数学分析(第82节换元积分法与分部积分法)

1、第第8 8章章 不定积分不定积分 不定积分概念与基本积分公式不定积分概念与基本积分公式 换元积分法与分部积分法换元积分法与分部积分法 有理函数和可化为有理函数的不定积分有理函数和可化为有理函数的不定积分第第8.28.2节节 换元积分法与分部积分法换元积分法与分部积分法 第一换元积分法（凑微分法）第一换元积分法（凑微分法） 第二换元积分法第二换元积分法 分部积分法分部积分法 不定积分是求导运算的逆运算不定积分是求导运算的逆运算, ,相应于复合函相应于复合函数求导数的链式法则和乘法求导公式数求导数的链式法则和乘法求导公式, ,不定积分有不定积分有换元积分法和分部积分法换元积分法和分部积分法. .一

2、、第一换元积分法（凑微分法）一、第一换元积分法（凑微分法）问题提出问题提出 xdx2cos,2sinCx 解决方法解决方法而而利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量. .令令2ux 1,2dxdu xdx2cos1cos2udu 1sin2uC.2sin21Cx cossinxdxxC我们知道我们知道若若),()(ufuF 则则.)()( CuFduuf设设)(xu (且可微，根据复合函数微分法且可微，根据复合函数微分法) ( ) ( )( )dFxfxx dx 因因为为 ( ) ( ) ( )fxx dxFxC 所所以以 )()(xuduuf 于是于是, 可得下述定理可得下述定

3、理在一般情况下：在一般情况下：注意注意 使用此公式的关键在于将被积表达式凑成使用此公式的关键在于将被积表达式凑成( )( ( )( ) ( )= ( )( ( )uxfx dxf u duF uCFxC 原原式式则则第一换元公式第一换元公式定理定理1 1（第一换元积分法第一换元积分法）( ),( )uxf u du 以以便便选选取取变变换换将将原原积积分分化化为为易易于于积积分分的的， ( )( )= ( ( )( )fxx dx fx dx 凑微分法凑微分法( )( )( ).f uIuxJJI 设在 上有定义，又在 上可导，设在 上有定义，又在 上可导，且如果且如果( )d = ( ),f

4、 uu F uC ( )( )( ( )fxx dxFxC 例例1 1 求求.2sin xdx解解 xdx2sin1sin2(2 )2xdx 凑凑微微分分Cu cos21基基本本积积分分表表方法方法2 2 xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxdCu 2方法方法3 3 xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxdCu 2;2cos21Cx 还还原原 uduxusin212 uduxu2sin ;sin2Cx uduxu2cos .cos2Cx 方法方法1 1dxxex 22例例2 2 求求解解)(2222xdedxxexx uue dueC 2xeC

5、(1)dd();a xax(2) dd();xxa11(3)dd();1xxx (4) cos dd(sin );x xxx xx(5) sin dd( cos );1(6)dd(ln);xxx2(7) secdd(tan );x xx2d(8)d(arctan ).1xxx常见的凑微分形式有常见的凑微分形式有例例3 3 求求.dxx 231解解dxx 2311132232()dxx 3 2112uxduu 1ln2uC1ln 32.2xC例例4 4 求求.)ln51(1dxxx 解解dxxx )ln51(1)(lnln511xdx )ln51(ln51151xdx 15lnux令令 duu1

6、511ln5uC熟练以后就不需要进行熟练以后就不需要进行)(xu 转化了转化了1ln 15ln5xC例例5 5 求求.122dxxa 解解dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa2111.arctan1Caxa 例例6 6 求求2cos xdx 1cos22xdx Cxx 42sin22cos xdx 解解111cos2(2 )222dxxdx 例例7 7 求求解解dxx 3sin32sinsinsinxdxxxdx 正、余弦三角函数积分偶次幂降幂、奇次幂拆开放在微正、余弦三角函数积分偶次幂降幂、奇次幂拆开放在微分号后面分号后面. .313(coscos)xxC 21 (cos)

7、 cosx dx 11xdxe (1)1xxedxe 1xxedxdxe ln(1)xxeC 解解例例8 8 求求.11dxex 1(1)1xxdxdee 11xxxeedxe 例例9 9 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx 例例1010 求求解解.2cos3cos xdxx),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx 利用积化和差公式，得利用积化和差公式，得解解 dxxs

8、in1 xdxcsc )(coscos112xdx duu211 duuu11112111ln21uCu 11cosln.21cosxCx 类似地可推出类似地可推出例例1111 求求.csc xdx dxxx2sinsinsecln sectan.xdxxxC ln csccot.xxC 练习练习 242(1)2sin cos(2)1 sin21(3)1(4) cos cos2arctan(5)(1)xdxxxxdxxxdxxxxdxxdxxx 提示提示 222222221(2)(1)221sin(2)2 1 (sin)(1)(3)1113(4)(coscos )222arctan(5) 22

9、 arctanarctan1d xxdxxdxdxxxxxdxxd xxdxx 二、第二换元积分法二、第二换元积分法 ( ) ( )( ),ftt dt G tCtJ而而( )( )= ( ) ( )( )xtf x dxftt dt G tC 则 则 ( )( )( )fxx dxf u du 化为易积出的积分化为易积出的积分第一换元法是通过变量替换第一换元法是通过变量替换( )ux 第二换元法则是通过变量替换第二换元法则是通过变量替换 将将( )xt ( ) ( )( )f x dxftt dt 化为积分化为积分将将1( )1( ),txGxCxI 第二换元公式第二换元公式定理定理2 2（

10、第二类换元积分法第二类换元积分法）1( )d = ( )( )( )( )f xxftt dt G tCGxC 1( )( )( ).( )( )( )d ( ) ( )( )f xIxtJJIxtJtxf xxIftt dt G tCJI 设在 上有定义，又在 上可导，且设在 上有定义，又在 上可导，且如果在 上存在反函数，如果在 上存在反函数，且不定积分在 上存在，则当不定积分且不定积分在 上存在，则当不定积分在 上存在时，在 上有在 上存在时，在 上有例例1313 求求解解.dxex 11xet 令令2,dxdtt 2(1)dtt t dttt 1112Ctt )ln(ln12,lntx

11、2 考虑到被积函数中的根号是困难所在，故考虑到被积函数中的根号是困难所在，故dxex 112ln.1xxeCe 例例1414 求下列不定积分求下列不定积分222222(1)(0)1(2)(0)1(3)(0)ax dxadxaaxdxaxa （利用适当的三角代换化为易求的积分）（利用适当的三角代换化为易求的积分）sin(),arcsin22tan(),arctan22secxxatttaxxatttaxat 如如从从而而有有单单值值函函数数从从而而有有单单值值函函数数等等解解2212dxax （）secln sectantdtttC 2tan22sec1sec1tanx atdx atdtatd

12、tat 由辅助三角形（如图）由辅助三角形（如图）22sec,tanaxxttaa 22lnaxxCaa 原原式式tax22ax 2211ln()(ln)xaxCCaC 例例1515 求求dxxxn )(11令令tx1 ,12dttdx dxxxn )(11dttttn 2111 dtttnn11Ctnn |ln 11.|lnCxnn 111解解当分母的阶当分母的阶分子的阶时分子的阶时, 可考虑试用可考虑试用倒代换倒代换.1tx 例例1616 求不定积分求不定积分解解31dxxx 6655233616x tx tdxt dtt dtdxttxx 令令即即216 (1)1ttdtt 326(ln1

13、)32tttt 3662366ln1xxxxC 小小 结结两类积分换元法：两类积分换元法： 凑微分凑微分三角代换、根式代换、倒数代换三角代换、根式代换、倒数代换三角代换常有下列规律三角代换常有下列规律22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 基基本本积积分分表表续续;coslntan)16( Cxxdx;sinlncot)17( Cxxdx(18)secln sectan;xdxxxC (19)cscln csccot;xdxxxC ;arctan11)20(22Caxadxxa ;ln211)22(22Cxaxaa

14、dxxa ;arcsin1)23(22Caxdxxa .)ln(1)24(2222Caxxdxax 2211(21)ln;2xadxCxaaxa 练习练习 22231(1)(2)(3)(0).12(1)dxdxax dxaxx 提示提示 22tan3secsec(2)cossecxtdxtdttdttdtt 令令22211(1)(1)1112txtxdx tdttdxdtdtttx 令令即即ln(1)2ln(12 )ttCxxC (3)tdtadxcos 22coscosax dxat atdtsin ,22xatt 22222sincosaxaatat2221cos2cos2tatdtadt

15、 22sin cos22aatttC arcsin2221arcsin22xtaaxx axCa t22xa xa三、分部积分法三、分部积分法问题问题 ?dxxex解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则. .设设函函数数)(xuu 和和)(xvv 具具有有连连续续导导数数, ,vuvuuv , vuuvvu uv dxuvu vdx.udvuvvdu或或分部积分公式分部积分公式关键关键.udvvduudv 恰恰当当选选取取 、使使比比原原积积分分易易积积出出处理两类不同类型函处理两类不同类型函数的乘积的不定积分数的乘积的不定积分例例1 1 求积分求积分. dxxe

16、x解解, xu 设设,xxdve dxde dxxexCexedxexexxxx 若被积函数是幂函数和指数函数的乘积若被积函数是幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为就考虑设幂函数为 u , 使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指假定幂指数是正整数数是正整数)熟熟练练以以后后，可可将将以以上上求求解解过过程程表表述述为为 dxxex xxdeCexedxexexxxx 例例2 2 求积分求积分.cos xdxx解解令令,cos xu 212xdxdxdv则则 xdxxcos xdxxxxsin2cos222显然，显然， 选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.vu ,令令,xu dvxd

17、xdx sincos xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx 被积函数是幂函数与余被积函数是幂函数与余 (正正)弦函数的乘积弦函数的乘积, 设设幂函数为幂函数为u (假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)例例3 3 求积分求积分.2 dxexx解解2,ux 令令,xxe dxdedv则则 dxexx2 dxxeexxx2222()xxxx exee dx 再次使用分部积分法再次使用分部积分法,xu =xxe dx dedv .)(22Cexeexxxx 例例4 4 求积分求积分.arctan xdxx解解令令,arctan xu dvxdxdx 22 xdx

18、xarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx 例例5 5 求积分求积分.ln3 xdxx解解,ln xu ,443dvxddxx xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx 若被积函数是幂函数和对数函数或幂函若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为或反三角函数为u .例例6 6 求积分求积分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin

19、(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(lnsin(ln )x dx 故故.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 有时候使用若干次分部积分可导出所求积分有时候使用若干次分部积分可导出所求积分的方程式，然后解此方程求出积分的方程式，然后解此方程求出积分循环法循环法. .例例7 7 求积分求积分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecoss

20、in )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sinsinxexdx 故故.)cos(sin2Cxxex 注意循环形式注意循环形式 .cosI sinI21bxdxebxdxeaxax及及同理可计算同理可计算例例8 8 求积分求积分. dxex解解2,2txxtdxtdt令则令则22xttedxte dttde2(1)te tC2(1).xexC例例9 9 求积分求积分 .1arctan2dxxxx解解22( 1),1xxx 由有由有2arctan1xxdxx 21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111a

21、rctan1 dxxxx 2211arctan1令令txtan dxx 211 tdtt22sectan11 tdtsec1)tanln(secCtt 12)1ln(Cxx 2arctan1xxdxx 故故xx arctan12 .)1ln(2Cxx 解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxfxxf2( ),xf x dxeC 由于由于两边同时对两边同时对 求导求导, 得得x,2)(2xxexf ( )xf x dx 所所以以 dxxfxxf)()(222xex .2Cex 例例1010例例1111（递推法）递推法）.dcosxxInn求不定积分求不定积分.sindcos1Cxxx

22、I1cosdcosdsinnnnIx xxx122sincos(1) cossindnnxxnxx x122sin cos(1) cos(1 cos)dnnxxnxx12sin cos(1) cosdnnxxnx xnnx x(1) cosd ,解解由此解出由此解出12sin,111sincos,2,3,.nnnxCnInxxInnn 合理选择合理选择 正确使用分部积分式正确使用分部积分式vu ,dxvuuvdxvu 小小 结结(1) 被积函数是幂函数与正被积函数是幂函数与正(余余)弦函数的乘积弦函数的乘积, 设幂函数为设幂函数为u (假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)一般地一般地(2)被积函数是幂函数与指数函数的乘积被积函数是幂函数与指数函数的乘积, 设设幂函数为幂函数为 u, (假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)(4) 被积函数是指数函数与三角函数乘积被积函数是指