高二数学导数中的恒成立问题专题学案(含答案)

1、既然选择了远方，就必须风雨兼程!高二数学导数中的恒成立问题专题学案（含答案）导数中的恒成立问题时间：年月日刘满江老师学生签名:工兴趣与入17摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。成功源于不璘努力:、学前测试§ 1 函数yf(x)在点刈处的导数的几何意义函数yf(x)在点xo处的导数是曲线yf(x)在p(xo,f(x。)处的切线的斜率,相应的切线方程是.§ 2(4) (cos x)§ 3 导数的运算法则(1) (uv)(2)(uv)(3)(V)(v0)§ 4 复合函数求导法则复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u),ug(x)的导数间

2、的关系为yxyu”即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.解题步骤:分层一层层求导一作积还原.§ 5 函数的极值(1)极值定义：极值是在xo附近所有的点,都有f(x)Vf(xo/则.)是函数f(x)的极值；极值是在X0附近所有的点,都有f(x)>f(x0)则“是函数f(x)的极值.(2)判别方法：如果在xo附近的左侧f'(x)>0)右侧f'(x)V0)那么f(x0)是极值；如果在x0附近的左侧f(x)V0,右侧f(x)>0,那么f(xo)是极值.三、方法培养一、单参数放在不等式上型：【例题1】设函数f(x)exex.若对所有x0都有f(x

3、)ax,求a的取值范围.解：令g(x)f(x)ax)贝Ug3f(x)aexexa?(1)若a2当乂。时,g(x)exexa2a。,故g(x)在(0,)上为增函数，x0时,g(x)g(0),即f(x)ax.若a2,方程g(x)0的正根为为in咤工，此时,若x(0,Xi),则g(x)0,故g(x)在该区间为减函数.二x(0,Xi)时,g(x)g(0)0,即f(x)ax)与题设f(x)ax相矛盾.综上，满足条件的a的取值范围是(0.说明：上述方法是不等式放缩法.【针对练习1设函数f(x)ex1xax2,当x0时)f(x)0,求a的取值范围.解：【例施2】丧而薮f(x)2x33ax23bx8c在x1及

4、x2时取得极值.(1)求a、b的值；(2)若对于任意的x0,3,都有f(x)c2成立，求c的取值范围.解：(1)f(x)6x26ax3b),函数f(x)在x1及x2取得极值)则有f(1)0,f(2)0.即66a3b0,解得a3,b4.1 2412a3b0"丁)(2)由(1)可知)f(x)2x39x212x8c)f(x)6x218x126(x1)(x2)当x(0,1)时)f(x)0；当x(1,2)时)f(x)0；当x(2,3)时)f(x)0.，当x1时)f(x)取得极大值f(1)58c)又f(0)8c)f(3)98c.则当x0,3时)f(x)的最大值为f(3)98c.对于任意的x0,3

5、,有f(x)c2恒成立，.98cc2,解得c1或c9)因此c的取值范围为(，1)U(9,).最值法总结：区间给定情况下，转化为求函数在给定区间上的最值.【针对练习2】已知函数f(x)ax4lnxbx4c(x0)在x1处取得极值3c,其中a、b、c为常数.(1)试确定a、b的值；(2)讨论函数f(x)的单调区间；(3)若对任意x0,不等式f(x)2c2恒成立，求c的取值范围.解：【针哥号33】已疝由薮f(x)ax3y1(xR),其中a0.若在区间11上，22,f(x)0恒成立，求a的取值范围.解：【例题3】已知函数f(x)22Xln (x 1)-.1 x(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若不

6、等式(1：)nae对任意的nN都成立(其中e是自然对数的底数)，求a的最大值.解:(1)函数f(x)的定义域是(1，)一2 一一、21n(1 x) x 2xf (x) - 21 x (1 x)2(1 x)1n(1 x) (1 x)22x设g(x)2(1x)1n(1x)x22x.则g(x)21n(1x)2x)令h(x)21n(1x)2x)则22xh(x)2.1x1x当1x0时)h(x)0)h(x)在(1,0)上为增函数,当x0时,h(x)0,h(x)在(0,)上为减函数.h(x)在x0处取得极大值，而h(0)0,/.g(x)0(x0),函数g(x)在(1,)上为减函数.于是当1x0时)g(x)g

7、(0)0)当x0时)g(x)g(0)0.，当1x0时)f(x)0,f(x)在(1,0)上为增函数.当x0时)f(x)0)f(x)在(0,)上为减函数.故函数f(x)的单调递增区间为(1,0),单调递减区间为(0,).(2)不等式(1e等价于不等式(a)ln(1知,1a1ln(1-)n设G(x)ln(1x)x'(0,1)G(x)22(1 x)ln (1 x) x(1x)ln2x (1 x)ln (1 x)(1x)x2>>2i一由(1)知,ln2(1x)0,即(1x)ln2(1x)x201xG(x)0)x(0,1)于是G(x)在(0,1上为减函数.故函数G(x)在(0,1上的最

8、小值为G(1)，1.a的ln2最大值为工1.ln2小结：解决此类问题用的是恒成立问题的变量分离的方法，此类方法的解题步骤是：分离变量；构造函数(非变量一方)；对所构造的函数求最值(一般需要求导数，有时还需求两次导数)；写出变量的取值范围.【针对练习4】已知f(x)(x1)lnxx1,若xf(x)x2ax1,求a的取值范围.解：【针对练习5】若对所有的xe,)都有xlnxaxa成立，求实数a的取值范围.解：二、单参数放在区间上型：【例题4】已知二次函数f(x)ax35x2cxd图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0)并且f(x)在x3处有极值.(1)求f(x)的解析式；(2)当x(0,m)时，

9、f(x)0恒成立)求实数m的取值范围.解：(1);f(x)3ax210xc)f(1)3a10c)于是过点(1,8)处的切线为y8(3a10c)(x1),又切线经过点(3,0)3a6c0,;f(x)在x3处有极值)/.f(3)27a30c0)又f(1)a5cd8,.由解得：a1,c3,d9,Jf(x)x35x23x9.(2)f(x)3x210x3(3x1)(x3)由f(x)0得x-x23.3当x(0,-)时)f(x)0)f(x)单调递增)/.f(x)f(0)9；3当x(1,3)时)f(x)0)f(x)单调递减)/.f(x)f(3)0.3，当m3时)f(x)0在(0,m)内不恒成立)当且仅当m(0

10、,3时,f(x)0在(0,m)内恒成立，.m的取值范围为(0,3.【针对练习6(07陕西文)已知f(x)ax3bx2cx在区间0,1上是增函数，在区间(明(1,)上是减函数，又f(1),22(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间0,m(m0)上恒有f(x)x成立，求m的取值范围.解：三、双参数中知道其中一个参数的范围型：【例题5】已知函数f(x)xgb(x0),其中a,bR.x(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若对于任意的a；2,不等式f(x)10在1,1上恒成立，求b的取值范围.解：(1)f(x)1二.x当a0时,显然f(x)0(x0)这时f(x)在(，0)(0,)上内是增函数.当a0

11、时)令f(x)0)解得xg当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：x(,va)(va,0)(0,«)(/a,)f(x)0一0极f(x)f(x)在(，加，(日,)内是增函数,(0,)内是减函数.(2)法一：化归为最值.由(2)知，f(x)在4,1上的最大值为较大者，对于任意的a2,2,不等式f(x)10在1,1上恒成立)当且仅当在(«,0),心与f(1)的4 1一%)10 ,即f (1) 10b 39 4a)对a ；0成立.从而得b 7,，满足条件的b的取值范围是(，.4 14法二：变量分离. f(x) 10/. b 10 (x a),即 b 10 (x 旦)min

12、.x 1x2a x ag (x)1 一 0 ,x x上递减,g(x)最小值为g(x)g(x)10 (x -),x,1、，g(4) 4a39394 2 在J4744从而得b7,，满足条件的b的取值范围是(J.414或用ax2(10b)x)即x2(10b)x2)进一步分离变量得b10(x-)x利用导数可以得到10(x2)在x1时取得最小值x4从而得b7,，满足条件的b的取值范围是(，.414法三：变更主元.f(x)10在1,1上恒成立)即x旦b104x7a(a)x-b100,(a)的最大值为x7.x；,(a)在1,2递增，即4,27(2) x2b100.x以下同上法.说明：本题是在对于任意的a2,

13、2,f(x)1在1,1上恒成立相当于两次恒成立，这样的题，往往先保证一个恒成立，在此基础上，再保证另一个恒成立.四、强化练习(A)1、已知函数f(x)(x2|)(x：)对任意x1,x21,0,不等式1f3)fM)1m恒成立)试求m的取值范五、训练辅导双参数中的范围均未知型：f (x) x2 bx c (b,c R),对任【例题7】(10湖南理)已知函数意的xR)恒有f(x)f(x).(1)证明：当x。时，f(x)(xc)2；不等式b x2 bx c )(2)若对满足题设条件的任意bf(c)f(b)M(c2b2)恒成立)求M的最小值.解：(1)易知f(x)2xb.由题设，对任意的x即b2c 一4

14、x2 (b 2)x c b 0 恒成立)(b 2)24(c b)于是c 1 ,且c 2因此2cb c (c b) 0 .故当x。时，有(x c)2f(x)(2c b)x c(c 1) 0 , 即当x 0时,f(x)(x c)2 .由(1)知，当c |b|时，有f(c)f(b)c2 bt b ,则 111 , cc2 b2 bc b2c2 b2c 2b 12 -b c 1 tc 2bg(t) 241 t 1)的值域是(，/因此)当c |b|时)M的取值集合为当c |b|时)由(1)知，b 2, c 2.此时f(c)f(b) 8或0,C2b20.从而f(c)f(b)至C2b2)恒成立.综上所述，M

15、的最小值为3.223一一一一一一一一【针对练习8】若f(x)t图象上斜率为3的两切线间的距a离为坐,设g(x)f(x)岑3.5a(1)若函数g(x)在x1处有极值)求g(x)的解析式；(2)若函数g(x)在区间1,1上为增函数，且b2mb4g(x)在区间1,1上都成立，求实数m的取值范围.解：六、家庭作业布置：家长签字：(请您先检查确认孩子的作业完成后再签字)附件：堂堂清落地训练(坚持堂堂清，学习很爽心)1.双参数中的绝对值存在型：1设x3是函数f(x)(x2axb)e3x(xR)的一个极值点.(1)求a与b的关系式(用a表示b),并求f(x)的单调区间；(2)设a0,g(x)(a225)ex

16、,若存在i,20,4使得If(1)g(2)|1成立)求a的取值范围.解：(1)f(x)x2(a2)xbae3x)由f(3)0)得32(a2)3bae330)即得b32a,则_2_3x_3xf(x)x2(a2)x33ae(x3)(xa1)e.令f(x)0,得X3或x2a1,由于x3是极值点，xX2)即a4.当a4时，x23x、则在区间(,3)上)f(x)0)f(x)为减函数；在区间(3,a1)上)f(x)0)f(x)为增函数；在区间(a1,)上)f(x)0)f(x)为减函数.当a4时)x23x、则在区间(，a1)上)f(x)0,f(x)为减函数；在区间(a1,3)上)f(x)0,f(x)为增函数；在区间(3,)上)f(x)0)f(x)为减函数.(2)由(1)知，当a。时，a1。，f(x)在区间(0,3)上的单调递增，在区间(3,4)上单调递减，那么f(x)在区间0,4上的值域是minf(0),f(4),f(3)而f(0)(2a3)e