5-02 导数计算

1、函数的求导函数的求导一、函数四则运算的求导法则一、函数四则运算的求导法则二、反函数的导数二、反函数的导数三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题定理定理并且并且可导可导处也处也在点在点分母不为零分母不为零们的和、差、积、商们的和、差、积、商则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(,)(),(xxxvxuu xv xu xv xu xv xu x v xu x v xu xu x v xu x v xv xv xvx2(1) ( )( )( )( );(2) ( )( )( ) ( )( ) ( );( )( ) ( )( ) ( )(3

2、)( ( )0).( )( ) 一、函数四则运算的求导法则一、函数四则运算的求导法则推论推论; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf ; )()()()()()()()( )()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf例例1.ln2sin的导数的导数求求xxy 解解 sinsincossincossincoscoscossinsincosxxxxxxxxxxxx 2222222coslnsincoslnsinyxxxxxxxx 12221222例例2.tan的导数的导数求求xy 解解222222sin(sin ) c

3、ossin (cos )(tan )()coscoscossin1sec,coscosxxxxxxxxxxxxx 同理可得同理可得2(cot)csc,(sec )sectan ,(csc )csccot .xxxxxxxx 例例3).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设设解解00000,( )1,0,ln(1)ln(1)11( )limlimln(1),11(0)ln(10)0,(0)lim1,ln1(0)ln(10)(0)lim1,1,0(0)1,( ).1,01hhhhxfxxxhxhfxhhxxhxfhhfhxffxxx 当当时时当当时时当当时时注意注意: : 1.1. (

4、 )( )( )( );( )( )( )( )u xv xu x v xu xu xv xv x 2.分段函数分段函数求导时求导时, 分界点导数用左右导数求。分界点导数用左右导数求。二、反函数的导数二、反函数的导数定理定理.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且有且有内也可导内也可导在对应区间在对应区间那末它的反函数那末它的反函数且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.证证00,(0,),( )10,( ),0(0),( )011( )limlim( )1( ).( )xxxy

5、xIxxxxxIyf xyyf xxxyyxyyfxxxyyfxy 任任取取给给 以以增增量量由由的的单单调调性性可可知知于于是是有有连连续续又又知知即即例例4.arcsin的导数的导数求函数求函数xy 解解22222sin(,),2 2(sin )cos0,( 1,1)1111(arcsin ).(sin )cos1sin11,(arccos ).111(arctan ),(arccot).11yxxyIyyIxyyyxxxxxxx 在在内内单单调调、可可导导且且在在内内有有同同样样可可得得例例5.log的的导导数数求求函函数数xya 解解(,),()ln0,(0,)111(log).()l

6、nln1,(ln ).yyyyxayyxaIaaaIxaaaxaxx 在在内内单单调调、可可导导且且在在内内有有特特别别地地三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则定理定理).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其导数为且其导数为可导可导在点在点则复合函数则复合函数可导可导在点在点而而可导可导在点在点如果函数如果函数即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )证明证明000000000000000( )

7、,lim()()(lim0),limlim()() limlimlim()(,).)uuxxxxxyyf uufuuyfuuyuufuxyfuuuxxuufufuxxx 由由在在点点可可导导故故则则推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 例例.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 链式法则链式法则例例.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)

8、1(2092 xx例例.arcsin22222的导数的导数求函数求函数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a例例.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题xxxxxxxCtansec)(secsec)(tan

9、cos)(sin0)(2 1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常数是常数) )C 3

10、.复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或导数为导数为的的则复合函数则复合函数而而设设4. 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数。( )( )0,( )1,( )( )yxxyIyyf xIfxy如如果果函函数数在在区区间间 内内可可导导且且那那末末它它的的反反函函数数在在对对应应区区间间 内内也也可可导导 且且有有利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决。利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决。注意注意: :初等函数的导数仍为初等函数。初等函数的导数仍为初等函数。所以，求

11、一个可导函数的导（函）数非常简单。所以，求一个可导函数的导（函）数非常简单。但是已知一个可导函数的导函数的表但是已知一个可导函数的导函数的表达式，求出原来这个可导函数这个问达式，求出原来这个可导函数这个问题可就不简单喽！题可就不简单喽！derivative - antiderivative例例 522221arcsin?111arcsin11115151| | ，（- - ）= =- -xxxxxxxxxfxxxx例例222222222( )ln 1arctan,( )?( )(ln 1arctan)1(ln(1)1(arctan)21 (1)1 () arctan(arctan) 2 112

12、1 arctan2 11xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxf xexeefxfxexeeeeeeeeeeeeeeeeeee 2221 arctan11arctanxxxxxxxeeeeeee 例例注注意意对对数数求求导导法法的的使使用用2222ln(sin)ln(sin)22( )(sin ) ,(0, ),( )?( )(sin )( ),ln(sin )2lnln(sin )( )()2lnln(sin )2sln(sin )sin2(sin ) ln(sin )cotxxxxxxxxwxwwwxxwxf xxxxfxf xxxeef xewxxxxxfxewexxxco xexxxxxxxxxx 对对一一个个有有多多因因子子乘乘、除除，乘乘、开开方方数数，幂幂指指运运算算的的函函数数求求导导时时，可可以以使使用用对对数数法法降降低低运运算算的的级级别别。对对一一个个有有多多因因子子乘乘、除除，乘乘、开开方方数数，幂幂指指运运算算的的函函数数求求导导时时，可可以以使使用用对对数数