差的总标准不确定度； 系统误差的总标准不确定度。22sruuu )285( rusu与数据处理Harbin Institute of Technology标准差不确定度的合成标准差不确定度的合成有 项随机误差分量，其标准不确定度分别为 有 项系统误差分量，其标准不确定度分别为 ，则合成的标准差应为：式中 相应于各随机误差的传递系数； 相应于各系统误差的传递系数； 随机误差相关项； 系统误差相关项。 nimisrsjsfririRRuauau1122)()()295( siarRsRrianrnrruuu,.,21msmss

32、uuu,.,21与数据处理Harbin Institute of Technology标准差不确定度的合成标准差不确定度的合成注：当各项误差因素都互不相关时，则有 或写成 nimisjsjririuauau1122)()()305( mniiiuau12)()315( 与数据处理Harbin Institute of Technology标准差不确定度的合成标准差不确定度的合成例 启动或止动秒表的标准不确定度 求由于秒表启、止误差引起的计时标准不确定度。解 设启动和制动的误差互不相关，则所计时段的标准不确定度按式 可得：35 su03. 00 ssuuu043. 003. 003. 02220

33、20 )265( niiiuau12)(与数据处理Harbin Institute of Technology标准差不确定度的合成标准差不确定度的合成例 如图所示，为确定孔心的坐标位置 ，在万能工具显微镜上，分别测量孔的二切线位置 和 ，则孔心坐标按下式计算：若 与 的测量瞄准不确定度 求所给坐标 的标准不确定度。45 x1x2x1x2xmmuu0005. 021 x)(2121xxx 与数据处理Harbin Institute of Technology标准差不确定度的合成标准差不确定度的合成25 解 由测量方程式 可知： 设测量的瞄准误差 与 互不相关。 则由式 ，给出坐标 的标准不确定度

34、为)(2121xxx )265( xmmmmuuu4222221105 . 3)0005. 021()0005. 021()21()21( 1x 2x 121122xxx与数据处理Harbin Institute of Technology标准不确定度的合成标准不确定度的合成10.082.120.05130.021.540.04250.101 例 某测量方法的各项标 准不确定度分量及相应 的传递参数、相关系数列 于表中计算测量的总标准 不确定度（单位略）解 按式 计算测量的总标准不确定度，将表中数据带入式中，可得iiuiaklr4 . 012 r2 . 034 r55 nilkllkkklii

35、uauauau122)( 23. 0)(2)()()()()(443334221112255444233222211 uauaruauaruauauauaua)225( 与数据处理Harbin Institute of Technology扩展不确定度的合成扩展不确定度的合成扩展不确定度的合成法则测量的各项误差相应的不确定度分量若表达为扩展不确定度 ，则将各扩展不确定度分量合成可得总扩展不确定度。设合成的总标准不确定度为 ，若选定了相应于一定置信概率的置信系数 ，则测量的总扩展不确定度应为 ，若将合成的标准不确定度 的表达式 代入上式，则有iiiukU nilkllkkkliiuauaruak

36、U122)(ukkuU u(525) 与数据处理Harbin Institute of Technology若给定各项误差的扩展不确定度 及相应的包含因子（置信系数） 则相应的各标准不确定度可表示为：将其代入总扩展不确定度的表达式，则有： )325( nUUU,.,21 niiiinilklllkkkkliiiRkUakKUaKUarkUakU1212)(2)(nnnkUukUukUu ,.,222111nkkk,.,21扩展不确定度的合成扩展不确定度的合成与数据处理Harbin Institute of Technology扩展不确定度的合成扩展不确定度的合成上式中，相关项 以扩展不确定度的

37、形式表示为：关于式 的注意事项：一般来说，影响测量结果的各项误差分量可能具有不同的分布，因此相应的置信系数 也各不相同。由这些不同分布的误差分量综合所得的测量总误差则不服从正态分布，很难准确地确定其置信系数。而按标准差合成不确定度时，不需考虑误差的分布。RlllkkkklkUakUarR 2)335( )325( nkkk,.,21与数据处理Harbin Institute of Technology在实际计算中，多数误差因素服从正态分布，非正态分布的误差因素所占的比重较小，此时总误差接近于正态分布， 值取正态分布时的值；在误差数目 较大时，总误差也接近正态分布，置信系数也可按正态分布确定。有

38、关式 的讨论当各项误差 都服从正态分布时，合成的总误差 也服从正态分布，所以总误差的置信系数 和各误差分量的置信系数都相同，即 ， 扩展不确定度合成公式可化为kn扩展不确定度的合成扩展不确定度的合成(532) nxxx ,.,21 niixy1 knkkkk 21与数据处理Harbin Institute of Technology扩展不确定度的合成扩展不确定度的合成式中：在各项误差服从正态分布情况下，特别当 时，式 可化为： )365( niiinilkLlkkkliiRUaUaUaUaU1212)(2)( )345( lkllkkklUaUarR21 klr niiiUaU1)355( 5

39、34 与数据处理Harbin Institute of Technology扩展不确定度的合成扩展不确定度的合成当各项误差分量服从正态分布，互不相关，即 时，式 化为若将各原始误差的扩展不确定度乘以传递系数折合至最后结果，即 在这种情况下，讨论分以下三种情况：0 klr niiiUaU12)()375( nnnUaUUaUUaU ,.,222111 534 与数据处理Harbin Institute of Technology当各项误差都鼓从正态分布（ ）时，有当各项误差都服从正态分布，且有强正相关关系时（ ） ，有当各项误差都服从正态分布，且互不相关 时，有 niiUU1 niiUU12)4

40、05( 1 klr(0)klr )395( nkkkk 21 nilklkkliUUrUU12)385( 扩展不确定度的合成扩展不确定度的合成与数据处理Harbin Institute of Technology扩展不确定度的合成扩展不确定度的合成系统分量扩展不确定度的合成对于不确定的系统误差，其扩展不确定度的合成可直接用“方和根”法。其扩展不确定度的合成直接套用式 ，式 ，式 ，式 。 考虑到不确定的系统误差因素间也有像随机误差间那种不确定的关系，相互间有一定的抵偿性，某些文献上提出“绝对和”法合成极限误差。 )325( )345( )365( )375( 与数据处理Harbin Insti

41、tute of Technology扩展不确定度的合成扩展不确定度的合成 “绝对和“法合成极限误差设有 项不确定的系统误差因素，其极限误差分别为 ，折合到最后结果的极限误差为： 则按下式合成总的极限误差： “绝对和“法合成极限误差的不足概率意义含混不清，得到的结果往往偏大，推荐使用“方和根”法n ,.,21mmmaaa ,.,222111 nii1m与数据处理Harbin Institute of Technology扩展不确定度的合成扩展不确定度的合成随机分量与系统分量不确定度的合成设有随机误差分量 ，相应的扩展不确定度为 ，不确定的系统误差分量 ，相应的扩展不确定度为 ，则总误差 的扩展不

42、确定度应为若认为 与 都服从正态分布或接近正态分布，则 有 与 由相应的分量合成而得，故上式又可写成 rx rUsx sUsrxxy 22 ssrrkUkUkU)415( 22srUUU srkkk nimjsjsjririRUaUaU112)()()435( rx sx )425( rUsU与数据处理Harbin Institute of Technology扩展不确定度的合成扩展不确定度的合成在式 中， 随机误差分量的扩展不确定度及其传递系数 不确定的系统误差分量的扩展不确定度及其传递系数， 反映误差间的相关关系的相关项。当各误差因素间互不相关时，有 ，于是，式 化为或是式中 随机的或系统

43、的扩展不确定度， 的传递系数，)435( ririaU ,;,.,2 , 1ni sjsjaU ,;,.,2 , 1mj R0 iR)435( nimjsjsjririUaUaU1122)()()445( nmiiiUaU12)(iU;,.,2 , 1nmi iaiU)455( 与数据处理Harbin Institute of Technology扩展不确定度的合成扩展不确定度的合成当将各扩展不确定度折合至测量结果时，即 ，则上式即式 可写成对于单次测量结果，当测量误差服从正态分布，且互不相关时，不论是随机误差还是系统误差其扩展不确定度一律按统一方式合成。 iiiUaU nmiiUU12)46

44、5( )455( 与数据处理Harbin Institute of Technology扩展不确定度的合成扩展不确定度的合成 例 三块量块研合在一起，求组合尺寸的扩展不确定度，已知第一块与第二块的扩展不确定度为 ，第三块得的扩展不确定度为 。解 分析：组合尺寸的误差应是三块量块检定误差的叠加结果。量块的中心长度误差是由检定方法带来的，一般用扩展不确定度表征。以量块的扩展不确定度的大小来划分量块的等别。按等别使用时，量块组合尺寸的扩展不确定度应是三块量块中心长度检定扩展不确定度的合成结果。显然，它们的传递系数都为 。 m 5 . 0m 6 . 0mmUUUU 93. 06 . 05 . 05 .

45、 0222232221 1与数据处理Harbin Institute of Technology扩展不确定度的合成扩展不确定度的合成例 用万能工具显微镜测量 长的丝杠螺距，采用分段累积法测量。试分析万能工具显微镜刻尺误差的影响。解 万能工具显微镜毫米刻尺长 ，需累积测量 次，丝杆长度应为显然，测量结果 引入 次刻尺误差，即而刻尺误差是不确定的系统误差，在 次累积测量中其值应固定不变，即所有测量误差 间具有强正相关关系，相关系数 。若 刻尺的累积误差的扩展不确定度为丝杠螺距测量的累积扩展不确定度为 m1mml200 54321lllllL L554321lllllL 55il 1 rmmUl00

46、3. 0 mmmmUUULLL015. 0003. 05551 mm200与数据处理Harbin Institute of Technology扩展不确定度的合成扩展不确定度的合成 例 如左图所示，测得 与 ，可按图示 几何关系求得 值。设测得 ， ，测量的扩展不确定度分别为 ， ，求 只及其扩展不确定度 。解 由几何关系得根据测量的实际情况，可认为 与 的测量误差服从正态分布且互不相关，故 的扩展不确定度计算如下： h2435 ml62.48 1 UmUl05. 0 hhUmtgmltgh12.34243562.48 lhmmtgUlUtgUaUaUlllh06. 0)1091. 21243

47、5sec62.48()05. 02435()sec()()()(242222222 l与数据处理Harbin Institute of Technology算术平均值不确定度的合成算术平均值不确定度的合成按算术平均原理，多次重复测量的结果应取算术平均值作为最后结果，以下分别按标准不确定度和扩展不确定度讨论这一结果的不确定度合成。算术平均值的标准不确定度的合成对某量 进行多次等精度的重复测量，得测量结果 测量结果的算术平均值为 测量结果的总误差 包括：随机误差分量 。系统误差分量 。X,.,21Nxxxx sx rx NiixNx11与数据处理Harbin Institute of Techno

48、logy算术平均值不确定度的合成算术平均值不确定度的合成对于测量的随机误差分量 若：包含 项随机误差 。随机误差相应的标准不确定度分别为 。相应的传递系数分别为 。则相应于随机误差分量 的标准不确定度为： 次等精度重复测量数据 的算术平均值 的随机误差分量的标准不确定度为： rx nirririrRuau12)(rnrruuu,.,21 nirrirircrRuaNNuu12)(1rnrraaa,.,21Nrnrr ,.,21rx Nxxx,.,21 niixNx11n)475( )485( 与数据处理Harbin Institute of Technology算术平均值不确定度的合成算术平均

49、值不确定度的合成对于测量的不确定系统误差分量 ，若：包含 项不确定系统误差 。相应的标准不确定度分别为 。相应的传递系数分别为 。则测量的不确定系统误差分量 的标准不确定度为 sx msmss ,.,21smssuuu,.,21smssaaa,.,21 mjssjsjsRuau12)()495( sx 与数据处理Harbin Institute of Technology算术平均值不确定度的合成算术平均值不确定度的合成 是不确定的系统误差，因此对于等精度的次重复测量数据 ，该误差分量 是不变的，所以，测量数据的算术平均值也含有同一误差 。相应于该系统误差的算术平均值的标准不确定度分量仍然为 。

50、Nxxx,.,21sx sx sx N NiixNx11su与数据处理Harbin Institute of Technology算术平均值不确定度的合成算术平均值不确定度的合成综上所述， 个测量数据 的算术平均值的合成总标准不确定度可表达为：式中: 算术平均值相应的测量数据数目； 测量的总标准不确定度的随机分量， 测量的总标准不确定度的系统分量； NNxxx,.,21221sruuNu Nrusu nirririrRuau12)( mjssjsjsRuau12)()505( 与数据处理Harbin Institute of Technology算术平均值不确定度的合成算术平均值不确定度的合成

51、当测量的各项误差互不相关时：关于算术平均值的标准不确定度合成的三点总结：对测量数据取平均值时，随机误差具有抵偿性；不确定的系统误差没有抵偿性。在合成中，随机误差的标准不确定度分量应除以 。在合成中，不确定系统误差的标准不确定度分量与测量数据的该项标准不确定度分量完全相同。 nimjsjsjririuauaNu1122)()(1)515( N与数据处理Harbin Institute of Technology算术平均值不确定度的合成算术平均值不确定度的合成算术平均值的扩展不确定度的合成当给定测量的各扩展不确定分量时，按扩展不确定度的合成关系合成算术平均值的不确定度。算术平均值的扩展不确定度为：

52、因为：所以： 221sruuNu 221sruuNkkuU kuU 与数据处理Harbin Institute of Technology算术平均值不确定度的合成算术平均值不确定度的合成设：测量的总随机误差分量相应的扩展不确定度为 包含因子（置信系数）为 ；测量的总不确定的系统误差分量相应的扩展不确定度为 ，包含因子（置信系数）为 。则：将上两式带入则：rrrukU sUrUsksssukU 22)(1 ssrrkUkUNkU)525( rk221sruuNkkuU 与数据处理Harbin Institute of Technology算术平均值不确定度的合成算术平均值不确定度的合成当误差分量

53、服从正态分布或近似正态分布时，则有：于是，式 可化为：扩展不确定度分量 与 按下式合成：得：221srUUNU )535( srkkk rUsU nirririrRUaU12)( 212)(jssjsjsRUaU niiinilkLlkkkliiRUaUaUaUaU1212)(2)( )525( 与数据处理Harbin Institute of Technology算术平均值不确定度的合成算术平均值不确定度的合成若各误差间互不相关，即 和 时，则扩展不确定度的合成关系可写为：上式是经常使用的，使用时测量误差满足两点要求：测量误差满足或近似满足正态分布；测量误差互不相关。0 rR0 sR nim

54、jsjsjririUaUaNU1122)()(1)545( 与数据处理Harbin Institute of Technology算术平均值不确定度的合成算术平均值不确定度的合成算术平均值的扩展不确定度的合成计算结果与以下六点因素有关： 各项误差不确定度分量的表征参数及其大小； 各项误差的性质，误差随机的还是系统的； 各项误差的分布； 各项误差之间的相关关系； 各项误差的传递系数，传递系数取决于测量方法及测量函数式； 重复测量的次数；与数据处理Harbin Institute of Technology算术平均值不确定度的合成算术平均值不确定度的合成例 对某质量 进行四次重复测量，所得数据分别

55、为 ， ， ， ，已知测量的系统误差为 ，测量的扩展不确定度分量及其相应的传递系数分别列入表 中，给出质量 的最可信赖值及其扩展不确定度。解 计算测量结果的算术平均值对所的结果进行修正，即得质量的最可信赖值。 MMgm41.821 gm38.822 gm36.823 gm44.824 gm13. 0 65 Mgggggmmmmm40.82)44.8236.8238.8241.82(41)(414321 gggmmM53.82)13. 0(40.82 与数据处理Harbin Institute of Technology算术平均值不确定度的合成算术平均值不确定度的合成 518622)()(41i

56、iiiiiUaUaU 合成其扩展不确定度由公式得： 将左表中的数据相应 代入，计算如下： gg07. 0)03. 01()04. 01()02. 05 . 0()05. 01()01. 06 . 2()03. 05 . 1()06. 01()02. 01(4122222222 )(gUi扩展不确定度传递系数随机分量系统分量10.02120.06130.031.542.650.050.01160.020.570.04180.031i与数据处理Harbin Institute of Technology按按 分布评定扩展不确定度分布评定扩展不确定度引入分布评定扩展不确定度的原因评定扩展不确定度，在

57、按公式 计算时，以子样获得的标准差估计量 代替 对评定的影响。只按正态分布确定置信系数 时对扩展不确定度评定的影响。引入 分布的评定扩展不确定度的优越性tk kU s 与数据处理Harbin Institute of Technology按按 分布评定扩展不确定度分布评定扩展不确定度 分布被测量 服从正态分布，其数学期望为 ，标准差为 ，即服从 。 的 个测量值 的平均值 服从正态分布 ，即若以有限的 次测量的标准差 代替总体分布的 ，则变量 服从自由度 的 分布。tx ),( Nxnix niixnx11),(nN )1 , 0( Nnx ns nsxt 1 n t与数据处理Harbin I

58、nstitute of Technology按按 分布评定扩展不确定度分布评定扩展不确定度自由度为 的 分布概率分布密度函数为：式中 为伽玛函数。由标准不确定度计算扩展不确定度扩展不确定度用于评定被测参数的优点：直观，便于使用 。当各不确定度分量有较大子样获得，有较高可靠性，将以扩展不确定度表示的各分量直接合成得到总扩展不确定度。扩展不确定度的包含因子 按正态分布取约定的固定值。 2)1(212)21(),( tntP)565( kt1 n t与数据处理Harbin Institute of Technology按按 分布评定扩展不确定度分布评定扩展不确定度对于小子样估计的不确定度分量，其可靠

59、性差，若仍按正态分布取固定的 值，会使扩展不确定度一如较大的误差，给出的扩展不确定度的可信程度降低，对于小子样估计的不确定度，合称为总扩展不确定度时，应按 分布确定 值。 变量落于区间 的概率可写为积分式按给定的 值，可由通常的 分布数表查得临界值 。t),(aatt 1),(2)(0tdttftttP t ,kktt与数据处理Harbin Institute of Technology按按 分布评定扩展不确定度分布评定扩展不确定度由式 可得：对于单次测量值 可相应有：式中 为测量结果 的标准差。令 ，则 应视为相应于置信概率 的扩展不确定度 ，有：当已知标准差 ，并按选定的置信概率 查得值，

60、就可按上式求得相应置信概率的扩展不确定度。 xnts/nsxt xts)575( )585( sx tt x 1PstUP t)555( xPU)595( s 1P与数据处理Harbin Institute of Technology按按 分布评定扩展不确定度分布评定扩展不确定度按 分布评定扩展不确定度的优点按此种方法给出的扩展不确定度具有确定的置信概率，而与估计标准 的可靠性无关，与按正态分布给出的扩展不确定度不同，即这种方法克服了估计标准差 可靠性的影响。按这种方法给出的结果具有确定的概率意义，其数只具有一致性，可比性。ttss与数据处理Harbin Institute of Techno