第十一章 一阶谓词逻辑教学课件

1、狭谓词逻辑在命题逻辑中，起本质作用的是联结词。联结词的意义和使用规则我们前面已经学习过了。在命题逻辑中，主要研究复合命题的逻辑性质和推理关系，复合命题是由简单命题和联结词组成的，它的真假由所含简单命题的真假和所含联结词的意义所确定。简单命题是命题逻辑的基本单位。在命题逻辑中，我们并不分析这些基本单位又具有怎样的逻辑特征和结构。因此，这使得有些命题之间正确的推理关系在命题逻辑中得不到反映（比如：传统的三段论原则）。例如： 所有金属都是导电体； 铁是金属； 所以，铁是导电体。这是一个正确的推理。但是，在命题逻辑里，它的前提和结论只能处理成不同的简单命题。因此，它的推理形式只能是： p， q， 所以

2、， r。即：p，q r。显然，这不是命题逻辑中正确的推理形式。但是，这个推理是正确的。然而，它的正确性却不能在命题逻辑中表现出来。造 成这一现象的原因就在于，这个推 理的正确性依赖于前提和结论中所 含命题的内部结构。因此，要表现 这类推理的正确性，就必须建立新 系统。在新系统中，我们要对简单命题作进一步的分析，这种分析也只将简单命题中的个体词、谓词（即关系词）和量词分析出来，从而揭示简单命题的形式结构，研究它们的逻辑性质和规律，使之能更深入地表现实际推理过程。本章我们将要学习的狭谓词逻辑也是数理逻辑的基础部分。它将包含命题逻辑作为一个子系统。因此，在狭谓词逻辑中，关于复合命题的逻辑性质及其推理

3、关系的结论仍然成立。但这里学习的重点是量词的逻辑性质及其推理规律。第一节第一节 一阶语言一阶语言一、一阶语言概述一、一阶语言概述 我们的讨论从一阶语言L开始。 在狭谓词逻辑中，简单命题将得到进一步的分析，将它所含的个体词、谓词和量词等非命题成分分析出来。（一）个体域、个体和个体词 个体域是指某一语言环境中可能论及的每一件具体事物所组成的整体。个体域中的元素叫个体。个体词是表示个体的符号。表示个体域中不确定个体的符号叫个体变项，表示个体域中确定个体的符号叫个体常项。如：在集合论中，如果取全体集合做成的类V作为个体域，空集就是其中的一个个体常项，对任意的xV（x表示任意的集合）， x是一个个体变项

4、。在数论中，如果取自然数集N作为个体域，对任意的nN（n表示任意的自然数），n是N一个个体变项，0是 N一个个体常项。（二）谓词 现在，我们将通过两个命题来说明什么是谓词。例1： 这个皮球是圆的。解：令 F：“是圆的”这种性质，则 F(x)：“x是圆的”。 令a：“这个皮球”，那么 F(a)：“这个皮球是圆的”。这里，F是一个一元谓词，表示“圆”这种性质。x和a是个体词，它们表示具有 “圆”这种性质的个体。其中：x是不固定的，它是一个个体变项；a是固定的，它是一个个体常项。例2：周建人是鲁迅的弟弟。解：令G(x,y) ：x是y的弟弟。令a：周建人，b：鲁迅，G(a,b) ：周建人是鲁迅的弟弟。

5、这里，G是一个二元谓词，表示“某人是某人的弟弟”这种关系。 x,y和a,b都是个体词。x和y是个体变项，a和b是个体常项。刻画一个个体性质的词称为一元谓词，刻画两个个体之间关系的词称为二元谓词。一般地，刻画n个个体之间关系的词称为n元谓词。有时也把n元谓词称为n元关系词。特别地，一个一元关系刻画的就是一个个体的性质。显然，个体词分为个体常项和个体变项，并且谓词或关系词是不能脱离个体词而独立存在的。谓词与命题比较起来，具有更强的表达能力。第一，命题没有概括能力，谓词具有概括能力。例如，为了表达：是一种动物，则有多少种动物就要用多少个命题来表示。令：p1：“老虎是一种动物”p2：“河马是一种动物”

6、p3：“猩猩是一种动物”等 等 。 但 是 ， 引 如 一 个 谓 词animal以后，animal（x）表示x是一种动物。将x解释成老虎、河马和猩猩等等，因此，用animal（x）就可以表示所有的动物。第二，命题只能代表某种固定的情况，而谓词可以代表变化着的情况。例如，设有两个命题p和q，令p：天津是一座城市q：老虎是一座城市显然p是真命题， q是假命题。换句话说，p取真值真，而q取真值假，p和q不可能再有其它的值。但是谓词值的真假却可以因参数而异。如：city（x），它表示x是一座城市。当x为天津时，city（天津）取真值，当x为老虎时，city（老虎）取假值。第三，可以利用谓词，在不同的

7、知识之间建立联系。例如，设 Human（x）： “x是人”Lawed（x）： “x受法律管制”则这两个谓词可以联结成一个更复杂的命题。Human（x） Lawed（x）它表示：人人都要受法律的管制。（三）量词除了个体词和谓词外，组成命题成分的还有量词。量词是用来表示命题中数量的词。常用的量词有全称量词和存在量词。全称量词表示“所有的”或“任一个”，存在量词表示“有的”或“存在”。但是，在狭谓词逻辑中，量词只允许修饰个体变项，不允许修饰命题变项和谓词。也就是说，在狭谓词逻辑中，我们不研究如下形式的公式：q（qq），Q x （Q（x）Q（x），只研究如下形式的公式：x （ Q（x） Q（x）。这里

8、的q是命题变项， 是全称量词，x是个体变项，Q是一元谓词。所以，我们称这样的谓词逻辑为狭谓词逻辑。因此，一个狭谓词逻辑的语言L除了包含命题语言L0的一切符号外，还要包括一些表示个体词、谓词和量词的符号。二、一阶语言二、一阶语言L所使用的符号所使用的符号 L的初始符号： 甲类：v, v0, v1, v2,； 乙类：，； 丙类：，； 丁类：（，），； 戊类：对于每个大于等于1的自然数n，Pn，Qn，Rn，（可以没有）； 己类：c，c0，c1，c2，（可以没 有）。这里，甲类符号表示无穷多个个体变项；乙类符号表示逻辑联结词；丙类符号表示量词，其中为全称量词符号，为存在量词符号；丁类符号表示技术性符号

9、；戊类符号表示无穷多个n元谓词或关系词符号；己类符号表示无穷多个个体常项。约定：用A0表示甲至丁类中所有符号的集合，用S表示戊类和己类中所有符号的的集合。对任何一个一阶语言L来说，A0都是不变的，所以甲至丁类符号又叫做逻辑符号。S是可变的，戊和己类符号又叫做非逻辑符号。给定S以后，也就确定了一个一阶语言L。S不同，所确定的一阶语言也不同。今后，我们说给定一个一阶语言L，就是给定了L的符号集S。需要注意的是，如果语言L中有二元关系符号（等词），那么也把它作为逻辑符号来使用。约定：我们用字母x，y，z，u，（或加下标）表示语法变项，它们的值是任一个体变项；用字母F，G，Q，R，（或加下标）表示语法

10、变项，它们的值是任一（n元）谓词符号；用字母a，b，c，（或加下标）表示语法变项，它们的值是任一个体常项。第二节第二节 一阶公式一阶公式一种拼音语言，当它的字母表给定以后，人们就可以随意地对字母表中的字母进行排列，这样随意排列出来的符号序列，并不一定都有意义。于是人们又规定了一些拼音的规则，使得用这些规则排列出来的符号序列有意义，即表示字或者表示一定的意义。对于一阶语言L来说也是如此。我们也将规定一些规则，使得按我们的规则所形成的符号序列有意义，否则就无意义。并称这样的符号序列是由S确定的一阶语言L的项或公式。（一）L的形成规则 甲： S中的个体变项和个体常项统称 S项，S项用t或加下标表示；

11、 乙：如果t0,t1,tn-1都是S项，而Rn是S 中 的 任 一 n 元 谓 词 符 号 ， 那 么Rn(t0,t1,tn-1)是一个S公式； 丙：如果是S公式，那么也是； 丁：如果和都是S公式，那么（ ）也是； 戊：如果是一个S公式而x是一个个体变项，那么x（x）和x（x）都是S公式； 己：只有适合以上乙至戊四条的符号 序列才是S公式，记做Wff。 如果在上下文中，只涉及一个S时，我们也常把S项和S公式分别简称为项和公式。由S公式的全体组成的集合记作Ws或Ls。其中，由规则乙形成的S公式Rn(t0,t1,tn-1)称为原子公式，按规则丙形成的公式叫做的否定式。由规则丁形成的公式（）称为和的

12、析取式，由规则戊形成的公式x（x）和x（x）分别称为的全称式和存在式。（二）定义 定义甲：（）定义为（）。 定义乙：（）定义为 （）。 定义丙：（）定义为（）（）。 令S =F，F是一个一元谓词，根据公式的定义乙可知：F(x)和F(a)都是S的原子公式。当F(x) ：“x是圆的”并且a：“这个皮球”时，那么F(a)：这个皮球是圆的这是一个命题。 令S1=G，G是一个二元谓词，那么G(x,y)是S1的一个原子公式，当G（x,y）：x是y的弟弟并且a：周建人并且 b：鲁迅时，那么G（a,b）：周建人是鲁迅的弟弟这也是一个命题。再利用公式的形成规则的定义戊可知，xF(x)和xF(x)也都是S公式。这里：x