清华机械工程控制基础课件第二章 控制系统的数学模型(第四讲)2

1、2022-3-22机械工程1第4讲-(2)方块图的简化等效变换信号流图及Masons Gain Formula2022-3-22机械工程2第二章 控制系统的数学模型v2.1 引言 v2.2 时域数学模型 v2.3 频域数学模型 v2.4 信号流图与梅逊公式 2022-3-22机械工程32.4.4 方块图的简化等效变换 为了由系统的方块图方便地写出它的闭环传递函数，通常需要对方块图进行等效变换。方块图的等效变换必须遵守一个原则，即变换前后各变量之间的传递函数保持不变。在控制系统中，任何复杂系统主要由响应环节的方块经串联、并联和反馈三种基本形式连接而成。三种基本形式的等效法则一定要掌握。R R(

2、(s s) )C C( (s s) )（a a）)(1sU)(2sU)(1sG)(2sG)(3sGR R( (s s) )G G( (s s) )C C( (s s) )（b b） 图2-23 环节的串联连接 （1）串联连接 2022-3-22机械工程4特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量。 )()()()()()()()()()()()()()()()(123231212211sRsGsGsGsUsGsCsRsGsGsUsGsUsRsGsU)()()()()()(321sGsGsGsGsRsC结论：串联环节的等效传递函数 等于所有传递函数的乘积。niisGsG1)()(n为相串联的环节

3、数 2022-3-22机械工程5（a a）R R( (s s) )C C( (s s) )(2sG)(1sG)(3sG)(2sC)(1sC)(3sC G G( (s s) )（b b）R R( (s s) )C C( (s s) )图2-24 环节的并联连接 特点：各环节的输入信号是相同的，均为R(s)， 输出C(s)为各环节的输出之和，即: （2）并联连接2022-3-22机械工程6)()()()()()()()()()()()()()(321321321sRsGsGsGsRsGsRsGsRsGsCsCsCsC)()()()()()(321sGsGsGsGsRsC结论：并联环节的等效传递函数

4、等于 所有并联环节传递函数的代数和。)()(1sGsGniin为相并联的环节数，当然还有“-”的情况。 2022-3-22机械工程7（a a）C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)H(s)E E( (s s) )B B( (s s) )（b b）R R( (s s) )C C( (s s) )图2-25 环节的反馈连接 （4）比较点和分支点（引出点）的移动有关移动中，“前”、“后”的定义：按信号流向定义，也即信号从“前面”流向“后面”，而不是位置上的前后。 （3）反馈连接 2022-3-22机械工程8C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)Q Q( (s s)

5、 )比比较较点点前前移移 比比较较点点后后移移C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)Q Q( (s s) ) G(s)C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)Q Q( (s s) )C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)G(s)Q Q( (s s) )()()()()()()()(sGsGsQsRsQsGsRsC)()()()()()()()(sGsQsGsRsGsQsRsC图2-26 比较点移动示意图 放大缩小 缩小放大 2022-3-22机械工程9R R( (s s) )分分支支点点（引引出出点点）前前移移G(s)C C( (s s) )

6、C C( (s s) ) 分分支支点点（引引出出点点）后后移移R R( (s s) )G(s)R R( (s s) )C C( (s s) )C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)G(s)C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)R R( (s s) )()()(sGsRsC)()(1)()()(sRsGsGsRsR左图2-27 分支点移动示意图 缩小放大放大缩小右2022-3-22机械工程10 化简的方法主要是通过移动分支点或相加点，消除交叉联化简的方法主要是通过移动分支点或相加点，消除交叉联接，使其成为独立的小回路，以便用串、并联和反馈联接接，使其成为独立的

7、小回路，以便用串、并联和反馈联接的等效规则进一步化简，一般应先解内回路，再逐步向外的等效规则进一步化简，一般应先解内回路，再逐步向外回路，一环环简化，最后求得系统的闭环传递函数。回路，一环环简化，最后求得系统的闭环传递函数。 例：如图例：如图2 23 31313所示，应用上述规则来简化一个三环回所示，应用上述规则来简化一个三环回路的方框图，并求系统传递函数。路的方框图，并求系统传递函数。图图2.3.13 (a)2.3.13 (a) 2022-3-22机械工程11 化简过程可按如下步骤进行：化简过程可按如下步骤进行： (1)(1)由由(a)(a)相加点前移得（相加点前移得（b b）; ; 图图2

8、.3.13 (b) 2.3.13 (b) 2022-3-22机械工程12 (2)(2)将（将（b b）中，中间小环回路化为单一向前传递函数）中，中间小环回路化为单一向前传递函数, ,得得（c c）；）；图2.3.13 (c)2022-3-22机械工程13 (3)3)再消去再消去(c)(c)中第二个闭环回路，使之成为单位反馈的单中第二个闭环回路，使之成为单位反馈的单环回路，得环回路，得(d)(d)；图2.3.13 (d)2022-3-22机械工程14 (4)(4)去掉（去掉（d d）中单位反馈回路，得到单一向前传递函数，）中单位反馈回路，得到单一向前传递函数，即原系统的闭环传递函数。即原系统的闭

9、环传递函数。 图图2.3.13 (e)2.3.13 (e)2022-3-22机械工程15将例2-9的系统方块图简化 - - - -C CB BA A（c c）方方块块图图11sC21sC)(1sUC)(sUr)(1sI)(sUc)(sUc)(2sI11R21R)(1sUC12- - - -1RsC211R21RsC11sC21)(sUc)(sUr例2-102022-3-22机械工程16- - -sCR111sCR221sCR21)(sUr)(sUc- -12- - - -1RsC211R21RsC11sC21)(sUc)(sUr- -sCR21) 1)(1(12211sCRsCR)(sUr)(

10、sUc1)(121221122121sCRCRCRsCCRR)(sUr)(sUc图2-28 方块图的简化过程 简化提示：分支点A后移（放大-缩小）比较点B前移（放大-缩小）比较点1和2交换。 2022-3-22机械工程17用方块图的等效法则，求图2-29所示系统的传递函数C(s)/R(s) R R( (s s) )A A- -B BC C( (s s) )1G2G3G4G1H2H- -C解：这是一个具有交叉反馈的多回路系统，如果不对它作适当的变换，就难以应用串联、并联和反馈连接的等效变换公式进行化简。本题的求解方法是把图中的点A先前移至B点，化简后，再后移至C点，然后从内环到外环逐步化简，其简

11、化过程如下图。例2-11图2-292022-3-22机械工程18R R( (s s) )- - - -C C( (s s) )1G2H5G6G7G21GH51G25561HGGG211255125211255152161617111111GHGHGGGHGGHGHGGGGGHGGGGG 反馈公式 4325GGGG 串联和并联2022-3-22机械工程1921121432432151211255177)(1)(11)()()(GHGHGGGGGGGGGGGHGHGGGGGsGsRsC2022-3-22机械工程20方框图的等效变换及简化途径不是唯一的方框图的等效变换及简化途径不是唯一的 除了简化求

12、解系统传递函数，含有多个局部反馈的除了简化求解系统传递函数，含有多个局部反馈的闭环传递函数，还可直接用梅逊增益公式求解：闭环传递函数，还可直接用梅逊增益公式求解： 括号内每一项的符号是这样决定的：在相加点处，括号内每一项的符号是这样决定的：在相加点处，反馈信号为反馈信号为“相加相加”时取负号；反馈信号为时取负号；反馈信号为“相减相减”时取正号。时取正号。 ( )( )( )1oBiXsGsX s前向通道的传递函数之积每一反馈回路的开环传递函数之积(2.3.7)(2.3.7) 2022-3-22机械工程21 依此可直接由依此可直接由(a)(a)作出（作出（e e），要特别注意，），要特别注意，在

13、应用式（在应用式（2.3.72.3.7）时，必须要具备以下两个）时，必须要具备以下两个条件：条件： （1 1）整个方框图只有一条前向通道；）整个方框图只有一条前向通道； （2 2）各局部反馈回路间存在公共的传递函）各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框。数方框。2022-3-22机械工程22 如图2.3.14（a）中，系统有两个独立的局部反馈回路，其间没有公共的方框。不能若直接用式（2.3.7），应先将两局部反馈回路分别简化成两个方框，然后，将此两方框串联，得传递函数121122( )( )( )11oiXsGGG sX sG RG R12112212121GGG RG RGG R R1211

14、22( )( )( )11oiXsGGG sX sG RG R2022-3-22机械工程23 在图2.3.14（b）中，系统的两个反馈回路间有公共的传递函数方框 ，因此，可直接用式(2.3.7)得出传递函数： 若系统不能满足使用式（2.3.7）的两个条件，可先将其方框图化成满足使用条件的形式，然后，再应用式（2.3.7）求出闭环传递函数。1( )G s1211122( )1GGG sG RGG R2022-3-22机械工程242.4.5 信号流图和梅逊公式（SJMason） 方块图是一种很有用的图示法。对于复杂的控制系统，方块图的简化过程仍较复杂，且易出错。Mason提出的信号流图，既能表示系

15、统的特点，而且还能直接应用梅逊公式方便的写出系统的传递函数。因此，信号流图在控制工程中也被广泛地应用。2.4.5.1信号流图中的术语因果增益节点 输出方向2x1x1122xax 12a2022-3-22机械工程251Mixed nodeinput node(source)1x2x3x4x5x6x23a32a34a45a25a44a24a12a43a1235453a1x5x432,xxx输入节点：具有输出支路的节点。图中的输出节点（阱，坑）：仅有输入支路的节点。有时信号流图中没有一个节点是仅具有输入支路的。我们只要定义信号流图中任一变量为输出变量，然后从该节点变量引出一条增益为1的支路，即可形成

16、一输出节点，如图中的混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。图中的前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个节点只经过一次，最终到达输出节点的通路称之前向通路。2022-3-22机械工程2654321xxxxx145342312paaaa5421xxxx2452412paaa521xxx32512paa前向通路上各支路增益之乘积，称为前向通路总增益 用 表示。 kp回路（闭通路）:起点和终点在同一节点，并 与其它节点相遇仅一次的通路。232xxx2342xxxx343xxx32231aaL 3243242aaaL 43343aaL 2352xxxx23542xxxxx3543xxxx44

17、xx 2022-3-22机械工程27回路中所有支路的乘积称为回路增益，用 表示 。aL不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路叫做不接触回路。在信号流图中，可以有两个或两个以上不接触回路。例如： 232xxx和44xx 2352xxxx和44xx 2022-3-22机械工程28信号流图的性质信号流图适用于线性系统。支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，信号只能沿支路上的箭头指向传递。在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相加后的信号送到所有的输出支路。具有输入和输出节点的混合节点，通过增加一个具有单位增益的支路把它作为输出节点来处理。对于一个给定的系统，信号流图不是唯一的，由于描述同

18、一个系统的方程可以表示为不同的形式。2022-3-22机械工程292.4.5.2 2.4.5.2 信号流图的绘制信号流图的绘制 由微分方程绘制 方程，这与画方块图差不多。由系统方块图绘制。 s书上例2-18，见书P57 （第三版P56）画出图2-31(书图2-43)所示系统方块图的信号流图。HRBC1G2G3G4G1A2A图2-31系统方块图 解：用小圆圈表示各变量对应的节点在比较点之后的引出点在比较点之后的引出点 21,AA只需在比较点后设置一个节一个节点点便可。也即可以与它前面的比较点共用一个节点。 在比较点之前的引出点在比较点之前的引出点B，需设置两个节点两个节点，分别表示引出点和比较点

19、，注意图中的 1e2eR1e1-H2G1G3G4G1e2e例2-122022-3-22机械工程302.4.5.3 formulagainsMason 信号流图特征式，它是信号流图所表示的方组的系数矩阵的行列式。在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间的增益，其分母总是 ，变化的只是其分子。 kkPP1式中 :P 系统总增益（总传递函数） :k 前向通路数 kP第k条前向通路总增益：: )()3()2() 1 () 1(1mmLLLL)1(L)2(L)(mL所有不同回路增益乘积之和； 所有任意两个互不接触回路增益乘积之和； 所有任意m个不接触回路增益乘积之和。 :k为不与第k条前向通路相接触

20、的那一部分信号流图的 值，称为第k条前向通路特征式的余因子。 2022-3-22机械工程31求图2-33（a）所示信号流图的总增益)()(15sXsX(a)1x2x3x4x12a23a34a42a32a45a44a5x35a52a(b)1x2x3x4x5x11453423121aaaaP(c)2x1x3x5x44235231211 aaaaP例2-132022-3-22机械工程32(d)互不接触(e)(f)(g)互不接触2x2x2x2x3x3x4x4x5x5x32231aaL 4234232aaaL 443aL 524534234aaaaL 5235235aaaL 44322312aaaL 4

21、452352322aaaaL (a)1x2x3x4x12a23a34a42a32a45a44a5x35a52a2022-3-22机械工程33445235234432235235235234234442342332233523124445342312)(1)1 (aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaP利用Masons gain formula 求图2-34所示系统的闭环传递函数。123456R(s)C(s)1G2G3G4G6G5G7G1H2H解：前向通路有3个 16543211543211GGGGGP165421254612GGGGP143721316321HGGGGP图2-34 某系统的信号流图 例2-142022-3-22机械工程344个单独回路141454HGL27222632HGGL2546326542HGGGL254324265432HGGGGL21LL 与互不接触2172412HHGGGL21754254322546272111HHGGGHGGGGHGGGHGGHG2022-3-22机械工程35总结v从原理图画系统方块图的方法v方块图的简化 基本连接方式串联、并联和反馈的简化 比较点、分支点的移动v信号流图及Masons Gain Formula2022-3-