指数函数和对数函数的重点知识

1、指数函数和对数函数的重点知识重点、难点：重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数Xy a ，y log a x在a 1及0 a 1两种不同情况。1、指数函数：定义：函数y ax a 0且a 1叫指数函数。定义域为R底数是常数， 为什么要求函数y a指数是自变量。中的a必须a因为假设a0时，yX4 ，当x0且 a1时，函4数值不存在。0，y1时，a1,但yXy a0X，当 xy1X对一切1X的反函数不存在,中的a 0且 a0，函数值不存在。x虽有意义，函数值恒为因为要求函数1、对三个指数函数y 2X，y的图象的认识。10

2、巧-ior0图象特征与函数性质:图象特征函数性质1图象都位于X轴上方；1x取任何实数值时，都有 ax 0 ；2图象都经过点0，1；2无论a取任何正数，x 0时，y 1 ；3y 2 ，y 10在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，1 Xy- 的图象正好相反；2x 0，那么 ax 13当a 1时，x 0，那么 ax 1x 0，那么 ax 1 当0 a 1时，x 0，那么 ax 1XX4y 2，y 10的图象自左到右逐渐X1上升，y丄 的图象逐渐下降。24当a 1时，y ax是增函数， 当0 a 1时，y a是减函数。对图象的进一步认识，通过三个函数相互关系的比拟：所有指数函数

3、的图象交叉 相交于点0，1，如y 2X和y 10x相交于0，1，当x 0时，y 10x的图象在y 2x的图象的上方，当x 0，刚好相反，故有102 22及10 2 2 2。y 2x与yx的图象关于y轴对称。通过y2x,10x,a 0且a 1丨的示意图，如x1三个函数图象，可以画出任意一个函数y ax23x的图象，一定位于 y 2x和y间，且过点(0, 1)，从而yyx1也由关于y轴的对称性，可得 y310x两个图象的中x11的示意图，即3通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。2、对数：定义：如果ab N(a 0且a 1)，那么数b就叫做以a为底的对数，记作b loga N a是底数，

4、N是真数，log a N是对数式。由于N ab 0故loga N中N必须大于0。当N为零的负数时对数不存在。1对数式与指数式的互化。由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如:.5/2求 lOg 0.324分析：对于初学者来说,对上述问题一般是束手无策，假设将它写成log032竺24再改写为指数式就比拟好办。解：设 lOg 0.325/24那么 0.32 x524即82582512即 log 0.325.24评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。如求 3x5中的x ,化为对数式x log35即成。2对数恒等式：由 abN

5、 (1) b loga N (2)将2代入1得 alogaNN运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幕的底数和对log i 23数的底数相同。计算:解：原式12吨1 23对数的性质： 负数和零没有对数； 1的对数是零； 底数的对数等于1。4对数的运算法那么： log a MN log a M log a N M，N R log a log a M log a N M， N RN log a N n n log a N N R. 1 log a n N loga N N RV二1叫工n3、对数函数：定义：指数函数 y ax(a 0且a 1)的反函 数y log a x

6、x (0,)叫做对数函数。1、对三个对数函数 y log 2 x， y log 1 x，2y lg x的图象的认识。图象特征与函数性质：图象特征函数性质1图象都位于 y轴右侧；1定义域：戌，值或：R;2图象都过点1，0；2x 1 时，y 0。即 log a 10 ；3y log 2 x，y lg x 当 x 1 时，图象 在x轴上方，当Ox 0时，图象在x轴下 方，y log 1 x与上述情况刚好相反；23当a 1时，假设x 1，那么y 0，假 设 0 x 1，那么 y 0 ;当0 a 1时，假设x 0，那么y 0，假设0 x 1 时，那么 y 0 ；4y log2 x， y lg x从左向右

7、图象是上 升，而y log 1 x从左向右图象是下降。24a 1时，y loga x是增函数；0 a 1时，y loga x是减函数。对图象的进一步的认识通过三个函数图象的相互关系的比拟：1所有对数函数的图象都过点1,0，但是y log2 x与y lg x在点1,0丨曲线是交叉的，即当 x 0时，y log 2 x的图象在y lg x的图象上方；而 0 x 1时，y log2 x的图象在y lg x的图象的下方，故有：log215 lg15 ； log201 lg 01。2y log2 x的图象与y log 1 x的图象关于x轴对称。23通过y log 2 x , y Ig x , y log

8、 1 x三个函数图象，可以作出任意一个对数2函数的示意图，如作y log3x的图象，它一定位于y log2 x和y lg x两个图象的中间, 且过点1,0丨，x 0时，在y lg x的上方，而位于 y log 2 x的下方，0 x 1时， 刚好相反，那么对称性，可知 y log1 x的示意图。3因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。4、对数换底公式：loga Nlogabloge N其中e 2.71828称为N的自然对数N称为常数对数logb NLnNLgN由换底公式可得：L N刖 lg elog10lg N 2.303lg N0.4343由换底公式推出一些常用的结论：1 、或 log a b log ba 11logablogabm3bnlog bam.,log a b nloga bloga5、指数方程与对数方程*定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。 在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。指数方程的题型与解法:名称题型解法根本型 同底数型f X .abf (x)(x)aa取以a为底的对数f x loga b 取以a为底的对数f xx不同底数型需代换型f x.xabFax0取同底的对数