指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)(更新版)

1、指数函数与对数函数总结与练习一、指数的性质整数指数幂1 整数指数幕概念：annaa aan个a(nNN )1n aa 0,n2.整数指数幕的运算性质：1mna am anm, nZ3ab nn anb nZmnmn其中aa a am n anaa b1 1b3. a的n次方根的概念n na b般地，如果一个数的a01 a 0mna m, n Zn次方等于an 1, n Nbn，那么这个数叫做a的n次方根,即：假设xn a，那么x叫做a的n次方根，n 1,n N说明：假设n是奇数，那么a的n次方根记作n. a ；假设a 0那么n a 0 ,假设a o那么 n a 0 ； 假设n是偶数，且a 0那

2、么a的正的n次方根记作n. a，a的负的n次方根，记作：n a ;例如：8的平方根-.82、. 2 16的4次方根 4162 假设n是偶数，且a 0那么n a没意义，即负数没有偶次方根；0n 0n 1, nN n 0 0 ；式子n a叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。 n.an a .4. a的n次方根的性质一般地，假设n是奇数，那么nana ；假设n是偶数,那么nanaa a0a a05.例题分析：例1.求以下各式的值：13832.10 234 344例 2 a b 0, n 1,n N化简: 10 121.分数指数幕：Va10" a2 a5 a 0a4 a3 a 0即当根式的被开

3、方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幕的形式； 如果幕的运算性质2akn kna2例如：假设a 0，那么a3a2 3对分数指数幕也适用，545 4_244 45. 3：.2,a a a ，二 a2a34a5即当根式的被开方数不能被根指数整除时,规定：1正数的正分数指数幕的意义是根式也可以写成分数指数幕的形式。ma下a 0,m,n N ,n2正数的负分数指数幕的意义是1ma下1c-= a 0, m, nn： m''、.aN ,n 1 .2.分数指数幕的运算性质：整数指数幕的运算性质对于分数指数幕也同样适用r s r s1 a a aa 0,r,s Qrsaa 0,r,s Q

4、r r r3 ab a b a 0,b 0,r Q说明：1有理数指数幕的运算性质对无理数指数幕同样适用；20的正分数指数幕等于 0, 0的负分数指数幕没意义。3.例例题分析：1.用分数指数幕的形式表示以下各式aa2 7a , a3,J a 揖.2 计算以下各式的值式中字母都是正数2 1 1 11 2a3 b26a2b31 53a6/14m4n例3.计算以下各式:13 5"254 5例3 x x 13，求以下各式的值:11x213X 2 ； 2 x2二综合应用例1.化简：x 1xx 1555.1 1 1 1例2化简：(x2 y2) (x4 y4).二、指数函数1 指数函数定义:般地，函

5、数yxa a 0且a 1叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是例1 求以下函数的定义域、值域:(1) y 82x13y 3|x|例2当a 1时，证明函数y是奇函数。2例3设a是实数，f(x) a (x R),1试证明：对于任意 a, f (x)在R为增函数；2试确定a的值，使f(x)为奇函数。三、对数的性质1 对数定义：一般地，如果 a a 0且a 1丨的b次幕等于N,就是ab N，那么数b 叫做a为底N的对数，记作loga N b , a叫做对数的底数，N叫做真数。即 ab N , loga N baNb指数式ab N底数幕指数对数式loga N b对数的底数真数对数说明：1.在指数式中

6、幕 N > 0 ,在对数式中，真数 N > 0 .负数与零没有对数2.对任意 a 0 且 a 1, 都有 a0 1- loga1 0,同样：log a a 1 .3如果把ab N中的b写成loga N ,那么有alogaN N 对数恒等式.3.介绍两种特殊的对数： 常用对数：以10作底log10 N 写成lg N 自然对数：以e作底为无理数，e= 2.71828,loge N 写成 lne.例 2. 1计算：log927,32求x的值：log3 X42 log 2x2 1 3x 2x 11 .3求底数：logx 3 logx 24 对数的运算性质：如果 a > 0 , a 1

7、, M > 0 , N > 0, 那么1log a (MN ) loga M loga N ；2loga loga M - log a N ；N3log a M n n loga M (n R).例3计算：/、7lg 243(1)lg14 21g lg7 lg 18 ； 23lg9log m N5.换底公式：loga N 一 ( a > 0 , a 1 ； m 0,m 1) log max证明：设loga N x，贝U a N ,两边取以m为底的对数得：logm a logm N , xlogma logm N ,log m Nlogm N从而得：x, logaN -log

8、malog ma说明:两个较为常用的推论：1logab log ba 1 ；2logambnlog a b a、b0且均不为1m证明:1logab logbalg b lga1 ；lga lg b2log bn gbn logam b . mn lg b logab .lgamlg am例4.计算:：151 log03 ；2log4 3 logg 2 log24 32 .例 5 log 18 9 a, 18b 5，求 log 36 45用 a, b 表示.12y1 1例 6设 3x 4y 6z t 1，求证：1 1z x四、对数函数1 对数函数的定义：函数y log a x a 0且a 1叫做

9、对数函数。2 对数函数的性质:1定义域、值域：对数函数y loga x a 0且a 1的定义域为0,，值域为函数图象作关于y x的对称图形，即可获得。2图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数同样：也分a 1与0 a 1两种情况归纳，以y 例。log2 x图 1与 y log1 x图 2为2y叽vZy x/v1亠1 /J- y logj2图23对数函数性质列表:图 象a 10 a 1-1 b 1 y logaX1J沁 11 丁-:V'loga性 质1定义域：0,2值域：R3过点1,0，即当x1时，y04在0, +8上是增函数4在0,上是减函数例1求以下函

10、数的定义域:2 y lOgaX ；例2 比拟以下各组数中两个值的大小：1log 2 3.4， log 2 8.5 ； 3log a5.1， loga5.9.例3.比拟以下比拟以下各组数中两个值的大小：0 92log 3, log2 0.8 ； 31.1 . , logi.i 0.9 , log 0.7 0.8 ；例4logm4 logn4，比拟m , n的大小。解： logm4 logn4 ,1 1log 4 m log 4 n当m1,n1时，得011log 4 mlog4n ' log4门log4m ,mn1.1当0m1,0 n 1 时,得1log 4m0 ,log 4 n log4

11、nlog4m, 0nm1 .当0m1,n 1时,得log4 m0,0 log 4 n , 0 m 1, n 1 , 0 m 1 n .综上所述，m , n的大小关系为m n 1或0 n例5求以下函数的值域：23y loga(x 4x 7) a 0且 a 1 丨.例6.判断函数f (x) log2C，x1 x)的奇偶性。例7.求函数y 2log,(x2 3x 2)的单调区间。3指数函数和对数函数单元测试i.2.3.选择题如果loga50 alogb50，那么a、b间的关系是b C 0 b a 1 D 1 b a1,b1 ，那么函数y ax b的图象必定不经过第二象限C第一象限B与函数y=x有相同

12、图象的一个函数是第三象限第四象限loga xb y a ya(a0)x2/xy loga0)CD5.函数y loga(2 ax)在(1,1)上是x的减函数，那么a的取值范围是A (0,2) B (1,2) C (1,2 D 2,)6.函数fXlog 1 (22log2 x的值域是,0，那么它的定义域是x|x2 Bx|0 x2C x|0 x4 D x|2 x 47.函数f(x)log%ax3a在区间2,是减函数，那么实数的取值范围A(,4B4,) c(4,4D4,48.3x1设3-7，那么A. - 2<x< -1B.3<x< - 2C. 1<x<0D. 0<x<19.函数f (x)lg(x23x2的定义域为E,函数g(x)lg(x1)义域为卩，那么【】AE FBEFCEF DEF11.log 1 blog1a log 1 c，那么()222A.2 b2 a2cB.2a2b2c c.2c2ba2 D .2c12.函数f (x)-3x2lg(3x1的定义域是是【】1xlg(x2a2的定2b3D32)14. ylog i (3x2的定义域是15.