椭圆型偏微分方程1

1、1偏微分方程教程第六章 椭圆型方程21 1 调和函数调和函数 【知识点提示知识点提示】Green公式，基本解，调和函数，调和函数的基本性质。【重、难点提示重、难点提示】 利用Green公式导出基本积分公式，进而研究调和函数的基本性质。 【教学目的教学目的】掌握调和函数的定义和性质。31.1.1.1.GreenGreen公式公式 散度定理：散度定理： 设 是 n维空间中以足够光滑的曲面所围成的有界连通区域,n是曲面的外单位法向. 若函数 12()inP x xx(1 2)in 在闭区域 上连续, 在 内有一阶的连续偏导数, 则 111cos(),nniniiiiiPdxdxPn x dSx (1

2、.1) 其中 cos()in x表示曲面 的外单位法向 n 与 ix轴的方向余弦, dS是 上的面积元素. 4Green公式的推导： 设函数 12()nu x xx和 12()nv xxx在 内有连续的二阶偏导数. 在公式(1.1)中令1 2iivPuinx 得到 111cos()nnniiiiiivvudxdxun x dSxxx (1.2)(1.2)可改写成为 1iinnxxivuvdu v dudSn (1.3) 5uv若将(1.3)中的和 互相对换,又得 1iinnxxiuvudv u dvdSn (1.4) 我们把(1.3)与(1.4)都称作第一第一Green公式公式. 若将(1.3

3、)与(1.4)相减,则得 ()nnvuu v v u duvdSnn (1.5) 我们把(1.5)称为第二第二Green公式公式. 1.2. 调和函数与基本解调和函数与基本解 定义定义 6.1 对于函数 12()nu x xx,如果它在 n维空间 nR的有界区域内有直到二阶的连续偏导数,且在 内满足Laplace方程： 61 12 20n nnx xx xx xuuuu (1.6) 则称 u在区域 内是调和函数调和函数. 如果 0(0)nu, 则称 在区域 u内是下调和下调和(上调和上调和)函数函数. 如果 是无界区域,则除上面的要求外,还应要求当点 12()nP x xx趋于无穷远时, 函数

4、 u一致趋于零.即对于任意小的正数 ,存在正数 A,使当点 P与坐标原点的距离 rA时, 总有 ( )u P 按照这个定义,有时我们把Laplace方程(1.6)也称作调和方程调和方程. 调和方程的基本解调和方程的基本解 我们仅考虑三维空间和二维空间的情形. 7首先我们考虑三维的情形. 用 ()x y z 表示三维空间中的点 123()x xx改写 三维空间的调和方程 为球坐标形式. 设球坐标变换为 000sincossinsincos.xxryyrzzr则(1.6)(取3n )可化为 22322222111()(sin)0sinsinuuuurrrrrr (1.7) 由(1.7)可以看出,方

5、程(1.6)的球对称解是满足以 r为自变量的常微分方程221()0urrrr8其通解可写为 12cucr这里 1c2c是任意常数. 所以函数 , 1ur是一个球对称特解, 从而推得22200011()()()rx xy yz z在任一不包含点 0000()P x y z的区域内是调和的, 它在点 0P处有奇性. 称函数 22200011()()()rx xy yz z 为三维Laplace方程(1.6)的基本解基本解 9 注注 基本解在 000()()x y zxy z 时关于 ()x y z 或 000()xy z都是调和且无穷次可微. 函数其次, 考虑二维Laplace方程 20 xxyy

6、uuu在极坐标变换 00cossinxxryyr下它可化为 222211()0uuurr rrr (1.8) 二维Laplace方程的基本解 1lnr 定理定理 6.1 设函数 ()u x y z 在有界区域 内二阶连续可微, 在 上连续且有连续的一阶偏导数, 则当点 0000()P xy z时, 有 10301111()( )44uuu PudSdr nn rr(1.9) 其中 222000()()()rxxyyzzn是边界曲面 的外单位法向, dS是曲面 上的面积单元, d是体积单元. 0PKK证证 以 为中心 为半径作球使表示该球的球面,于是在区域 Ku1vr上,函数和 都满足第二Gre

7、en公式的条件,代入公式(1.5)得331111( )( ),Kuuu dudSrrn rrn (1.10) 1rK31( )0r因为在区域内是调和函数, 所以有. 另外边界 上任一点的外法线方向实际上是从该点沿着半径指向球心 0P的方向, 所以在 上有 11221111( )( )n rr rr 从而得到在上的积分为 211( )1144()uudSn rrnuudSdSnuun其中 uunuun和分别是函数 和 在 球面 上的平均值.于是(1.10)可写成3111( )4() .KuuududSurn rrnn 因为 u及 un在 上连续，所以 un关于 一致有界, 且当 0时,有 0()

8、uu P 0unK ,12于是由上式即得 0311111()( )44uu PudSudrnn rr定理证毕. 今后, 我们将公式(1.9)称为三维空间中的基本积分公式基本积分公式. 定理定理 6.2 设函数 ()u x y在有界区域 内二阶连续可微， 在 上连续且有连续的一阶偏导数，则当点 000()P xy时有 0211111()lnlnln22uu Pudludrnnrr(1.11) 其中 dl表示 上的线元素, d是 上的面积元素. 1.3. 调和函数的基本性质调和函数的基本性质 性质性质 6.1 设 ()u x y z 是有界区域 内的调和函数, 且在 上有连续的一阶偏导数,则 13

9、0.udSn(1.12) 证证 利用第二Green公式,在(1.5)中取 1v u,取 为所给的调和函数,由此性质可得出, Laplace方程的第二边就可得到(1.12). 值问题30 ().ux y zun 有解的必要条件是函数 满足 0.dS性质性质 6.2 设 ()u x y z 是有界区域 内的调和函数,且在闭区域 上有连续的一阶偏导数,则在 内的任一点 0000()P x y z处有 140111()( )4uu PudSrnn r(1.13) 证证 利用基本积分公式(1.9)即得. 类似地,对于二维空间的情形,我们可以利用(1.11)得到 0111()ln(ln)2uu Pudlr

10、nnr(1.14) 其中 是平面上有界区域 的边界. 性质性质 6.3 (平均值定理平均值定理) 设 ()u x y z 是区域 内的调和函数, 0000()P x y z 是 内的 任一点以, 0P为心 R为半径作球 RK只要球 RK连同其边界 R包含在 内,则有公式 021()4Ru PudSR(1.15) 15 证证 将公式(1.13)应用于球面 R上,得到 0111()( )4Ruu PudSrnn r这里 rR,故由性质6.1知上式右端第一项的积分值为零,在球面上的外法线方向与半径的方向一致,于是 又因为2111( )( )RRn rr rR 所以有 021()4Ru PudSR 我

11、们把调和函数的这一性质称为平均值定理平均值定理, 公式(1.15)16称为平均值公式平均值公式, 即调和函数在球心处的值等于它在球面上的平均值. 注注1 对区域 内的下调和(上调和)函数 u, 我们有 002211()()44RRu PudSu PudSRR(1.17) 性质性质 6.4 (强极值原理强极值原理) 假设不恒为常数的函数 ()u x y z 在有界区域 ,内调和且在 上连续, 则它在 上的最大值和最小值只能在的边界 上达到. 证证 用反证法. 假设调和函数 ()u x y z 在 上的最大值不在 上达到, 那么它必在 内的某一点 0000()P xy z达到, 记 0()u PM

12、当然 M也是 u在 上的最大值. 17以 0P为心 R为半径作球 RK 使 RK完全包含于 内, 记 RK的球面为 RS,可以证明,在RS上有 uM事实上,若函数 u在 RSMRS上某一点的值小于, 则由连续性知, 上必可找到此 在球面点的一个充分小的邻域, 在此邻域内有 uM, 于是在 RS上成立不等式 221144RRSSudSMdSMRR但由平均值公式(1.15),有 021( )4RSudSu PMR这就发生了矛盾. 所以在球面 RS上,必须有 uM18同理可证, 在任一以 0P为心, ()R 为半径的球面 S上, 也有 uM. 因此,在整个球RK上,有 ()u x y zM 下面证明

13、对 内的所有点,都有 uM. 为此在 内任取一点 ()P x y z , 由于 是区域, 所以可用完全位于 l0PP内的折线 将点 和连结起来, ld设 与边界 的最短距离为, 于是函数 u0P2dR 1RKK在以为心为半径的球上, Ml1K1S恒等于, 若 与球的球面 相交于 1P点, 显然, 在以 1P为心 2d为半径的球 2K上, 有 uM照此作下去,可用有限个球 .12nK KK将折线 l完全覆盖, 而且19使nPK, 因为在每个球上都有 uM, 所以 ( )u PM 由点 P的任意性,就可得到在整个区域上, 有 ()u x y zM 这和函数 u在 上不恒等于常数的假设相矛盾. 因此 u不能在的内部取得它的最大值. 对于最小值的情形, 由 u的最小值就是 u的最大值, 而 u也是调和函数,从而推得函数 u也不能在 的内部取得它的最小值. 定理证毕.推论推论 6.1 (调和函数的比较原理调和函数的比较原理) 设