控制工程基础第三章参考答案

1、第三章习题及答案3-1.假设温度计可用 传递函数描述其特性，现在用温度计测量盛在容器内的水温。发现需要Ts 11min时间才能指示出实际水温的98%勺数值，试问该温度计指示出实际水温从10%变化到90%所需的时间是多少？解： 4T 1mi n, T=0.25minTtih(t1)=1-e T 0.1, £= Tin 0.9；t2h(t2)=0.9=1-e T , t2T in 0.1tr t2 t1 T in 092.2T0.55min0.12.某系统的微分方程为y (t) 3y (t) 2 f (t) 3f(t)，初始条件y(0 )1 , y (0 )2 ,试求：系统的零输入响应

2、yx(t)；鼓励f (t)(t)时，系统的零状态响应yf(t)和全响应y(t);鼓励f(t)3te (t)时，系统的零状态响应yf(t)和全响应y(t)。解：(1)算子方程为:(p 1)(p2)y(t) (p 3)f(t)t2tyx (t) 4e 3e , t0 ; H(p)p321h(t)23p 21ppp 2yf (t)h(t)*(t)(-3 2et2t)(t)y(t)yx (t)yf (t)(3v22et 52e 2t)(t) yf(t)h(t)*3te (t)(ete2t)(t)y(t)yx(t)yf (t)(5e t4e 2t)(t)A2yx (t)2A 2A2Ae tA,e 2tA

3、 4A 3(2et e2t) (t)3.某系统的微分方程为y"(t) 3y'(t)2y(t)f'(t)3f(t),当鼓励 f(t) = e 4t (t)时，系统应与强迫响应、暂态响应与稳态响应。解：H(p)yf (t)p 3p2 3p 2冷 h(t)2tyx(t)"e。)2t2e2(t )d (t)3et)0-te2- 33tee1-22te12ty(t) yf(t)(4et 3e2t) (t)(零状态响应)(零状态响应)强迫响应:1e 4t (t);自由响应:(e t 2 e 2t) (t)； y(t)全为暂态，不含稳态响应.4.设系统特征方程为4 s6s

4、3稳定性。解:用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别，610001123040610001123160261211062 036121066 310 14333 51215360105120所以，此系统是稳定的。12s210s30。试用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别该系统的a4=1, a3=6，a2=12， ai=10， ao=3 均大于零，且有5.试确定以下列图所示系统的稳定性解：(a). G(s)10(s 1)s2(s 21)D(s)= s2(s 21) 10(s 1)32s 21s10s 110s 1 s(s 1) V 2S 10s(s 1)3Routh.s2 s1 s0 s系统稳定。10112121

5、01 门>0211(b).(s)10s(s 2)10(10s 1)s(s 2)102s 102s 10D(s)= s2102s 10满足必要条件，故系统稳定。6.单位反响系统的开环传递函数为G(s)Ks(0.01s20.2 s 1)，试求系统稳定时，参数K和的取值关系。2解：D(s) s(0.01s0.2 s 1) k 032D(s) s 20 s 100s 100k0Routh:3 s11002 s20 0100k1 s2000100k0200 s10Ck 00k，即仝 20 (0,k0)由Routh表第一列系数大于0得k0k207.设单位反响系统的开环传递函数为G(s)"，

6、要求闭环特征根的实部均小于s(1 0.2s)(10.1s)-1，求K值应取的范围。解：系统特征方程为s(1.0.2s)(10.1s) K 0要使系统特征根实部小于1，可以把原虚轴向左平移一个单位，令w s 1，即0.720S W 1,代入原特征方程并整理得0.02w0.24 w20.46w K运用劳斯判据，最后得0.72 K 6.248.设系统的闭环传递函数为Gc(s)2ns22 nS2，试求最大超调量n=9.6%、峰值时间tp=0.2秒时的闭环传递函数的参数E和3n的值。解：% e 1 2100% =9.6%E =0.6T tp=.3 n=tp 2=0.23.140.2.1 0.6219.6

7、rad/s9.设单位负反响系统的开环传递函数为Gk(s)25s(s 6)求1系统的阻尼比 Z和无阻尼自然频率3 n；解：系统闭环传递函数Gb(s)与标准形式比照，可知故Wn 525s(s 6)25s(s 6)25s(s 6)2525s2 6s 252 wn 6， w；250.6又wdwn 125 .1 0.624tp0.785Wd4 0.6% e'L 100%100%9.5%4ts1.33WnK 2，调节时间ts 0.4 s，试确定参数10. 一阶系统结构图如以下列图所示。要求系统闭环增益K1, K2的值。图3-45系统结构图解由结构图写出闭环系统传递函数K1(s)-1sK1K2sK1

8、s K1K2K2sk1k2令闭环增益KK2得：K20.5令调节时间ts3TK1K20.4，得：K115 。?11.设某高阶系统可用以下一阶微分方程：Tc(t) c(t)r(t)r(t)近似描述，0 (T )1。试证系统的动态性能指标为:°693 件 T； tr 2.2T ； tsT3 )T1解 设单位阶跃输入 R(s) 1s当初始条件为0时有：C廻口R(s) Ts 1C(s)s 1 11 TTs 1 ssTs 1C(t)h(t) 1Tt/TaTe1)当 ttd时h(t)0.51Tetd/tT1Ttd/T ;ln 2 ln -T2T5tdTln2T InT2)求tr即c(t)从0.1到

9、0.9所需时间)tdT当 h(t)c c , Tt2/T.50.9ieT当 h(t)0.11 -eTt1/T .5那么trt2 t1Tl n090.12.2T3)求 tst2 Tl n(十)ln0.1 t1 Tl n() ln 0.9h(ts)0.95 1ts/TtsTlnln0.05TlnIn 20T3InLTs平面根的个数及纯虚根。12.系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半1D(s)5 s2 s42s34s211s 1002D(s)5 s3s412s324s232s4803D(s)5 s2s4s 204D(s)5 s2 s424s348s225s500解1D(s) s010第一

10、列元素变号两次，有 2个正根。2s42s34s211s10=0Routh :S51211S42410S36S241210S 6Routh :D(s)3s412s324 s232 s 48=01123232448312 24432 333424 316124841216 4480012S 5S432塑162辅助方程12s48 0,S048系统没有正根。对辅助方程求解，得到系统对虚根s1,2j 2。3D(s)5 s2s4s 20Routh :S 510 -1S420 -2辅助方程2s420S380辅助方程求导 8s30S2-2S16S 0-2第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程2s420可解

11、出：2 s422(s 1)(s 1)(s j)(sj)D(s)5 s2s4s 2 (s 2)(s1)(s1)(s j )(s j)4D(s)5 s2 s424s348s225s 500Routh :S 5124-25S4248-50辅助方程2 s448s2500S3896辅助方程求导 8s396s0S224-50S338/3S 0-50S24辅助方程求导：24s0第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程2s448s2500可解出:2s448s2502(s 1)(s 1)(sj5)(sj5)D(s) s5 2s424s348s225s 50 (s 2)(s 1)(s 1)(sj5)(sj5)1

12、3.单位反响控制系统开环传递函数如下，试分别求出当输入信号为1(t)、t和t2时系统的稳态 G(s)10(0.1s 1)(0.5s 1) G(s)7(s2 3)s(s 4)(s22s 2)解：G(s)(0.1s1)(0.5s1)v 0D(s)(0.1s1)(0.5s1) 100经判断系统稳定r(t)1(t)A1K 10111 Kr(t) t r(t)essesst2 G(s) s(s 器 32s 2)2D(s) s(s 4)( s 2s 2) 7(s 3)0经判断：系统不稳定。14.单位负反响系统的开环传递函数如下:Gk(s)100s(s 2)求：(1)试确定系统的型次v和开环增益K;2试求输

13、入为r(t)1 3t时，系统的稳态误差。解：1将传递函数化成标准形式Gk(s)10050s(s 2)s(0.5s 1)可见，v = 1,这是一个I型系统开环增益K= 50;2讨论输入信号，r(t) 1 3t ,即A= 1 , B= 3a b 13误差 ess 0 0.06 0.061 Kp KV15015.单位负反响系统的开环传递函数如下:Gk(s)22s (s 0.1)(s 0.2)求：(1)试确定系统的型次v和开环增益K；2试求输入为r(t)5 2t 4t2时，系统的稳态误差。解：1将传递函数化成标准形式Gk(s)2s2(s 0.1)(s 0.2)100s2(10s 1)(5s 1)可见，

14、v = 2,这是一个II型系统开环增益K= 100;2讨论输入信号,2r(t) 5 2t 4t ,即 A= 5, B= 2, C=4误差 essA B C 51 Kp Kv Ka 12_J_100000.040.0416.在许多化学过程中，反响槽内的温度要保持恒定，图a和b分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K值为1。当有阶跃扰动n(t)0.1时，求扰动对两种系统的温度的影响。解 1对a系统:Ga(S)K10s 1110s 1时间常数T 10人仃)0.632a系统到达稳态温度值的63.2%需要10个单位时间；100对a系统:b(s)100 101时间常数T1010s 10110

15、s101101人仃)0.632b系统到达稳态温度值的63.2%需要0.099个单位时间。2对a系统：GnG)衆 1N(s)对b系统:n(s)C(s)N(s)11 - 10s 110s 110s 101n(t)0.1时，最终扰动影响为0.1 1010.001。n(t) 0.1时，该扰动影响将一直保持。17.单位反响系统的开环传递函数G(s) ，求单位阶跃响应 h(t)和调节时间ts 。s(s 5)解：依题，系统闭环传递函数(s)444T11T20.25s2 5s 4(s1)(s4)1(s)(sT1t2)4CoC1C2C(s)(s) R(s)s(s1)(s4)s s 1s 4C0 lim s(s)

16、 R(s)lim41s 0s 0(s 1)(s 4)T2C1C2lim (s 1)(s)R(s)s 1lim (s 4)(s) R(s)s 4h(t) 14e 七31 4te3sm04s(s 4)mosts 上 Ti 3.3Ti 3.3。18.设以下列图a所示系统的单位阶跃响应如图b所示。试确定系统参数K1, K2和a。哋)解：由系统阶跃响应曲线有h( )3tp 0.1。(4 3).333.3。系统闭环传递函数为(s)K1K2K2 n2 sasK12 s2nsn由tp12n0.1联立求解得ooe1 233.3ooK121108由式1a 2n22另外h()lims (s)1limK1K22s 0

17、ss 0s as K10.3333.28K23119.设角速度指示随动系统结构图如以下列图所示假设要求系统单位阶跃响应无超调，且调节时间尽可能短，问开环增益 K应取何值，调节时间ts是多少?解依题意应取恥1，这时可设闭环极点为仃1/T。(s)10K210s 10Ks闭环特征多项式D(s)2 s10s 10K210TO比拟系数有2110KTo写出系统闭环传递函数因此有212221sssT。T0T0T00.2联立求解得K2.5ts 4.75T。 0.95120.单位反响系统的开环传递函数为:G(s)K(s 1)s(Ts 1)(2s 1)。试在满足T 0, K1的条件下,确定使系统稳定的T和K的取值

18、范围，并以T和K为坐标画出使系统稳定的参数区域图。解特征方程为:D(s)2Ts3(2 T)s2(1 K)s K 0Routh :S 32T1 KT0S2 TKT2S,、,2TKc401 KT22 TK 1S0KK0综合所得条件，当 K 1时，使系统稳定的参数取值 范围如图中阴影部所示。21.温度计的传递函数为，用其测量容器内的水温，1min才能显示出该温度的 98%勺数值。假Ts 1设加热容器使水温按 10oC/min的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大?解法一 依题意，温度计闭环传递函数(s)右由一阶系统阶跃响应特性可知：h(4T)98。，因此有 4T 1 min，得出 T 0.25

19、 min。视温度计为单位反响系统，那么开环传递函数为G(s) 1(s)Ts1T1用静态误差系数法，当r(t) 10t时,ess10K10T2.5 C。解法二依题意，系统误差定义为e(t)r(t)c(t)，应有!7 s s /V /.V E -R(TsTsTsesmos(s) R(s)0-21 - wsTs叫kh sOT22.系统结构图如下列图。试求局部反响参加前、后系统的静态位置误差系数、静态速度误差系数和静 态加速度误差系数。解局部反响参加前，系统开环传递函数为G(s)10(2s 1)s2(s 1)Kp lim G(s)Kv lim sG(s)s 02Kalims2G(s) 10a s 0局

20、部反响参加后，系统开环传递函数为10G(s)10(2s 1)2s(s s 20)2s 1 s(s 1)丁 120(s 1)Kp!imG(s)Kv lim sG(s) 0.5s 0oG(2smoH saK23.单位反响系统的开环传递函数为:G(s)7(s 1)s(s 4)( s2 2s 2)试分别求出当输入信号r(t) 1(t), t和t2时系统的稳态误差e(t) r(t) c(t)。解 G(s) s(s 4：(：2 ；s 2)由静态误差系数法r(t) 1(t)时，ess 0丄A 8r(t) t 时， ess1.14K 7r(t) t2 时,Ko和的值。G(s)K( s 1)g 1)0 1)Ko

21、K( s 1)(TiS 1)作 1)K( s 1)(T1S 1)(T2S 1) KoK( s 1)K( s 1)2T1T2S(T1T2K0K )S (1K°K)、， 1K0K 0K01 K依题意应有：联立求解得T2K0K0T1T2此时系统开环传递函数为G(s)5 T2)s KT1T2s2考虑系统的稳定性，系统特征方程为2D(S) T1T2SK(T1 T2)s K 0当T1 , T2, K 0时，系统稳定。25.大型天线伺服系统结构图如下列图，其中=0.707 , n =15,=0.15s。当干扰n(t)10 1(t)，输入r(t) 0时，为保证系统的稳态误差小于0.01 o,试确定K

22、a的取值;当系统开环工作Ka=0，且输入r(t) 0时，确定由干扰n(t) 10 1(t)引起的系统响应稳态 值。功率放大器10202 nlims 0E(s) C(s)en (s)en (s)n)2)102 2s (s 2 ns10 s s2ns(s22 nsn(t) 10 1(t)时，令esse()呵 sE(s)26.控制系统结构图如下列图，试求:按不加虚线所画的顺馈控制时，系统在干扰作用下的传递函数n(s)；当干扰n(t)1(t)时，系统的稳态输出;解 1干扰作用下系统的误差传递函数为(s)E(s)1( s。en N(s) s(s 1)(s2 2ns；) Ka :影响最小的适合K值。解 1

23、无顺馈时，系统误差传递函数为essnlim s N (s)s 0得：Ka 10002此时有i 一假设参加虚线所画的顺馈控制时，系统在干扰作用下的传递函数，并求n(t)对输出c(t)稳态值0.01N(s)天线及驱动机构传感器411n(S)C(s)N(s)(s 1)(s 5)202s 6s 252Cn( ) I叫 S n(s) N(s)yms ns-3有顺馈时，系统误差传递函数为n(s)C(s)N(s)120K1 -s 1 s 251 匸(s 1)(s 5)s 5 20Ks2 6s 25Cn( )smS n(s) N(s)I叫Sn (s)5 20K=025得 K 0.25解: (a).E(s) R

24、(s)1"200_1 -s(0.5s 1)s(0.5s 1)0.5s0.5s s 200 s 200en ( s)E(s)N(s)s(0.5s 1)lim s e(s) R(s) lim s en(s) N (s)s 0s 0lim ss 0s(0.5s 1)-lim ss s 0s(0.5s 1)O."200_1s(0.5s 1) 0 s0.5s2 s2000.5 s2 s200(b).s 1s(s1)2e (s)12s 11ss(s 1)en(s)1-s(s21)1 1ss 1s(s1)bsess1ess2lim ss(s21)2 12lims 簣 1) I 1s 0s

25、s 1 ss 0 s s 1 s28.设复合校正控制系统结构图如图3-65所示，其中N(s)为可量测扰动。假设要求系统输出C(s)完全不受N(s)的影响，且跟踪阶跃指令的稳态误差为零，试确定前馈补偿装置GC1 (s)和串联校正装置CC2(s)。图35复合控制系统结构图1求 Gci(s)。K2n(s)1C(s) Ts 1K1K2N(s)0sKT KM2Gc2(s)s s(Ts 1)s(Ts 1)Gc1(s)K2 s K1KG1(s)s(Ts 1) K1(Ts 1)K1K2Gc2(s)s K1Gc1 (s)。K12求 Gc2(s)。e(s)RSK11 0sQK2Gc2(s)s(Ts 1)(s K1

26、)(Ts 1)s(Ts1) Q(Ts 1)K1K2GC2 (s)当r(t) 1(t)作用时,ess lim ss 0e(s)lim&0s 0 K1 QK2Gc2(s)明显地，取 Gc2(S)-可以到达目的。s29.复合控制系统结构图如下列图，图中心，T2均为大于零的常数。当输入r(t) V0t时，选择校正装置 GC(s)，使得系统无稳态误差。解 1系统误差传递函数E(s)R(s)K2 Gc(s)s(T2S 1) k?k2s(T1S 1)(T2S1)K2GJs)(T1S 1)s(T1S 1)(T2S 1) K1K2s(T1s 1)(T2s 1)3D(s) T1T2S2(T1 T2)ss

27、K1K2列劳斯表因K1、K2、T1、T2均大于零，所以只要T1 T2 TJ2K1K2即可满足稳定条件。2令essS叫 s e(s) R(S)limsV0 4京 1)(&0K2Gc(s)(T1S 1s 0s2s(T1s 1)(T2s 1) K1K23 sT1T212 s壬T2k1k1 sT|T 2T T 2K1K 20壬T20 sK1K2VoGc(s)k1k2可得 Gc(s) s K230.系统结构图如下列图。为确保系统稳定，如何取 K值?为使系统特征根全部位于 s平面s1的左侧,K应取何值?假设r(t) 2t 2时，要求系统稳态误差ess0.25 , K应取何值?G(s)s(s50K1

28、0)(s5)1D(s)s315s250sRouth :系统稳定范围:50K3 s2 ss1501550(15 K)1550KK 1550K152在D(s)中做平移变换：s s 1D(s) (s 1)315(s 1)2 50(s1)50KRouth :3 s2 s满足要求的范围是:12s223s(50K36)3由静态误差系数法当 r(t) 2t 22312312 50K50K361250K360.72时，令3126.2450360.72506.24综合考虑稳定性与稳态误差要求可得:0.251531.判断以下系统的能控性。1)Xi1 1X10uX21 0X21Xi010X110U12)X2001X

29、201 1231 U2X34X31解：11 11由于该系统控制矩阵b，系统矩阵A，所以01 0111 1Ab100 1从而系统的能控性矩阵为1 1UcbAb0 1显然有rankU Crank bAb 2 n满足能控性的充要条件，所以该系统能控。2由于该系统控制矩阵为1 0B0 11 1系统矩阵为010A001243那么有，010100 1AB001011 12431117010011 1a2b0011117243171 15从而系统的能控性矩阵为控制工程根底第二章参考答案第22 :页共28页UC B AB有满足能控性的充要条件，所以该系统能控。100111A2B0111171117115ran

30、kU C3n32.判断以下系统的能观测性。X111 xX210 X2 X1y1 1X2X1010x-iX2001x2X3243x3X1y1011,X2y2121X3，得系统的观测矩阵C1 1CA 1 12 11 0系统能观性矩阵为UoCA可知Cran kUO rank2 nCA满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。系统的观测矩阵C0 1 112 i ，系统矩阵A01 101 0244CA00 112 123124301 02448148CA200 12312 2 0243系统能观性矩阵为011121C244UOCA231CA28148220易知CrankUO rank CA 3 nCA2满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。33.试确定当p与q为何值时以下系统不能控，为何值时不能观测。X 112 x1pu x21