抛物线及其标准方程教学导案(理科)

1、抛物线及其标准方程教案科作者:日期:抛物线及其标准方程教案理科适用学科高中数学适用年级高中二年级适用区域通用课时时长分钟60知识点抛物线的定义、抛物线的标准方程及相关运算教学目标1 理解抛物线定义及其限制条件；理解抛物线标准方程的推导；理解抛物线标准方程中p的意义；2 掌握抛物线定义；掌握求抛物线标准方程的方法；3 培养应用代数知识进行代数式的同解变形能力和化简能力.教学重点抛物线的定义、抛物线的标准方程、坐标化的根本思想教学难点抛物线标准方程的推导与化简，坐标法的应用教学过程一、课堂导入在初中，我们学习了二次函数y ax2 bx c ,知道二次函数的图象是一条抛物线,例如：1y4x2，y 4

2、x2的图象如下列图：那么，什么样的曲线是抛物线，它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？这就是我们今天要研究的内容二、复习预习我们知道，与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0 v e v1时是椭圆，当e> 1时是双曲线那么，当e= 1时它是什么曲线呢？把一根直尺固定在图板上直线I的位置如下列图把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的 一端固定在三角尺的另一条直角边的一点 A,取绳长等于点A到直角顶点C的长即点A到直线I的距离，并且把绳子 的另一端固定在图板上的一点 F 用铅笔尖扣着绳子，使点 A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺 上

3、下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线.从图中可以看出，这条曲线上任意一点 P到F的距离与它到直线I的距离相等把图板绕点F旋转90°，曲线就是 初中见过的抛物线.平面内与一个定点 F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹叫做 抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线I叫做抛物 线的准线三、知识讲解抛物线的标准方程及准线方程F面根据抛物线的定义，我们来求抛物线的方程.如下列图，建立直角坐标系xOy,使x轴经过点F且垂直于直线I，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合.设| KF | pp 0，那么焦点F的坐标为号,0，准线方程是x 号.设点Mx, y是抛物线上任意一点，点 M到I的距 离为d由抛物线

4、的定义，抛物线就是集合 P= M|MF|=d .MF|=Jx 子2 y2d |x 号1,Jx £2 y2 ix fl将上式两边平方并化简，得y2 2pxp 0方程叫做抛物线的标准方程它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是卫,0，它的准线方程是x 卫.2 2一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同.所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y22px ,，x2 2py， x22py .这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程列表如下：图形标准方程焦点坐标准线方程y 4 py 22 px(P 0)P ,0x卫2fl1y2 2px(P 0)号，ox卫2Vf丿o*x

5、22 py(P0)0，子Py27X22 py(p 0)(Qf)y 2对表格的说明：方便学生掌握统观四种情况1pp 0表示焦点F到准线I的距离；2 抛物线标准方程，左边为二次，右边为一次。假设一次项是x,那么对称轴为x轴，焦点在x轴上；假设一次项是y, 那么对称轴为y轴，焦点在y轴上；对称轴看一次项3 标准方程中一次项前面的系数为正数，那么开口方向坐标轴正方向；假设一次项前面的系数为负数，那么开口方向为坐标轴负方向；符号决定开口方向四、例题精析例1(1)抛物线的标准方程是y2 6x，求它的焦点坐标和准线方程;(2)抛物线的焦点是F 0, 2，求它的标准方程.33【标准解答】解：(1)因为p 3，

6、所以抛物线的焦点坐标为 |,0 ，准线方程为x |(2)因为抛物线的焦点在y轴上，所以抛物线方程为x28y .【总结与反思】p的值得到焦点坐标和准线方程。(1)先看清一次项，判定对称轴与焦点所在位置，画草图，再求出 (2)先判定出焦点在y轴上，从而得到一次项为y，再求出p的值进而写出方程.例2指出抛物线的焦点坐标、准线方程.(1 ) x2 4y2(2) x ay (a 0)【标准解答】解：1 p 2，二焦点坐标是0 , 1,准线方程是：y 1【总结与反思】2原抛物线方程为：y2丄x，a2p当a 0时，P 丄，抛物线开口向右,2 4a1焦点坐标是一 ,0，准线方程是：x4a14a当a 0时，舟&

7、#163;，抛物线开口向左,1焦点坐标是一 ,0，准线方程是：x4a14a综合上述，当a 0时，抛物线x ay2的焦点坐标为丄,0，准线方程是:4a14a1先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程.2先把方程化为标准方程形式，再对 a进行讨论，确定是哪一种后，求 p及焦点坐标与准线方程.例3假设直线ykx 2与抛物线y2 8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2,求此直线方程.【标准解答】解法一：设A(Xi,yJ、B(x2,y2)，那么由:y kx 2y2 8x可得：几2(4k 8)x 40 直线与抛物线相交,AB中点横坐标为:x-i x2 4k 82k22

8、，解得：k1 (舍去).故所求直线方程为:解法二：设 A(Xi, yi)、2B(x2,y2)，那么有 y128x1 y28x2.两式作差解：(y2)(yi y2) 8(人 x?)，即力y2x1x28yiy2X1 X24y1y2 kx12 kx22 k(x1 x2) 44k 4 ,2或k 1 (舍去).贝U所求直线方程为：y2x 2 .【总结与反思】由直线与抛物线相交利用韦达定理列出 k的方程求解.另由于与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法求k.例4求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切【标准解答】证明:(如下列图) 作AAi l于A,BB l于Bi . M为AB中点，作

9、MM il 于 Mi ,那么由抛物线的定义可知：|aa| |af,bBi bf在直角梯形BBAA中：1 1 1|MMi| 2(AAi| |BBi)2(AF |BF|)1MMi - AB，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切.2【反思与总结】类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交.可设抛物线方程为y22px(p 0).只须证明£mm-，那么以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切.五、课堂运用【根底】1、如图过抛物线y2 2pxp那么A'FB'为，A 大于等于900的焦点F作弦AB , l为准线，过A、B作I的垂线，垂

10、足分别为A'、B',AF'B 为.B 小于等于90C.等于90 D.不确定 a'fb' 90 .选 C.过AB中点M作MM '1那么 MM '-(AA' BB')l，垂中为M',11-(AF BF )-|AB22【答案】C、B【标准解答】解：点A在抛物线上，由抛物线定义，那么|aa|AF1 2，又AA'/x轴13 .二 23，同理46，而2364180，二 36 90，'.以AB为直径的圆与直线I相切，切点为M 又F'在圆的外部，二 AFB 90 .特别地，当AB x轴时，M'与F&

11、#39;重合， AF'B 90 .即 AF'B 90，选B.PM PF取最小值时,2、点M(3,2) , F为抛物线y2 2x的焦点，点P在该抛物线上移动,点P的坐标为【答案】2,2【标准解答】解：如图,由定义知PF| |PE，故PM| I PFPF1 PM ME MN 3 2取等号时，M、P、E三点共线，二P点纵坐标为2,代入方程，求出其横坐标为2,所以P点坐标为2,2.3、定直线I及定点A A不在I上，n为过A且垂直于I的直线，设N为I上任一点，AN的垂直平分线交n于B, 点B关于AN的对称点为P,求证P的轨迹为抛物线.【标准解答】证明：如下图，连结 PA、PN、NB.由条

12、件可知：PB垂直平分NA,且B关于AN的对称点为P. AN也垂直平分PB.贝U四边形PABN为菱形.即有PA PN .AB I. PN I.那么P点符合抛物线上点的条件：到定点 A的距离与到定直线的距离相等，所以 P点的轨迹为抛物线.4、假设线段RP2为抛物线C: y2 2px(p 0)的一条焦点弦，F为C的焦点，求证：2P2FpRF【标准解答】证明一：F才,0，假设过F的直线即线段RP2所在直线斜率不存在时,那么有 PiFRFp,假设线段RF2所在直线斜率存在时，设为k,那么此直线为:0)，且设 P(Xi,yJ,F2(X2,y2).k(x 号)2得得 k(x p2k2x2 p(k22)xk2

13、pXiX22P(k 2)k24根据抛物线定义有:PiFXiP2FXiPiP2XiX2 p那么RFP2F Xi X2pXi x?p、|RF|P2F|rf|p2f|/p、p、pp2I1 II2 II1 I2 I(Xi-)(X2-)X1X2-(Xi X2)2 2 2 4112请将代入并化简得：11 -|PF|P2F| p证明二：如下图，设R、P、F点在C的准线I上的射影分别是R、P2、F，且不妨设IP2P2 n m PP，又设P2点在FF、RR上的射影分别是A、B点，由抛物线定义知，P2Fn, P1F m, FF p又 RAF s P2BP1，AFP2FBP1P2Pp(m n) 2mn1 1 2Ir

14、iif1 FfH-r» 17故原命题成立.【稳固】 1、设抛物线方程为y2 2px(p 0)，过焦点F的弦AB的倾斜角为，求证：焦点弦长为ABsinpy tan (x )2【标准解答】证明一：抛物线y2 2px(p 0)的焦点为(-P,0)，过焦点的弦AB所在的直线方程为：2由方程组 y 上*门(X 2)消去 y 得: 4x2 tan24p(tan2 ) p2tan20y2 2pxXi那么X2p(tan22)“ 小 2、严p(1 2 cot )设 A(x1,y1), B(X2,y2)，2 an又 yy tan (N X2)XiX2p4X2x1/VABX2XI4X2x1/V2P- 4抛

15、物线定义有:I2222十 sec 4p cot (1 cot )厂4p . 4 sin2p.2sin即 AB|2P-sin证明二：如下图，分别作AA、BR垂直于准线I.由af| |aa| |af cos pBFBBi p BF| cos于是可得出：|AF- BF-1 cos1 cos|ab| |af bfp_p_1 cos 1 cos 2p21 cos2p2sin故原命题成立.2、定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2 x上移动，求AB的中点到y轴的距离的最小值，并求出此时 AB中点的坐标.【标准解答】解：如图，设F是y2x的焦点,A、B两点到准线的垂线分别是 AC、BD，又M到准线的垂线

16、为MN，C、D和N是垂足，那么 MN1AC BD 1AF |BF g|AB 3 .1315设M点的横坐标为x，纵坐标为y，MN | x -，那么x -.42 4 4等式成立的条件是AB过点F .当 x 一时，y-y24P24，故yi y222 2yiy22y-y22x -2525yi y22， y所以m5,牙，此时M到y轴的距离的最小值为4 .uXTN6C【拔高】 1、过抛物线y 2px的焦点F作倾斜角为 的直线，交抛物线于A、B两点，求AB的最小值.【标准解答】解：1 假设3,此时 AB*2p .'，因有两交点，所以2AB: ytanX 自，即 代入抛物线方程，有ytan2 2py

17、y ptan故(y2 %)2tan2 2 24p 4p csc(X2 Xi )2S %)2ta n22 / 2 csc 4p 2 tan故AB4 p2csc2(11tan2)4p24CSC2p2 sin综合(1 )( 2 )，当所以AB2p .因I，所以这里不能取“=时2时,AB最小值 2 p .2、圆锥曲线C经过定点P(3,2J3)，它的一个焦点为F (1 , 0),对应于该焦点的准线为x 1，过焦点F任意作曲 线C的弦AB,假设弦AB的长度不超过8,且直线AB与椭圆3x2 2y22相交于不同的两点，求：(1) AB的倾斜角 的取值范围.(2) 设直线AB与椭圆相交于C、D两点，求CD中点M

18、的轨迹方程.【标准解答】解：1 由得|PF| 4 故P到x 1的距离d 4，从而| PF| d曲线C是抛物线，其方程为y2*4x 设直线AB的斜率为k,假设k不存在，那么直线AB与3x2 2y2 2无交点.'k存在.设AB的方程为yk(x 1)，由4xk(x 1)可得:ky2 4y 4k4设A、B坐标分别为咅，、X2, y?，贝U：力史W y 4 kAB f1 右 y22 k 7y2)2 4y2k4(1 k2)k2弦AB的长度不超过8,4(1 k2)8 即 k2 1y k(x 1)2222由 22 得：(2k3)x 4k x 2(k1)3x 2yAB与椭圆相交于不同的两点，k2由k21和k23可得：1 k i.3或31.故1，二所求的取值范围是:(2)设 CD 中点 M (x, y)、eg y3)、D(x4,y4)y3x2k(x 1)2y2得:(2k22 2 23)x 4k x 2(k1)X3X42k2, X3 花3xX3X42k222k2 3x132k231k23522k239那么25112k22 22即23354k22x322(