信号第三章傅里叶变换

1、第三章第三章 傅里叶变换傅里叶变换3.1、引言3.2、周期信号的傅里叶级数分析3.3、典型周期信号的傅里叶级数3.4、非周期信号的傅里叶变换3.5、典型非周期信号的傅里叶变换3.6、冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换3.7、傅里叶变换的基本性质3.8、卷积特性（卷积定理）3.9、周期信号的傅里叶变换3.10、抽样信号的傅里叶变换3.11、抽样定理重点：重点：周期信号和非周期信号频谱的概念及特点；周期信号和非周期信号频谱的概念及特点；非周期信号的傅里叶变换的计算；非周期信号的傅里叶变换的计算；常见非周期信号的频谱；常见非周期信号的频谱；掌握傅里叶变换的性质，并能灵活利用性质求非周期信掌握傅里叶变换的

2、性质，并能灵活利用性质求非周期信号的傅里叶变换。号的傅里叶变换。抽样定理。抽样定理。难点：难点：信号频谱概念的建立；信号频谱概念的建立；灵活利用性质求非周期信号的傅里叶变换；灵活利用性质求非周期信号的傅里叶变换；抽样定理。抽样定理。 重点和难点傅里叶级数分析傅里叶级数分析3.2典型周期信号典型周期信号的傅里叶级数的傅里叶级数3.3周期信号的周期信号的傅里叶变换傅里叶变换3.9非周期信号非周期信号的频域分析的频域分析周期信号周期信号的频域分析的频域分析傅里叶变换傅里叶变换3.4典型非周期信号典型非周期信号的傅里叶变换的傅里叶变换3.5抽样定理抽样定理3.11抽样信号的抽样信号的傅里叶变换傅里叶变

3、换3.10卷积特性卷积特性3.8傅里叶变换傅里叶变换的性质的性质3.7抽样信号抽样信号的频域分析的频域分析冲激和阶跃信号冲激和阶跃信号的傅里叶变换的傅里叶变换3.6光谱光谱傅里叶傅里叶分析分析0a11cos()at11sin()bt21cos(2)at21sin(2)bt1cos()nan t1sin()nbn t2E2E21T21Tt)(tf频谱0111( )cos()sin()nnnf taan tbn t18221822年年, ,法国数学家傅里叶指出法国数学家傅里叶指出一个任意的周一个任意的周期函数都可以分解为无穷多个不同频率正弦信期函数都可以分解为无穷多个不同频率正弦信号的和号的和，这

4、就是，这就是傅里叶级数傅里叶级数。求解傅里叶系数的过程就称做傅里叶变换。傅求解傅里叶系数的过程就称做傅里叶变换。傅里叶级数和傅里叶变换统称为里叶级数和傅里叶变换统称为傅里叶分析或谐傅里叶分析或谐波分析波分析。 傅里叶分析傅里叶分析方法相当于光谱分析中的方法相当于光谱分析中的三棱镜三棱镜，而而信号信号相当于一束相当于一束白光白光，将信号通过傅里叶分，将信号通过傅里叶分析可得到信号的析可得到信号的频谱频谱，频谱作傅里叶反变换又，频谱作傅里叶反变换又可得到原信号。可得到原信号。傅里叶分析技术已广泛应用于电学、声学、光傅里叶分析技术已广泛应用于电学、声学、光学、机械学、生物医学工程等众多领域。学、机械

5、学、生物医学工程等众多领域。 音箱的一个重要指音箱的一个重要指标标-系统的频率特性系统的频率特性信号的频谱56Hz-20kHz的工作范围内达到了3dB信号的频谱 信号的频谱详细描述了信号所包含的频率分量。 滤波器的频率特性系统的频率响应（第四章）；信号的频率特性信号的频谱（本章）。 正弦波仅含单一频率，而白噪声包含所有频率分量。信号的平稳变化源于它的低频分量，陡峭边缘和急剧变化则源于它的高频分量。 要用扬声器忠实地再现音乐，那么音乐的频率分量就决定了扬声器的频率特性。 如果要预测滤波器对信号的作用，那么不仅要知道滤波器的特性，还要知道信号的频谱。 高频噪声严重影响了歌曲的录音。可以使用通带边缘

6、频率为可以使用通带边缘频率为2kHz的低通滤波器来滤波。的低通滤波器来滤波。noisy.wavfiltered.wav3.1 引言引言时域分析时域分析 变换域分析变换域分析频域分析：傅里叶变换，变量为频率（频域分析：傅里叶变换，变量为频率（本章）本章）周期信号：傅里叶级数、傅里叶变换周期信号：傅里叶级数、傅里叶变换非周期信号：傅里叶变换非周期信号：傅里叶变换抽样信号：傅里叶变换抽样信号：傅里叶变换信号频谱分析：分析信号频谱分析：分析信号所包含的频率分量，信号所包含的频率分量，包括幅度频谱和相位频谱。包括幅度频谱和相位频谱。复频域分析：拉氏变换复频域分析：拉氏变换, 变量为复频率变量为复频率 （

7、第四章）（第四章）3.2 周期信号的傅里叶级数分周期信号的傅里叶级数分析析一、三角函数形式的傅里叶级数一、三角函数形式的傅里叶级数将周期信号表示为不同频率正弦信号的线性组合将周期信号表示为不同频率正弦信号的线性组合 从信号分析的角度从信号分析的角度，为不同信号之间进行，为不同信号之间进行比较提供了途径。比较提供了途径。 从系统分析角度从系统分析角度，已知单频正弦信号激励，已知单频正弦信号激励下的响应，利用下的响应，利用叠加特性叠加特性可求得多个不同可求得多个不同频率频率正弦信号正弦信号同时激励下的总响应及每个同时激励下的总响应及每个正弦分量通过系统后的变化。正弦分量通过系统后的变化。物理含义物

8、理含义：0111( )cos()sin()nnnf taan tbn t1120121( )TTaf t dtT直流分量：直流分量：余弦分量系余弦分量系数：数：1121122( )cos()TTnaf tnt dtT正弦分量系正弦分量系数：数：1121122( )sin()TTnbf tnt dtT1,2,.n 1,2,n通常积分区间 取为：220111TTT或001ttT11sin(),cos()n tn t1T 周期11122fT角 频 率011( )cos()nnnf tccn t0022nnnnnncacabbarctga 其中周期信号f(t)应满足“狄利克雷(Dirichlet)条件

9、”：1) 在一个周期内有有限个间断点；2) 在一个周期内有有限个极值点；3) 在一个周期内函数绝对可积，即 010( )tTtf tdt 通常遇到的周期信号都满足这些条件，以后通常遇到的周期信号都满足这些条件，以后一般不再考虑这一条件。一般不再考虑这一条件。通常把频率为通常把频率为11112fT的分量称为基波。的分量称为基波。 可见，直流分量的大小以及基波与各次谐波的幅度、可见，直流分量的大小以及基波与各次谐波的幅度、相位取决于周期信号的波形。相位取决于周期信号的波形。 任何信号可以分解成直流分量和许多正弦、余弦分量。任何信号可以分解成直流分量和许多正弦、余弦分量。频率为频率为的分量称为二次谐

10、波。的分量称为二次谐波。11112222fT 频率为频率为的分量称为三次谐波。的分量称为三次谐波。11113332fT nc单边频谱图：信号的幅度谱n信号的相位谱代表各频率分量幅度的线称为“”；连接各谱线顶点的曲线称为“谱线包络线”。0n1131n周期信号频谱的主要特点：谱周期信号频谱的主要特点：谱线线只出现在基波频率的整数倍只出现在基波频率的整数倍的频率处。的频率处。直观看出：各分量的大小和各直观看出：各分量的大小和各分量的相位。分量的相位。0cnc1c2c3c01131n二、指数形式的傅里叶级数二、指数形式的傅里叶级数1110)sin()cos()(nnntnbtnaatf由欧拉公式由欧拉

11、公式)(21)cos(111tjntjneetn)(21)sin(111tjntjneejtn)22()(1110tjnnntjnnnnejbaejbaatf0F1()F n1()Fn111()jntjntnnnF neF e引入了负频率引入了负频率1jnte1( )jntnnf tFe011011( )tTjn tntFf t edtT000Fca)(21nnjnnjbaeFFn)(21nnjnnjbaeFFn221122nnnnnFFcab与三角函数形式傅里叶级数系数的关系与三角函数形式傅里叶级数系数的关系: 周期信号f (t)可以分解为不同频率周期复指数信号之和物理含义：nnF双边频谱图

12、：复数幅度谱，复数相位谱具有（负频率的结果仅是离散性数学处理）Fn一般是复函数，所以称这种频谱为复数频一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。谱。10FnF1n011n幅度谱与相位谱合幅度谱与相位谱合并并正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。函数。nF00F11n11n0n1n1n周期信号的功率特性周期信号的功率特性( )fPt平均功率时域与频域的能量守恒：任意周期信号的等于其傅里叶级数展开式中各谐波有效值分量的平方和周期信号的平均功率周期信号的平均功率P：在一个周期内求平方再求积：在一个周期内求平方再求积分。分。2( )Pft12220)(21nn

13、nbaannF2100)(121TttdttfT220112nncc帕塞瓦尔定帕塞瓦尔定理理四、四、函数的对称性与傅里叶系数的关系函数的对称性与傅里叶系数的关系将将信号信号f(t)展开为傅里叶级数，如果展开为傅里叶级数，如果f(t)是是实函数实函数且波形满足某种对称性，则在其傅里叶级数中且波形满足某种对称性，则在其傅里叶级数中某些项将不出现，可以简化傅里叶系数的计算。某些项将不出现，可以简化傅里叶系数的计算。波形对称性有两类：波形对称性有两类：（1）对整周期对称。即偶函数和奇函数。）对整周期对称。即偶函数和奇函数。（2）对半周期对称。即奇谐函数、偶谐函数）对半周期对称。即奇谐函数、偶谐函数。)

14、2()(1Ttftf1( )()2Tf tf t1121122( )sin()0TTnbf tnt dtT( )( )()f tf tft是偶函数，关于纵轴对称：t)(tfE021T21T周期三角波信号1112211011224( )cos()( )cos()TTTnaf tnt dtf tnt dtTT1()F n其傅里叶级数三角展开式中仅含和，其傅里叶级数指数展开式中直流项余弦项为实数。2nnnaFF奇函数偶函数.)5cos2513cos91(cos42)(1112tttEEtf( )( )()f tf tft是奇函数，关于原点对称：0na 121014( )sin()Tnbf tnt d

15、tT12nnnFFjbt)(tf2E021T21T周期锯齿波信号2E1()F n其傅里叶级数三角展开式中仅含，其傅里叶正弦项级数指数展开式中为纯虚数。00a .)3sin312sin21(sin)(111tttEtf奇谐函数：奇谐函数：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化，即满足：上下反转，此时波形并不发生变化，即满足：)2()(1Ttftf112101210104( )cos()4( )sin()nnTnTnnabnaf tnt dtTbf tnt dtT为偶，为奇，00a基波奇次谐波的正其傅里叶级数三角弦、余弦展开式中仅

16、含和不项偶会包含次谐波项t)(tf2E021T21T2E奇谐函数举例奇谐函数举例t)(tf2E021T21T2E1cos() tt)(tf2E021T21T2E1sin() tt)(tf2E021T21T2E1sin(2) tt)(tf2E021T21T2E1cos(2) t积分存在积分存在积分为零积分为零利用傅里叶级数的对称性判断所含有的频率分量周期偶函数，奇谐周期偶函数，奇谐函数，只含基波和函数，只含基波和奇次谐波的余弦分奇次谐波的余弦分量量周期奇函数，奇谐周期奇函数，奇谐函数，只含基波和函数，只含基波和奇次次谐波的正弦奇次次谐波的正弦分量分量t)(tf2E021T21T2E2E2E21T

17、21Tt)(tf含有直流分量和偶次谐含有直流分量和偶次谐波的正弦分量波的正弦分量只含有正弦分量只含有正弦分量含有直流分量和余弦分含有直流分量和余弦分量量t)(tfE021T21T1T1Tt)(tfE021T21Tt)(tf2E021T2E21T四、傅里叶有限级数与最小方均误差四、傅里叶有限级数与最小方均误差0111( )cos()sin()NNnnnStaan tbn t有限项傅里叶级数：1110)sin()cos()(nnntnbtnaatf)()()(tStftNN误差函数误差函数0102212222011( )( )1( )()2tTNNNtNnnnEtt dtTftaab方均误差方均误

18、差t)(tf2E041T41T2E例如: 对称方波, 既是偶函数又是奇谐函数只有奇次谐波的余弦项只有奇次谐波的余弦项2sin2nnEan)5cos3cos(cos)(15113112ttttfE N=12105. 0EE )3cos31(cos2112ttES230.02EE)(cos211tES)5cos513cos31(cos21113tttES250.015EE N=3 N=5N越大，越接近方波越大，越接近方波lim( )( )NNStf t由上面例子可以看出：由上面例子可以看出：快变信号，高频分量，主要影响跳变沿；快变信号，高频分量，主要影响跳变沿；慢变信号，低频分量，主要影响顶部；慢

19、变信号，低频分量，主要影响顶部；任一分量的幅度或相位发生相对变化时，任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真波形将会失真有吉布斯现象发生有吉布斯现象发生吉布斯现象吉布斯现象当选取傅里叶有限级数的项数当选取傅里叶有限级数的项数N很大时，峰起很大时，峰起值越靠近不连续点，该峰起值趋于一个常数，值越靠近不连续点，该峰起值趋于一个常数，它大约等于总跳变值的它大约等于总跳变值的9%，并从不连续点开始，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。3.3 典型周期信号的傅里叶级数典型周期信号的傅里叶级数1、周期矩形脉冲信号（重点介绍）、周期矩形脉冲信号（重点介绍）2、

20、周期锯齿脉冲信号、周期锯齿脉冲信号3、周期三角脉冲信号、周期三角脉冲信号4、周期半波余弦信号、周期半波余弦信号5、周期全波余弦信号、周期全波余弦信号（自己看书）（自己看书）一、周期矩形脉冲信号一、周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲：脉周期矩形脉冲：脉宽为宽为 ，脉冲幅度为，脉冲幅度为E，周期为，周期为T1。22,22)(11TtTtutuEtf022E12T12T1Tt)(tf1T1110)sin()cos()(nnntnbtnaatf偶函数偶函数0nb112201112211( )TTEaf t dtEdtTTT112211112222( )cos()cos()TTnaf tn t dtEn t

21、dtTT三角函数形式傅里叶级数三角函数形式傅里叶级数221100111441cos()sin()EEn t dtn tTTn111112( )cos()nEEnf tSan tTTT三角11112()()2nEnEnaSaSaTT2101141sin()EntTn111422sin()sin()sin()222nnEEEnnnnT1 12T112T111sin()2nTEnTT指数形式傅里叶级数指数形式傅里叶级数ntjnneFtf1)(12121jntnFEedtT1/2/211()jntEeTjn111sin()22nEnT1112sin()2EnTn11()2nESaT111( )2jnt

22、nnEf tSaTe指数001EcaT112()1,2,.2nnnEcaSanT复数频谱复数频谱频谱分析表明各谱线的幅度按各谱线的幅度按 包络线变化。过零点包络线变化。过零点为：为：1()nSaT2(1,2,)mm2B离散频谱，谱线间隔为基波频率离散频谱，谱线间隔为基波频率 ，脉，脉冲周期越大，谱线越密。冲周期越大，谱线越密。112T112()nEncSaTT各分量的大小与脉幅、脉宽成正比，与周期各分量的大小与脉幅、脉宽成正比，与周期成反比。成反比。主要能量在第一过零点内。主要能量在第一过零点内。频带宽度，记作频带宽度，记作B为：为：不同不同T1值下周期矩形信号的频值下周期矩形信号的频谱谱不同

23、不同 值下周期矩形信号的频谱值下周期矩形信号的频谱对称方波信号有两个特对称方波信号有两个特点：点：(1)(1)是是正负交替正负交替的信号，的信号，其直流分量其直流分量a0 0等于零。等于零。(2)(2)它的脉宽恰等于周期它的脉宽恰等于周期的一半，即的一半，即 T1/2既是偶函数又是奇次谐既是偶函数又是奇次谐波，只含有基波和奇次波，只含有基波和奇次谐波的余弦分量。谐波的余弦分量。3.4 傅里叶变换傅里叶变换非周期信号的频谱：傅里叶变换非周期信号的频谱：傅里叶变换当周期当周期T1 ,周期信号变成了非周期性的单脉冲信号。周期信号变成了非周期性的单脉冲信号。谱线间隔谱线间隔0，离散谱变成连续谱。，离散

24、谱变成连续谱。谱线高度谱线高度0，失去意义。，失去意义。但能量仍存在，频谱分布也就存在，需要引入新的量但能量仍存在，频谱分布也就存在，需要引入新的量“频谱密度函数频谱密度函数”。0110111()( )0tTjnttF nf tdtTe11121121( )()( )TjntTf tF nf t edtT周期信号的频谱为：表示信号的频谱单位频带频值谱密度的概念频谱密度函频谱密度函数数11()F n111/ 2111/ 212()()( )TjntTF nF nTf tedt11,0,T 11,()0nF n离散频率连续频率11111012()lim()i(l m)TF nF nTF111122

25、lim( )TjntTTf t eFdt( )j tf t edt同样，同样，11( )()jntnf tF ne谱线间谱线间隔隔11()n11111()( )()jntnF nf ten1( )( )2j tf tFed11012()( )limF nF11()( )2F nF1(),nd,n1,n1T 时( )( )( )j tFFT f tf tdte傅里叶正变换：=11( )( )( )2j tf tFTFFde傅里叶逆变换：( )f t dt傅里叶变换存在的充分条件：绝对可积( )F频谱函数一般是复数()()()jFFe ( )( )FF是的模，代表信号中各频率分量的相对大小( )(

26、 )F 是的相位函数,代表信号中各频率分量的相位关系j te物理含义：非周期信号可以分解为不同频率的的线性组合)(F幅度谱幅度谱)(相位谱相位谱 F()是一个密度函数的概念，即单位频带的频谱值。 F()是一个连续谱。 F()包含了从零到无限高的所有频率分量。 各频率分量的频率不成谐波关系。非周期信号频谱的特点非周期信号频谱的特点3.5 典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换1、单边指数信号、单边指数信号2、双边指数信号、双边指数信号3、矩形脉冲信号、矩形脉冲信号4、符号函数、符号函数5、升余弦脉冲信号、升余弦脉冲信号一、单边指数信号的傅里叶变一、单边指数信号的傅里叶变换换 ( )

27、( ) (0)atf tu tae单边指数：()0()( )jtajtFf t edtedt(j )10()ateajaj221()1(),()arctanFaFaja 02( )()arctga 2( )( )(0)atf tu tae01t221( )Fa0a1a21a3二、双边指数信号的傅里叶变二、双边指数信号的傅里叶变换换 ( )(0)a tf tae双边指数：（正实函数）22222( )2( ),( )0aFaFaa ( )(0)a tf tae01t时域波形222( )aFa0a2a1a三、矩形脉冲信号的傅里叶变三、矩形脉冲信号的傅里叶变换换 ( )()()22:f tEu tu

28、t脉宽22()( )jtjtFf t edtEedt2sin22EE Sa()f t0tE222()sin22EFESa4(21) 20( )(21) 24(1)nnnn ()0F()0F分析：分析：2. 周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的的 连续频谱等间隔取样求得。连续频谱等间隔取样求得。4. 信号在时域有限，在频域则是无限的。脉冲信号在时域有限，在频域则是无限的。脉冲宽宽 度度 越窄，有效带宽越宽，传送信号所占用的越窄，有效带宽越宽，传送信号所占用的频带越宽。频带越宽。1. 非周期矩形脉冲信号的频谱是非周期矩形脉冲信号的频谱是连续连续频谱，其频谱

29、，其形状形状 与周期矩形脉冲信号与周期矩形脉冲信号离散离散频谱的包络线相似频谱的包络线相似。3. 信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点零点 之间，常将此范围作为有效带宽。之间，常将此范围作为有效带宽。2Bf1(t)四、符号函数的傅里叶变换四、符号函数的傅里叶变换 10( )( )0010tf tsgn ttt不满足绝对可积条件，借助与双边指数衰减函数相乘，先求不满足绝对可积条件，借助与双边指数衰减函数相乘，先求此乘积信号的频谱，然后取极限求此乘积信号的频谱，然后取极限求f(t)的频谱的频谱0( )lim( )()atatasgn teu te ut012202(