可分离变量微分方程

1、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 典型例题典型例题 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 小结和思考题小结和思考题可分离变量微可分离变量微分方程的识别分方程的识别与求解。与求解。可分离变量微可分离变量微分方程的求解分方程的求解。一、可分离变量微分方程一、可分离变量微分方程实例实例1 1 2yx 求微分方程求微分方程的通解。的通解。把方程两端积分可得通解把方程两端积分可得通解2yxC实例实例2 2 求微分方程求微分方程22yxy 的通解。的通解。因为因为y是未知的，所以积分是未知的，所以积分22xy dx方程两端直接积分不能求出通解。方程两端

2、直接积分不能求出通解。无法进行，无法进行，形如形如xdxfydyg)()(的一阶微分方程叫做可分离变量的微分方程的一阶微分方程叫做可分离变量的微分方程 . .例例 讨论下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？讨论下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？(1)2yxy 2(2)350 xxy22(3)()0 xydxxydy22(4)1yxyxy 是是不是不是12y dyxdx2(35 )dyxx dx2(1)(1)dyxydx是是是是xxfyygd)(d)(设设 y (x) 是方程的解是方程的解, ( ( )( )d( )dgxxxf xx 两边积分两边积分, 得得 ( )dg yy ( )df

3、xx ( )( )G yF xC则有恒等式则有恒等式 ( )G y( )F x则有则有分离变量方程的解法分离变量方程的解法: : 分离变量，两端积分分离变量，两端积分分离变量法分离变量法例例1. 求微分方程求微分方程d2dyxyx的通解的通解.解解: 分离变量得分离变量得d2 dyx xy两边积分两边积分d2 dyx xy得得21ln yxC即即21exCy 21e eCx 2exyC( C 为任意常数为任意常数 )说明说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解.二、典型例题二、典型例题因因 为任意非零常数，又为任意非零常数，又 也是方程的解；也是方程的解；1eC0y 故得

4、方程的通解为故得方程的通解为例例2. 子的含量子的含量 M 成正比成正比,0M求在求在衰变过程中铀含量衰变过程中铀含量 M(t) 随时间随时间 t 的变化规律的变化规律. 解解: 根据题意根据题意, 有有)0(ddMtM00MMt(初始条件初始条件)对方程分离变量对方程分离变量, MMd,lnlnCtM得即tCMe利用初始条件利用初始条件, 得得0MC 故所求铀的变化规律为故所求铀的变化规律为.e0tMM然后积分然后积分:td)(已知已知 t = 0 时铀的含量为时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原M0MtOkv R mg P 解：解：设

5、降落伞下落速度为设降落伞下落速度为v(t)时伞时伞所受空气阻力为所受空气阻力为R(方向与方向与v相反相反)，且且另外，伞所受重力为另外，伞所受重力为P，方向与，方向与v一致。一致。.Rkv 例例3 设降落伞从跳伞塔下落，所受空气阻力与速度设降落伞从跳伞塔下落，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞成正比，并设降落伞 离开跳伞塔时（离开跳伞塔时（t=0）的速度为零）的速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系。求降落伞下落速度与时间的函数关系。kv R mg P 0d,d|0.tvmmgkvtv 对上述方程分离变量得对上述方程分离变量得两端积分两端积分可得可得Cmtvkgmk)(ln1)0( vkgm此处利用初始条件利用初始条件, 得得)(ln1gmkC代入上式后化简代入上式后化简, 得特解得特解(1 e)ktmmgvkt 足够大时kgmv dvdtmgkvmdvdtmgkvm课堂练习课堂练习:(1);xyd yed x0(2)cossincossin,.4xxydyyxdx y1.1.分离变量法步