伴随矩阵及习题

1、伴随矩阵伴随矩阵 设设n n阶方阵阶方阵111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA L LL LM MM MM ML L 由方阵由方阵 中元素中元素 的代数余子式的代数余子式 112111222212*nnnnnnAAAAAAAAAA L LL LM MM MM ML Lv伴随矩阵伴随矩阵Aija(1,2, ;ijA in L LnA1,2, )jn L L 按转置方式排成的按转置方式排成的 阶方阵，称为方阵阶方阵，称为方阵 的伴的伴随矩阵，记作随矩阵，记作v定理定理 阶方阵阶方阵 可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是 并且当并且当 可逆时，可逆时， 的逆矩阵可表示为的逆矩阵

2、可表示为nA| 0A AA11*|AAA 其中，其中， 是是 的伴随矩阵的伴随矩阵*AA 上述定理不仅说明了方阵可逆的条件，而且在方阵上述定理不仅说明了方阵可逆的条件，而且在方阵可逆的情况下，给出了应用伴随矩阵求逆矩阵的方可逆的情况下，给出了应用伴随矩阵求逆矩阵的方法法v练习练习 求矩阵求矩阵 使满足使满足XAXBC 123221343A 2153B 132031C 其中其中 解：若解：若 存在，则用存在，则用 左乘上式，左乘上式， 右乘上式，有右乘上式，有11,AB 1A 1B 1111A AXBBA CB 11XA CB 即即 可解得可解得 ， ，故知，故知 都可逆且都可逆且| 2A |

3、1B ,A B1121243A 2123643A 3123421A 1221333A 2213633A 3213521A 1322234A 2312234A 3312222A 264*365222A 得得 1131135*3|22111AAA 1311*|52BBB 11131133135320225231111XA CB 1131025202 21104104 所以所以 同样可得出同样可得出于是于是 矩阵习题矩阵习题主要内容主要内容二二. 典型例题典型例题三三. 测验题测验题一一. 主要内容主要内容1. 矩阵的定义矩阵的定义 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211 记作记作

4、简记为简记为 nmijaA nmA 或或), 2 , 1;, 2 , 1( njmianmij 个个数数由由列列的的数数表表，行行排排成成的的nm.矩矩阵阵简简称称nm 实矩阵实矩阵: 元素是实数元素是实数复矩阵：复矩阵： 元素是复数元素是复数一些特殊的矩阵：一些特殊的矩阵：零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、对角阵、数量阵、单位阵对角阵、数量阵、单位阵2. 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵相等矩阵相等: :同型矩阵：同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等两个矩阵的行数相等、列数也相等两个矩阵同型，且对应元素相等两个矩阵同型，且对应元素相等矩阵加（减）法：矩阵加（减）

5、法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）两个同型矩阵，对应元素相加（减）加法满足加法满足 .1ABBA 交换律：交换律： . 2CBACBA 结结合合律律： .4OAA .,03是是同同型型矩矩阵阵与与其其中中OAAA 数乘满足数乘满足);()(AA ;)(AAA .)(BABA 数与矩阵相乘：数与矩阵相乘： 数数 与矩阵与矩阵 的乘积记作的乘积记作 或或 ，规定为，规定为 AA A ()ijAAa矩阵与矩阵相乘：矩阵与矩阵相乘：()(),ijijm ss nABab设设规定规定(),ijm nABCc 其中其中11221(1,2,;1,2,)sijijijissjikkjkca ba ba ba

6、 bim jn 乘法满足乘法满足);()(BCACAB );(),()()(为为数数其其中中 BABAAB ;)(,)(CABAACBACABCBA .EAAAEnnmnmnmm 矩阵乘法不满足：矩阵乘法不满足：交换律、消去律交换律、消去律 A是是n 阶方阵，阶方阵， 个个kkAAAA 方阵的幂：方阵的幂：方阵的多项式：方阵的多项式：0111)(axaxaxaxfkkkk 0111)(aAaAaAaAfkkkk Emkm kA AA kmmkAA 并且并且（m,k为正整数）为正整数）方阵的行列式：方阵的行列式：满足满足: : ;1AAT ;2AAn BAAB 3转置矩阵转置矩阵: : 把矩阵把

7、矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 . . AAA满足：满足： ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 对称矩阵和反对称矩阵：对称矩阵和反对称矩阵：AAA ATTAA 是是反反对对称称矩矩阵阵是是对对称称矩矩阵阵幂等矩阵：幂等矩阵： 为为n阶方阵，且阶方阵，且A2AA 伴随矩阵：伴随矩阵：行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵AijA nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111.EAAAAA 3. 逆矩阵逆矩阵定义：定义

8、：A为为n阶方阵，若存在阶方阵，若存在n阶方阵阶方阵,使得使得ABBAE 则称矩阵则称矩阵A是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）矩阵矩阵B称为矩阵称为矩阵A的逆矩阵。的逆矩阵。唯一性：唯一性： 若若A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的.判定定理判定定理:n阶方阵阶方阵A可逆可逆0A11AAA 且且推论：推论：设设A、B为同阶方阵，若为同阶方阵，若,ABE 则则A、B都可逆，且都可逆，且11ABBA ，111111111, (0)()(), ()()TTAAAAAAAA 满足规律：满足规律：逆矩阵求法：逆矩阵求法： （1）待定系

9、数法）待定系数法（2）伴随矩阵法）伴随矩阵法（3）初等变换法）初等变换法分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似4. 分块矩阵分块矩阵5. 5. 初等变换初等变换对换变换、倍乘变换、倍加变换对换变换、倍乘变换、倍加变换初等变换 逆变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换初等变换)(ccrrjiji)(ccrrjiji)(kckrii )1(1kckrii )(ckcrkrjiji )()(ckcrkrjiji 初等矩阵：初等矩阵： 由单位矩阵由单位矩阵E E经过一次初等变换得到的方阵

10、经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵称为初等矩阵. . 三种初等变换对应着三种初等方阵：三种初等变换对应着三种初等方阵：初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵6. 初等矩阵初等矩阵初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。1( , )( , )E i jE i j 11( ( )( ( )E i kE ik 1( ( )( ()E ij kE ijk 7. 初等矩阵与初等变换的关系：初等矩阵与初等变换的关系：初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵阶阶初初等等矩矩阵阵。乘乘一一个个相

11、相应应的的的的右右边边相相当当于于在在施施行行一一次次初初等等列列变变换换，对对阶阶初初等等矩矩阵阵；的的左左边边乘乘一一个个相相应应的的相相当当于于在在施施行行一一次次初初等等行行变变换换，矩矩阵阵，对对是是设设nAAmAAnmA 定理：定理：8. 用初等变换法求矩阵的逆矩阵用初等变换法求矩阵的逆矩阵可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵.定理：定理： 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积推论推论1：推论推论2：A如果对可逆矩阵如果对可逆矩阵 和同阶单位矩阵和同阶单位矩阵 作同样的初等作同样的初等EA行

12、变换，那么当行变换，那么当 变成单位矩阵变成单位矩阵 时，时， 就变成就变成 。EE1A .,)(,1AEEAEAA 变变成成了了就就原原来来的的时时变变成成当当把把施施行行初初等等行行变变换换只只需需对对分分块块矩矩阵阵的的逆逆矩矩阵阵要要求求可可逆逆矩矩阵阵.,1AEEAEA 就就变变成成了了原原来来的的时时变变成成当当把把施施行行初初等等列列变变换换或或者者对对分分块块矩矩阵阵即，即， 1, AEEA，初初等等行行变变换换 1AEEA初初等等列列变变换换(1)AXB 9. 解矩阵方程的初等变换法解矩阵方程的初等变换法)(BA)(1BAE 初初等等行行变变换换BAX1 BA(2)XAB A

13、BE1初初等等列列变变换换BAX1 )(BATT)(1BAETT 初初等等行行变变换换ABX1 BAXTTT)(1 或者或者矩阵的基本运算矩阵的基本运算方阵的幂方阵的幂逆矩阵的求解、证明逆矩阵的求解、证明矩阵方程矩阵方程矩阵的分块运算矩阵的分块运算二二. 典型例题典型例题1. 矩阵的基本运算矩阵的基本运算例例1：设矩阵：设矩阵11,01A 求与求与A可交换的所有矩阵。可交换的所有矩阵。 分析：根据乘法定义及矩阵相等定义求分析：根据乘法定义及矩阵相等定义求解：设所求矩阵为解：设所求矩阵为,abXcd 由由,AXXA 得得acbdaabcdccd 0,cad,0abXa 其中其中a，b为实数为实数

14、例例2：设：设100010 ,303A 12(2) (2) (4)TEAEAEA 求求的行列式。的行列式。分析：直接计算困难，可利用逆矩阵的定义先化简再计算分析：直接计算困难，可利用逆矩阵的定义先化简再计算解：解：12(2) (2) (4)TEAEAEA 1(2) (2) (2)(2)TEAEAEAEA (2) (2)TEAEA (2)(2)TEAEA2(2)EA 23000302025305 例例3：设：设 4 阶方阵阶方阵 234234,AB 其中其中 均为均为 4 维列向量，且已知行列式维列向量，且已知行列式234, 4,3,AB求行列式求行列式.AB 分析：根据矩阵加法定义及行列式性质

15、求分析：根据矩阵加法定义及行列式性质求解：解： 234,2,2,2AB 2348, 2342348(,) 8()AB56 2. 方阵的幂方阵的幂例例4：设：设1111111111111111A 求求.mA解解： （递推法）（递推法）2244444244AEE 3222AA AA 所以，当所以，当 时时2mk 2mkAA 2kA 242kE 242kE 42mE 当当 时时21mk 21mkAA 2kAA 242kEA 12mA 例例5：已知：已知100100,000,210001211APPB BP 求求 与与A5.A解：解：10 PP 存存 在在1APBP 21121APBPPBPPB P

16、321131APB PPBPPB P 551APB P 又又2100000,001B 3100000001BB 5BB 5511APB PPBPA 1100210411P 又又5100200611AA3. 逆矩阵的求解、证明逆矩阵的求解、证明例例6:求求A的逆矩阵的逆矩阵 111211120A解：解：021100()112010111001A E 10011100112001021121rr 11010000112001021113rr 11010011102001021132rr 11010011102021001131)2(rr 110100212121010210011212r 11010021212101025232100121)1(rr.1102121212523211 A注意注意:用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用初等列变换求逆矩阵其间不能作任何列变换同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换4. 矩阵方程矩阵方程