现代控制理论1

1、第九章第九章 控制系统的状态空间分析与设计控制系统的状态空间分析与设计控制系统的数学模型和状态空间法的基本概念控制系统的数学模型和状态空间法的基本概念1 1、（、（1 1）控制系统的数学模型）控制系统的数学模型模型模型动态模型动态模型静态模型静态模型内部模型内部模型外部模型外部模型（4 4）、内部模型和外部模型之间的关系；）、内部模型和外部模型之间的关系； 内部模型包含了外部模型的全部信息，具有更普遍的意义。内部模型包含了外部模型的全部信息，具有更普遍的意义。（3 3）、内部模型；）、内部模型；外部模型外部模型输入输入输出输出例如例如 传递函数传递函数（2 2）、外部模型；）、外部模型；动态系

2、统状态动态系统状态X(t)内部模型内部模型初始条件初始条件x(t)输入输入u(t)输入输入y(t)状态空间表达式状态空间表达式2、状态与状态变量、状态与状态变量（1）、状态）、状态 状态是系统理论中的一个专门术语，表达一个抽象但又基本状态是系统理论中的一个专门术语，表达一个抽象但又基本的概念。的概念。刚体或质点的运动刚体或质点的运动3、数学模型的建立、数学模型的建立ioUU例；求传递函数（1）、外部模型（传函）、外部模型（传函）（2）、状态变量）、状态变量 描述自控系统，指某给定时刻要想完全描述系统的运动所需要描述自控系统，指某给定时刻要想完全描述系统的运动所需要的的最少最少信息，状态变量和该

3、给定时刻开始的任意输入一起就足以完信息，状态变量和该给定时刻开始的任意输入一起就足以完全确定今后该系统在任意时刻的性状。全确定今后该系统在任意时刻的性状。RLCiUoUi解解；很很显显然然，.=+UUURCULCiooo1120+=RCsLCsUUi在得到上述结果时，隐含了中间变量，回路电流在得到上述结果时，隐含了中间变量，回路电流 i。若要把回路电流考虑在内则模型将变成若要把回路电流考虑在内则模型将变成（2）、内部模型（状态方程）、内部模型（状态方程）设回路电流为i；，有ioUUdtdiLRi,odtdUCi 微分方程组得作为状态变量列写一阶、选取；oiUdtdiULULiLRio11iCd

4、tdUo1一般写成；左边为状态变量的一般写成；左边为状态变量的一一阶微分阶微分，右边为状态变量和输入，右边为状态变量和输入变量的线性组合。变量的线性组合。将其写成矩阵表达式的形式为将其写成矩阵表达式的形式为oUiLLR1C01oUiiUL01称状态方程称状态方程同时，系统有同时，系统有输入输入，有，有输出输出，考虑系统的输出考虑系统的输出考考虑虑Uo，既是输出又是状态，可以写成；iUUoo01上式可改写成下面的矩阵表述形式UoiUo10称输出方程称输出方程可见，输出是状态可见，输出是状态的线性组合的线性组合定义状态方程和输出方程称系统的状态空间表达式UoiUo103、状态空间表达式是现代控制论

5、中的数学模型（1）、状态空间表达式是时域上一组一阶微分方程和输出方程。（2）、通过上例可见，状态方程既包含输出又包含系统的内部 状态，为系统的完全描述。（3）、要完全描述一个系统，需要确立一组独立的状态变量，其 个数等于系统的阶数，即系统中所包含的独立储能元件的 个数。一个n阶系统应确立n个状态变量。作业：作业：P.510 9-1 (1),(2)4、状态空间表达式的一般形式、状态空间表达式的一般形式个状态变量，阶系统，可选、一个nn) 1 (x1,nxx 2,状态向量；维组成一个nTnxxxX21一一般般用用列列向向量量来来表表示示对SISO系统n n阶阶系系统统uy状态空间表达式的一般形式为

6、状态空间表达式的一般形式为)()()(tButAXtX状状态态方方程程),()(tXCtyT输输出出方方程程)(0tXXo状状态态初初始始条条件件其中，维的列向量，为、nXX1维的列向量，为、nXX1为nnA为nnA的状态系数矩阵，的状态系数矩阵，输入对状态作用的控制Bn1Bn1矩阵，的输出矩阵，Cn1的输出矩阵，Cn1输出量。输入量， yu输出量。输入量， yuXXABuTCy结构框图结构框图对MIMO系统n阶系统1puqy1状态空间表达式为BUAXXXCYTBTCAXXYU）、需要说明的问题（2称状态空间表达式。、状态方程加输出方程1 联的系统称惯性系统。、输入和输出无直接关2 。联的系统

7、称非惯性系统、输入和输出有直接关3称直接传递矩阵。，此时输出方程为DDUXCYTBTCAXXYUD5、状态空间表达式的特点、状态空间表达式的特点统。、闭环系子系统、总系统，开环、任何线性系统，无论(1)，动态方程都可以写成MIMOSISOXCYBUAXXT=+=的形式。统构成的负反馈系统；例、如图；由两个子系1S2S1U2U2YYU1Y111111111Y:XCUBXAXST、222222222YXCUBXAXST：求系统的状态空间表达式求系统的状态空间表达式XXX21XACBCBATT212211B01UYY1XCXCTT0111答案答案强调；现代控制论内容的叙述主要针对以上标准的数学模型，

8、研究带有普遍性的规律，一般不涉及具体的对象。(2)、求解状态方程，很容易考虑其初始条件，可得到系统 的全解。 （3）、完全描述一个系统所需的状态变量个数是由系统的阶数确定的。但状态变量的选取是不唯一的，实践中经常选择一些能够很容易测量的量作为系统的状态变量。 状态的不唯一性关于状态不唯一性关于状态不唯一性、设XCYBUAXXT 有选择非奇异矩阵PP 0,存在线性非奇异变换。，或XPXPXX 1则有 X XP 1BUAXP 1BUPAPXP 11UBXA 而XCCPXXCYTT T注意：注意：P不唯一不唯一关于特征值的唯一性关于特征值的唯一性、设XCYBUAXXT 有选择非奇异矩阵PP 0,。，

9、或存在线性非奇异变换XPXPXX 1,XCYUBXAXT可得系统系统1系统系统2 0 AI其特征方程为，01APPI其特征方程为，结论：系统结论：系统1和系统和系统2的特征方程形式不同，但相等。的特征方程形式不同，但相等。AIAPPI1APPI1APPPP11APPPP11PAIP1PAIP1AIPP1AI 复习线性代数有关特征值特征向量的有关内容复习线性代数有关特征值特征向量的有关内容线性定常系统状态空间表达式的建立线性定常系统状态空间表达式的建立，若存在一个线一个传递函数、现代控制论中，给定)(1sG传递函数，达式，使之具有原来的性常系数的状态空间表可以实现的充实现的。传递函数则称此传递函

10、数是可以)(sG函数或真有理函数。必须是一个严格真有理分必要条件：)(sG的实现不是唯一的。、同一个)(2sG传递函数状态空间表达式3、已知系统传递函数，求其几种实现、已知系统传递函数，求其几种实现，求其实现。例：系统传递函数为，8147158)(232sssssUYsG1、能控标准形实现。解：)(VUVVYsG，使引入中间变量8147158232sssss81471UV23sss令158ssVY2域的微分方程得两个传递函数变换到时零初始条件下，将上述8v14v7vuv15vv8vy1 ）、选择状态变量，（vx,1vx,2vx,3则有x1x2x2x3x3uxxx7148321)2(、列写状态方

11、程为：X xxx321XX0101007148u1003）、输出方程为（y X1815321xxxX321xxxX数为、一般情况，若传递函)4(sG)(asasasbsbsbsbnnnmmmm1211211可得：XX001001001000aaaan321u1000Xy 输输出出方方程程为为bbbm 12100具有上述形式时，、达式、说明：当状态空间表BA（5）能能控控标标准准形形实实现现能能控控标标准准形形实实现现系数之间的关系。和分母各项元素和对应的传函分子、实现中请大家注意能控标准型BA系数之间的关系。和分母各项元素和对应的传函分子、实现中请大家注意能控标准型BA2、能观标准型实现814

12、7158)(232ssssssG已知：)()(sUsY对应到时域上有：y 7 y14 y8yu8u15u变换考虑初始条件进行拉氏)(3sYs)0(2ys)0(ys)0(y72Ys)0(sy)0(y14sY )0(y8Y)0()0(2usuUs)0(8usU 15U对上式进行合并整理得Y(s)在在左左边边， U(s)在在右右边边)()8147(23sYsss)()158(2sUssy(0)s2)0()0(7)0(suyy )0(8)0()0(14)0(7)0(uuyyytytusss012)()(确定唯一的定的项系数已知，则可有给、若初始条件已知，即tytusss012)()(确定唯一的定的项系

13、数已知，则可有给、若初始条件已知，即1选择）、确定状态变量，若（uuyyyx18147uyyx27yx 32）、列写状态方程（x 1ux 3158x2uxx31814x3uxx327y 7 y14 y8yu8u15u）、写成矩阵形式（3uXX15800814011710而输出方程为100yX）、一般情况若（4asasasbsbsbsbsGnnnmmmm)(1211211uXXuXXa00001 a00001a00012 a00012a00103 a00103an00001an00001an1000 an1000bbbm0121bbbm0121Xy Xy 1000010000能能观观标标准准型型

14、能能观观标标准准型型）、说明：（ 1 5）、说明：（ 1 5的关系。分子分母各项系数之间中各元素和、请注意sGCA)(的关系。分子分母各项系数之间中各元素和、请注意sGCA)(互为转置。和互为转置，观标准型实现中，、能控、能CBA23、对角标准型实现8147158)(232ssssssG例；)4)(2)(1(1582sssss421sss382361 sUsY)()(sUsY461223138sss于是有；) 1 ( 、选状态变量),(11)(1sUssX),(21)(2sUssX)(41)(3sUssX）、列方程有（2x 1x 2x 3ux 1ux 22ux 43而y ；xxx6123383

15、21即uXX421111。Xy612338对对角角标标准准型型（3）、一般情况asasasbsbsbsbsGnnnmmmm)(1211211niiissC1若传递函数的特征根两两互异则对角标准型实现为uXXs1s2sn111Xy C1C2Cn此时，系统各状态称解耦 的。若传递函数有 重根 分情况，可将系统化 A为对角标准型或准对角标准型Jordan 标准型）。（Jordan 标准型）。参参考考自自动动控控制制原原理理下下册册清清华华大大学学 吴吴麒麒 P.3特特征征值值规规范范型型例子例：化成约当规范型的三重根一严格真有理函数，有1s和两两互异特征根32ss。，后得到解：传递函数因式分解)(s

16、G设设)()(12131ssssss131211CCC22ssC33ssC即 Y )(sU)()(332211321123111ssCssCssCssCssC选取X11Uss31)(1UssX2112)(1UssX1131UssX221UssX331即sx111x11x12xxsx1312112uxsx13113uxsx222uxsx333x11x12x13x2x3uXs11000s10001s10000s20000s3000000111Xy CCC131211CC32约约当当块块4、总结：、总结：1、可见对于同一个外部模型描述的系统，其状态空间表达式的实、可见对于同一个外部模型描述的系统，其

17、状态空间表达式的实 现是不唯一的。现是不唯一的。2、若传递函数、若传递函数G(s)为严格真有理分式或有理分式并且无公因式，为严格真有理分式或有理分式并且无公因式，在实现中所得的状态方程的维数是最小的，等于传函数的分母多项在实现中所得的状态方程的维数是最小的，等于传函数的分母多项式的阶次。称式的阶次。称这种实现为最小实现这种实现为最小实现。且最小实现是不唯一的。且最小实现是不唯一的。3、反过来，从状态方程到传递函数时，若所得的传函的阶次小、反过来，从状态方程到传递函数时，若所得的传函的阶次小于状态方程的维数，则说明在传递函数的分子分母中，有零极点于状态方程的维数，则说明在传递函数的分子分母中，有

18、零极点相消此时状态方程就是该传递函数的一种相消此时状态方程就是该传递函数的一种非最小实现非最小实现。思考：状态方程间的线性变换，从能控标准型到能观标准型，到思考：状态方程间的线性变换，从能控标准型到能观标准型，到对角标准型或约当标准型。对角标准型或约当标准型。关于状态变量图关于状态变量图1、用途：、用途： 用状态空间法分析问题时，当建立了状态空间表达式以后，可用状态空间法分析问题时，当建立了状态空间表达式以后，可以画出其状态变量图，借助模拟线路或计算机就可以实现一个系统以画出其状态变量图，借助模拟线路或计算机就可以实现一个系统的仿真。的仿真。2、例：已知状态空间表达式，、例：已知状态空间表达式

19、，uXX,1007148100010Xy021画状态变量图。画状态变量图。1:方程展开得）、将状态方程和输出（解21xx3x 2x3x3217148uxxxy 而212xx （2）、画图，遵从从输入到输出，从左到右的原则1x1x2x3xu-8-14-7y2关于由状态空间表达式求传递函数关于由状态空间表达式求传递函数(阵阵)示示方方法法、状状态态空空间间表表达达式式的的表表1 ，）、若若已已知知（DUCXYBUAXX1则则可可以以写写成成 ），（DCBA ，若若已已知知、CXYBUAXX(2)则则写写成成 ），（CBA），（统统、已已知知线线性性定定常常连连续续系系2CBA 求求；)()(sUsY利利用用拉拉氏氏变变换换解解；CXYBUAXX 已已知知；得得 ssX)( sAX)( sBU)(sY)( sCX)(有有sBUAsICsY1)()()( 即即sUsY)()( sUsY)()( SISO系系统统SISO系系统统BAsIC1)( BAsIC1)( sG)( sG)( 、矩矩阵阵求求逆逆问问题题3。存存在在，并并，存存在在且且非非奇奇异异，则则）、