抽象函数经典习题

1、经典习题11假设函数f(2x 1)的定义域为1,3，那么函数f(log2x)的定义域为( )A.丄,2B.丄,2C. -,t2D.222222.假设 f(n 1)f(n) 1(nN*),且f(1)=2,那么f(100)的值是()A. 102B. 99C. 101D.1003. 定义 R 上的函数 f(x)满足：f(xy) f(x) f (y), 且 f (9) 8,那么 f(、3) A.2 B. 2 C. 4 D. 64. 定义在区间-1 , 1上的减函数f(x)满足：f ( x) f (x)。假 设f(1 a) f(1 a2) 0恒成立，那么实数a的取值范围是5. 函数f(x)是定义在(0,

2、+)上的增函数，对正实数x,y,都有:f(xy) f(x) f(y)成立.那么不等式f(log2X)0的解集是6. 函数f(x)是定义在-X, 3上的减函数， f (a2 sin x) f (a 1 cos2 x)对x R恒成立，求实数a的取值范围。7. f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a,b R,都满足:f(a?b) af(b) bf(a).(1)求f(0), f的值;判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(3)假设f(2) 2,Un卫(n N*),求数列 Un的前n项和盼 n8. 定义在R上的函数y=f(x) , f(0)工0,当x>0时，f(x)>1，且对任

3、意的 a、b R,有 f(a+b)=f(a)f(b),(1) 求证：f(0)=1 ；(2) 求证：对任意的x R 恒有f(x)>0 ;3证明：f(x)是R上的增函数；4假设f(x) f(2x-x 2)>1，求x的取值范围。9. 函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有11 1f (m n) f(m) f (n)-,且 f (§) 0,当 x -时,f (x) >0.(1)求 f(1);求和 f(1) f(2)f(3) . f(n) (n N*)；(3) 判断函数f(x)的单调性，并证明.10. 函数f(x)的定义域为R,并满足以下条件：对任意x R,有1f(x

4、)>0;对任意 x,y R,有 f(xy) f(x)y ; f(§) 1.(1)求f(0)的值;求证:f(x)在R上是单调减函数；(3)假设 a b c 0且 b2 ac,求证:f(a) f (c) 2 f (b).11. 函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有f (m n) f(m)?f( n),且当 x 0 时,0 f (x) 1.(1)证明:f (0)1,且x 0时,f(x)>1;证明:f (x)在R上单调递减；设 A=(x, y) f(x2)?f (y2)f(1),B= (x,y) f (ax y 2) 1,a R,假设ADB=,试确定a的取值范围.12.

5、 函数f(x)是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线x 1对称.(1)求f(0)的值；证明:函数f(x)是周期函数；假设f(x) x(0 x 1),求当x R时，函数f(x)的解析式，并画出满 足 条件的函数f(x)至少一个周期的图象.13. 函数f(x)对于 x>0 有意义，且满足条件f (2)1, f (xy) f (x) f (y), f (x)是减函数。1证明:f(1) 0 ；2假设f(x) f(x 3) 2成立，求x的取值范围。14. 设函数 f(x)在(,)上满足 f(2 x) f(2 x)，f(7 x) f(7 x)，且在闭区间0, 7上，只有f(1)f(3) 0 .1试

6、判断函数y f(x)的奇偶性；2试求方程f(x) =0在闭区间-2005, 2005上的根的个数，并证明你的结论1. B2. A3. A4.0 a2解:由f(1a)f (1 a2)0得,11 a10 a 2f(1a) f (a2 1),得1a2 112 a 2且 a0 0a .21 aia212 a 15.x1x 2 ；解：令x y1,贝 U f (1)2f(1)f(1)0 ,那么f (log2X) f (1)lOg2x 1log；2Xlog 2 2 x2.函数f(x)是定义在(0, + a)上的增函数l og2 x 0 x 1由得，不等式的解集为x1 x 26.f (a2 sinx)f (a

7、 1 cos2 x)等价于2 asin x32 a3sin x2 a31a21 cosx3a22cos xa202 asin xa21 cos x2 aa1 cos x sinx2 aa1 §a 2110十a或a2、2 a1 101 10247. 1解：令 a b 0，那么 f(0) 0令 a b 1，贝U f (1) 2f(1)f(1) 02证明：令 a b 1，贝U f (1) 2f ( 1), / f(1) 0 ,二 f( 1) 0令 a x,b 1，贝U f( x) xf( 1) f(x) f(x)二f(x)是奇函数。3当 ab 0时，f(a?b)abf(b)b嶋，令g(x)

8、号，那么g(a?b) g(a) g(b)故 g(an) ng(a)，所以f(an)?g(an) nang(a) nan 1f (a)-f(2)f(2 n)n2, f(1)12 ?91f(2?2)2f1-f(2)4故Un?1211丄2 2"TT28. 1令 a=b=0,那么 f(O)=f(O)2令 a=x， b=-x 贝U f(0)=f(x)f(-x)2v f(0)工 0 f(0)=1-f(x) fX)由x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，f(x)己0 又 x=0 时，f(0)=1>0二对任意 x R, f(x)>0(3)任取 X2>X1，

9、那么 f(x 2)>0, f(x 1)>0,f(X2)f(X2) f ( X1 ) f (X2X1 ) 1f (X1) f(x 2)>f(x 1) f(x)在 R上是增函数4f(x) f(2x-x 2)=fx+(2x-x2)=f(-xf(x)在R上递增-x>0 , f(-x)>0X2-X 1>02+3x)又 1= f(0),由 f(3x-x 2)>f(0)得：3x-x2>0 二 0<x<39. 8. i 解：令mni2，那么i if(2 2)2f(i)12if7,2iT f亍f(ni)f(i)f(n) if2(n)12 f(n) i

10、f (n i)f (n)i数列f(n)是以1为首项,i为公差的等差数列，故f(i) f(2)f(3)5)专 n(n2 i)=任取Xi,X2 R,且Xi X2,那么f(X2)f (Xi)f(X2iiXi)x-f(Xi)f (X2Xi)f(Xi)-f (Xi)f (X2Xi)-if (X2 N -) 0 f (Xi) f(X2)函数f(X)是R上的单调增函数10.9.(1)解:T 对任意 x R ,有 f(x) >0, 令 x 0,y 2得,f(0) f(o)2f(0) 1 任取任取Xi,X2R,且XiX2,那么令x1- p,x2- p2,故PiP233函数f(x)的定义域为R,并满足以下条

11、件：对任意X R,有f(x) >0；对任意 x,y R,有 f(xy) f (x)y ； f(-) 13 f(G f(x2)f(3Pi) f(-P2)f(3)Pi f(3)P2 0 - f (Xi) f (X2)函数f(x)是R上的单调减函数.(3)由i2知，f(b) f(0) i, f(b) iccb? f (b) bb二 f(a) f(c)二 2 f(b) bacf(b) b f(b)B 2：f(b)b，而 a c 2五 2、b22b:. 2b2 f(b) b2f(b)二 f(a) f(c)2f(b)ii. (i)证明:令m0,n I ,那么 f(0 i) f(0)?f (i)f(x

12、) i,故 f (i) 0, A f(0) i, T当 x 0时,0 f (x) 10,那么 f( X X) f ( X)? f (X)(2)证明:任取Xi ,X2 R,且 Xi X2,贝yf(X2) f (Xi)f(X2 为)x f (Xi) f (X2 为)？仁为)f(xjf(X2 Xi)1f (Xi)X2 Xi 0 , A 0<0 f (X2 Xi) i,故 f (X2 Xi) i <0,又f(xi)0,f(X2 Xi) 1f (Xi) 0，故 f (Xi)f (X2)函数f(X)是R上的单调减函数. T A (x,y) f(x2)?f(y2)f(1)(X, y) f(X2

13、y2) f(i)由2知，f(x)是R上的减函数，y2 i：B= (X,y) f (ax2) i,a R= x,yax y2 0,a R2A方程组Xax无解，即直线ax00与单位圆x2 y2 1的内部无公共点a aT f (a) f (b?) f (b) b, f (c) b1 a23.3 a .3，故a的取值范围是-3 a 、312.(1)解:V f(x)为R上的奇函数，二对任意x R,都有f( X) f(x),令 x 0,那么 f( 0)f(0)二 f(0) =0证明:V f(x)为R上的奇函数，对任意x R,都有 f( x) f (x),V f(x)的图象关于直线x 1对称，对任意x R,

14、都有f(1 x) f(1 x), 用1 x 代 x 得，f(2 x) f1 (1x) f( x)f(x) f2(2x) f(x 2) f(x)f(x),即 f(4x)f(x) f(x)是周期函数,4是其周期.(3)当 xx( 1 x 1)1,3 时，f(x)'x 2(1 x 3)当4k 1x 4k 1 时，f(x) x 4k , k Z当4k 1x 4k 3 时，f(x) x 2 4k , k Z f(x)x 4k(4k 1 x 4k 1) ,z Rx 2 4k(4k 1 x 4k 3)图象如下:13. (1)证明：令x y那么f(11)f(1) f(1)，故f(1) 02I f(2)

15、1，令x2，那么f(22) f(2)f(2)2 ,二 f(4)2f(x) f (x 3)2fx(x 3)f(4)f(x23x)f(4)x23x 4二 f(x) f (x 3)2成立的X的取值范围是得函数y f(x)的对称轴14. 解：1由 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)7,从而知函数y f(x)不是奇函数,由：(2x)x)f(x)f(x 10),从而知函数yf(x)的周期为T 10又 f(3)f(0)0,而 f(7)0,故函数y f(x)是非奇非偶函数；f(2 x)f(7 x)f(2 x)f (x)f(7 x)f (x)f(4 x) f (14 x)f (4 x) f(

16、14 x)f(x)f (x 10)又 f(3)f (0)0, f (11) f (13) f ( 7)f( 9)0f (x)在故f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解，从而可知函数y0,2005上有402个解，在-2005.0上有400个解，所以函数y f(x) 在卜2005,2005上有802个解.经典习题21.定义在R上的函数y=f(x),f(0)丰0，当x>0时，f(x)>1 ，且对任意的 a、b R,有f(a+b)=f(a)f(b),求证：f(0)=1 ； 求证：对任意的(3)(4)x R,4 解恒有 f(x)>0 ;证明：f(x)是R上的增函数；假设f(x)

17、f(2x-x 2)>1，求x的取值范围。1令 a=b=0,那么 f(0)=f(0)/ f(0)工 0 f(0)=1 f( x)a=x, b=-x 贝U f(0)=f(x)f(-x)由x>0 时,f(x)>1>0，当 x<0 时，-x>0 , f(-x)>0二 f (x)0又x=0时,f(0)=1>0对任意x R,f(x)>0任取X2>X1,那么 f(x 2)>0 ,f(x i)>0 , X2-x i>0 f(X2)f(x1)f(X2)f( Xi)f(X2Xi)1 f(x 2)>f(x i) f(x)在R上是增函

18、数2.函数f (x) , g(x)在R上有定义，对任意的x, y R有f(xy) f(x)g(y) g(x)f(y)且 f (1)01求证:f (x)为奇函数2假设f(1)f(2),求 g(1) g(1)的值解1对 x R ,令 x=u-v 那么有 f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-f(u)g(v)- g(u)f(v)=-f(x)2f(2)=f1-(-1)=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1)g(-1)+g(1)/f(2)=f(1) 工 0 g(-1)+g(1)=1f(x) 0.又f (1)2.(1)

19、判断f (x)的奇偶性；求f (x)在区间3,3上的最大值；解关于x的不等式f (ax1 Xn2) 2 f (x) f (ax) 4.f(0) 0解1取 x y 0,那么 f(0 0) 2f (0) 取 y x,那么f (x x) f (x) f ( x)f ( x)f (x)对任意x R恒成立 f (X)为奇函数.2任取 X1, X2(,)且 X1X2 ,那么 X2X10f(X2)f( X1) f (X2 X1) 0f(X2)f ( X1),又f (x)为奇函数f(X1)f (X2) f (x)在_g,+ g上是减函数.对任意x 3,3，恒有f (x) f ( 3)而 f(3) f (2 1

20、) f (2) f (1) 3f (1)2 36f( 3) f (3)6 f(x)在3, 3上的最大值为 6f( 2)进一步可得f (ax22x)f (ax 2)而 f (x)在 g.+ g上是减函数,ax2 2x ax 2f (x)为奇函数，.整理原式得 f(ax2) f ( 2x) f (ax)(ax 2)( x 1)0.当 a 0 时，x (,1)当 a 2时，x x|x1 且 x R4.f(x)在(1,1)上有定义,求证1f(xj1f (X2)12n 5f(Xn)n 22当 a 0时，x x | - x 1a2当 0 a 2 时，x x | x 或x 1 a- 当 a>2 时，x

21、 x | x 一或x 1 a(I )证明：令 x = y= 0,二 2f(0) = f(0), f(0) = 0 令 y = x,贝U f(x) + f( x)= f(0) = 0- f(x) + f( x) = 0f( x) = f(x) f(x)为奇函数(n )解:f(X1) = f(Z)=- 1, f(xn+ 1)= f(2 1) = f(_X ) = f(Xn) + f(Xn) = 2f(Xn)Xn1 xn xnf (x )- = 2即f(Xn)是以1为首项,f (Xn)2为公比的等比数列-f(Xn) = _ 2n 1(川)解：f (Xi)1f(X2)f (Xn)(11 12 2212

22、* 1 )12n1122n5n121(2而(21f (X1)6函数赤)2nf(X2)f (Xn)f (X)的定义域为0,1(1)对任意x 0,1，总有f (x)2 ； f(1) 3假设X10, X2(I) 求f (0)的值；(II) 求f (x)的最大值；(III) 设数列，且同时满足:0且 X1 X21，那么有 f(X1X2)f (X1)f (X2)2.解：1丨令X-Ix20，由(3),那么 f (0)2f(0)2,f(0)2由对任意X0,1，总有f(x) 2,f(0) 2II丨任意X1，X20,1且X1X2，那么0x2X11,f(X2X1)2f(X2)f (X2X1X1)f (X2 X1:

23、)f (xO2f (X1)fmax ( x)f(1)3伸)T Sn2 (an3)(nN*) Sn2 (an13)(m 2)an 3ar52)心11 0 an1T7f (an)fj)f G希3n)f &)f&)2 3f(3o4f(3n)1fJ03，即 f (a 1)if (a1)3。f (an)3 f (an1) i3 f (an 2)J34、323， 13n1 f (aj43n 143n 2故 f(an)2 3n1N .2n求证：f(ajan的前n项和为Sn，且满足Snf) f(a3)f(an)2i(an 3),n12 3n 1 4323n1 (1)nf(ai) f) f (a

24、n) 2n斗厂即原式成立。I 37.对于定义域为 0,1的函数f (x)，如果同时满足以下三条：对任意的x 0,1 ,总有f(x) 0 : f(1) 1 ；假设 Xi 0,X2 0,Xi X2 1，都有 f (Xi X2) f(Xi) f(X2) 成立，那么称函数 f(x)为理想函数.(1) 假设函数f (x)为理想函数，求f (0)的值；(2) 判断函数g(x) 21 (x 0,1)是否为理想函数，并予以证明；(3) 假设函数f (x)为理想函数， 假定x00,1，使得f (x0)0,1 ,且f(f(x0) x°，求证 f(x°) x°.解：1取 X1 X20可

25、得 f(0)f(0)f(0) f (0)0 又由条件f(0)0,故f(0)0 2显然g(x) 2X 1在0, 1满足条件g(x) 0 ；-也满足条件g(1)1 假设 x10 , x2 0, x1 x21，那么g(x1 X2)g(X1)g(X2)2为 x 1(2为 1)(2°1)2X1 X2 2X1 2X2 1 (2X21)(2X1 1) 0，即满足条件，故g (x)理想函数.3由条件知，任给 m、n 0, 1,当m n时，由m n知n m 0, 1,f(n)f (n m m) f(n m) f (m) f (m)假设X。f(x°)，那么 f (x°)ff(x

26、76;) X0，前后矛盾;假设X。f(x°)，那么 f(x°)ff(x。) X。，前后矛盾.故X0f (X0)8.定义在R上的单调函数f (X),存在实数X0，使得对于任意实数X1,X2，总有f(X°Xi X0X2) f (Xo) f(XJ f(X2)恒成立。(I )求Xo的值;(n )假设f (Xo) 1，且对任意正整数n,有an(川)假设数列bn满足bn 2og1 an21f(r)1,，求数列an的通项公式;21，将数列bn的项重新组合成新数列Cn，具体法那么如下:Cibi,C2b2b3,C3b4b5b6, C46b8 b9 b1o,，求证:129Cn 24。

27、解：(I )令 X1X20，得f (Xo)f (o)，令X11,X20，得f (Xo)f (Xo)f(1)f(o),f(1)由、'得f(x。)f(1),又因为f (X)为单调函数，Xo(n) 由1得f (X1X2)f (X1)f(X2)f(1) f(X1)f(1)1)f(1)f(1),f(1)o,df(2)1 1 1C3C1 C2f(0)，f(X2)1 ,1f (盯)f 1 1f(2* 12* 1)1 12f (歹)1 1f (尹)f(1) 2f (尹)1 ,an 11,1an2an2-og22(川)由 Cn的构成法那么可知，(n 1)n1+2+(n 1)+1 =bn2呪弓122n 1

28、Cn应等于bn中的n项之和，其第一项的项数为 e 、十，(n 1)n2+1，即这一项为 2x -+1仁n(n 1)+12n(1 2n 1)3Cn=n(n 1)+1+ n(n 1)+3+ +n(n 1)+2 n仁n 2(n 1)+=n3,19 291328 241111当 n 3时，3121_n3nn2n(n2 1) 2 (n 1)n n(n 1)解法2:1 1孑413 T41(n 1) nn (n 1)1 n (n11229244n(n 1)n(n2)20,4n(n1)丄(丄4-(- 1)4 - 11 丄丄丄 123 33 43-31 1 111 _ 1 _ 8 16 4 -8 16-) n1

29、8191634 229249.设函数f x是定义域在0，上的单调函数，且对于任意正数x，y有f(xy) f (x) f (y)， f (2)11求谆的值;2一个各项均为正数的数列 a-满足:f(Sn) f (an) f(an 1) 1(n N*)，其中 Sn是数列a-的前n项的和，求数列a-的通项公式;3在2的条件下，是否存在正数 M，使a?an M .2n 1(2q 1) (2a? 1)(2b- 1)对一切nN*成立？假设存在,求出 M的取值范围；假设不存在，说明理由解：1. fxyf(x)f(y)，令 x y1，有 f(1)f(1) f(1) 2f (1),.f(1) 01再令2,y2，有

30、f(1) f(2)f(1)f(2)f(1) f (2)0 112fG)2 f(Sn)f(an)f(a1)1 1fa-(a- 1) 91)又 f(X)是定义域1S- an(an 1)(0,上单调函数，/ S-0 ,如n(an1) 0当 n 1 时1S1 a1(a1 1)得a11, 当 n 2 时，由-,得22化简，得2 2anan 1(anan 1 )0. (anan 1 )(a nan 11)0/ an0.anan 11 0,即 an an 11 , 数列an为等差数列.a1ana1(n 1)d1 (n1) 1",故ann.2na1a2 an :n2 1 2n 2 n!(2a11)(

31、2a2 1)(2an 1)1 3SnSn1) an2n印a?a.- (2n 1)bn1，公差d 1.1 11an (an 1)an 1 (an 11Sn 1an 1 (an 1 1)22n n!令.2n 1(2印 1)如 1) 1) = 2n 1 1 3(2n1)bn而bn 1-bn2n 1 (n 1)!2n 3 1 3(2n 1)(2n 1)2(n 1).2n 1(2n 1) . 2n 32(n 1).(2n 1)(2n 3)=4n2 8n 414n2 8n 3b，数列bn为单调递增函数，由题意bn恒成立那么只需b M (bn) min-'3= ,M (0,，存在正数M ，使所给定的

32、不等式恒成立,的取值范围为(0,11.设函数f X定义在R上，对于任意实数m、n,恒有fnmn)fn®-fn()，且当 x>0 时，0<f X<1。1求证：f 0=1，且当 x<0 时，f X>1 ；求证：fX在R上单调递减;3设集合 A (x,y)|(f xf2) (y2) f (1),(x,y)|f(ax y 2)1, a R，假设 AG B，求a的取值范围。解：1令 m=1 , n=0，得 f 1= f 1 f 0又当 x>0 时，0< fx<1，所以 f 0=1设 x<0，那么x>0令 m=x, n= x,贝V f

33、0= fx f一 x所以 f X f一 x=11又 0< f一 X<1，所以 f (X)1f( x)2设 x1、x2R，且 x1 x2，那么 x2 x10所以 0 fX 2 X1) 1从而 f(x2)( f x2 x1 x2)( f x2 x1) f (x1)又由条件及1的结论知f X>0恒成立所以 f (X2)f (x2 X1 )f (X1)所以 0f (X2)1f (X1)故fx在R上是单调递减的。所以 f X2 fX1，3由得：f(x2 y2)f (1因为f x在R上单调递减所以x2 y21，即A表示圆x2 y2 1的内部由 f ax y+2=1= f 0得：ax y+

34、2=0所以B表示直线axy+2=0所以AH B，所以直线与圆相切或相离，即解得：3 a .312.定义在R上的函数fx对任意实数a、b都有f a+b+ fa b=2 fa f b成立，且f (0)0。1求f 0的值；2试判断f X的奇偶性;c3假设存在常数c>0使f ( ) 0，试问fx是否为周期函数？假设是，指出它的2一个周期；假设不是，请说明理由。解：1令 a=b=0那么 f 0 + f 0 =2 f 0 f 0所以 2 f 0 f 0 1=0又因为f (0)0,所以f0=12令 a=0 , b=x,贝U f x+ f一 x=2 f 0 f x由 f 0=1 可得 f一 X=f X所

35、以f X是R上的偶函数。cc3令 a x, b 一，那么2 2rc c rc c cr cf xf x2fx f -222222因为f c 02所以 f x+c+ f x=0所以 f x+c= f X所以 f x+2c= f x+c= f x= f x所以f x是以2c为周期的周期函数。16.设定义在R上的函数f (x)对于任意x,y都有f (x y) f (x) f(y)成立，且f(1)2，当 x 0时，f(x) 0。1判断f(x)的奇偶性，并加以证明；2丨试问：当-2003 < x < 2003时，f (x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由；1 13解关于x的不

36、等式f(bx2)f(x) - f (b2x)f(b)，其中b22.分析与解：令 x=y=0，可得f(0)=0令 y=-x，贝U f(0)=f( x)+f(x)，二 f( x)= - f(x)，二 f(x)为奇函数设一3<X! v X2< 3, y= xi, x=X2那么 f(X2 Xl)=f(X2)+f( Xl)=f(X2) f(x 1)，因为 x > 0 时，f(x) V 0 ,故 f(X2 X1)V 0,即即 f(X 2) f(xi) V 0。二 f(X2) v f(x1)、f(x)在区间2003、2003上单调递减 x= 2003 时，f(x)有最大值f( 2003)=

37、 f(2003)= f(2002+1)= f(2002)+f(1)= f(2001)+f(1)+f(1)=2003f(1)=4006。x=2003 时，f(x)有最小值为 f(2003)= 4006。1由原不等式，得f(bx2) f(b 2x) > f(x) f(b)。2即 f(bx 2)+f( b2x) > 2f(x)+f( b) f(bx2 b2x) > 2 f(x b)，即 fbx(x b) > f(x b)+f(x b) fbx(x b) > f2 f(x b)由 f(x)在 x R 上单调递减，所以bx(x b) v 2(x b), (x b)(bx 2

38、) v 0/ b2 > 2, b > . 2 或 b w .2当b>2时，b>f，不等式的解集为x|2xb当b v .、2时，b v 2，不等式的解集为x | x b或x bb当b= 2时，不等式的解集为x|x .2，且x R当b= ,2时，不等式解集为$ 17定义在 R上的函数f x满足:x, y，均满足:1值域为 1,1，且当x 0时，12丨对于定义域内任意的实数试答复以下问题：I试求f 0的值；n丨判断并证明函数 f x的单调性;川假设函数 fx 存在反函数 g x11g -g g 511n分析与解：I在f m nf m 1 f m f 0由于函数f x的值域为1

39、 1g _3n 12f m f n 中，令 m 0,n1 f m f nf m f 0 也即：f 021,1，所以， f m 10,那么有 f m f m f 0 即:1 f m f 02f m 10 0，所以f 00n函数f x的单调性必然涉及到 f x f y，于是，由f m nf_mf n ，我们可以联想至U： 是否有 f m nL_mf_ ?*1fmfn1fmfn这个问题实际上是：f n f n是否成立?为此，我们首先考虑函数f x的奇偶性，也即f x与f x的关系.由于f 0 0，所以，在f m n f mf n 中，令nm，得fm f m 0 所以，函数f x1 f m f n为奇

40、函数故*式成立所以，fm fn fmn1fmfn 任取NX R，且人 X2，那么 X2 为 0，故 f x20且 1 f % , f1 所以,fx2f为 fx2x-!1 fx2fx-!0，所以，函数f x在R上单调递减.川丨由于函数f X在R上单调递减，所以，函数f x必存在反函数g x ,由原函数与反函数的关系可知:g x也为奇函数;g x在 1,1上单调递减；且当1 x 0 时，g x 0 为了证明此题，需要考虑 g x的关系式.在式的两端，同时用g作用，得:令 f m x, f ny，那么m g x , n g y ,那么上式可改写为:g x g y g1 xy不难验证：对于任意的 x,

41、y 1,1，上式都成立.根据一一对应这样，我们就得到了 g x的关系式.这个式子给我们以提示：即可以将13n-写成y的形式,11 xy那么可通过裂项相消的方法化简求证式的左端.事实上，由于12n 3n所以,3n所以,11n2 3n点评:般来说，涉及函数奇偶性的问题，首先应该确定f 0的值.19.设函数' 的定义域为全体 R,当x<0时，/八 -,且对任意的实数 x,y R,有'成立，数列*满足,且7 =厂H nNI求证是R上的减函数;n求数列 “的通项公式;假设不等式 -' '" ：，k的三0对一切n均成立，求最大值.解析：令二 _ I ,得j

42、J _,由题意知 介1芒0 ，所以 -1-，故-.当x >0时，-zd,/(0W(-xW(x) = 1，进而得 0<1 .设心岛丘氏且可：乃，那么也-罚沁，0"心 ft ,/x2-/x1 = /x1 +皆无-1/町=1/眄/画-町-1 CO即'' ' ''-：，所以"是R上的减函数.因为''；'是R上的减函数，所以“亠 丄二丄十2即进而*C所以"是以1为首项，2为公差的等差数列.=l + («-l)x2 = 2«-l所以£-亠弍川由1+ 6)(1 +口1+為)

43、症科+1 对一切n N均成立.七F (1十叼)(1十巾)(1十知一.对一切n N*均成立.讣5宀)1如设+ = 口 + 向(1+ 箴)(1 +a 知I且"陛+ 1)恥+1乎-1又 7 /又故厂/'为关于n的单调增函数,±2朽23所以,k的最大值为22.定义在区间0，上的函f(x)满足：1f(x)不恒为零;2对任何实数x、q,都有 f(xq) qf(x).1求证：方程f(x)=0有且只有一个实根;2假设a>b>c>1,且a、b、c成等差数列，求证:f(a)? f (c)f2(b)；f (n) 2f (3本小题只理科做假设f(x)单调递增，且m>

44、n>0时，有f (m)解：取x=1,q=2,有f(12)f(2) 即 f(1)01是f (x)0的一个根,假设存在另一个实根x。1，使得f (x1)0对任意的x1 (x1(0,)成立，且花x°q(q 0),有 f(xj qf(x0)0,f (Xo)0恒成立,(xj 0,与条件矛盾,f(x) 0有且只有一个实根x 12a b c 1,不妨设 a bq1 ,c bq2 ,，那么q10, q20 f (a)? f (c) f(bq1) ? f (bq2) qg2?f2(b)，又 a+c=2b, ac-b即 ac<b2bq q22b , 0 q1q22,21 f(a)f(c) f

45、 (b)f(1) 0, f(x)在(0,)单调递增，当(0,1)时 f(x)0；当 x (1,)时,f(x) 0.f (m)f(n),f (m) f (n), f (m)f(n), m0, f (m)f (n).令 m=bq ,n= bq2 ,b1,且 q220那么 f(m)+f(n)=(q1q 2) f(b)=f(m n)=0mn1.0 n 1m, f (m)，且_ m n m 1,-2mn 1,f (m)-),f(m)即 4m=m2 2mn n2,4m m22 22 n ,由 0<n<1 得 0 4m m1,23.设f (x)是定义域在1,1上的奇函数，且其图象上任意两点连线的

46、斜率均小于零I丨求证f (x)在1,1上是减函数;II如果 f (x c),2f (x c )的定义域的交集为空集，求实数c的取值范围;III丨证明假设 1c 2，那么f(x c) , f (x c2)存在公共的定义域，并求这个公共的空义域解：1T奇函数f(x)的图像上任意两点连线的斜率均为负对于任意x1>x2 1， 1且Xix2有f(Xi) f(X2)0x1x2从而x1 x2与f (x1)f (x2)异号 f(x)在1, 1上是减函数2 f (x C)的定义域为C 1, C 12 2 2f(x c )的定义域为c 1, c 1上述两个定义域的交集为空集那么有： C21 C 1 或 C21 C 1解得：C 2或C 1故C的取值范围为C 2或C 13C2 1 C 1 恒成立由知：当 1 C 2时C2 1 C 1当1 C 2或1 C 0时C21 C 1 且 C21 C 1此时的交集为(C21, C 1当0 c 1C21 C 1 且 C21 C 1此时的交集为c 1,C21故1 c 2时，存在公共定义域，且当1 c 0或1 c 2时，公共定义域为(c21, c 1；当0 c 1时，公共定义域为c 1, c2 1.28.定义