数值分析第4章答案

1、第四章数值积分与数值微分1确定以下求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：h(1) hf(x)dx AJ( h) A0f(0) A,f(h);2h 2hf(x)dx A1f( h) A0 f (0)A1f(h);1(3) 1 f(x)dx f( 1) 2f(xJ 3f(X2)/3;h 2 0 f(x)dx hf(0) f (h)/ 2 ah A1 h f (0) f (h);解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。h1假设 hf(x)dx

2、Aif( h) Aof(0) Af(h)令f(x)1，那么2h A! A0 A1令f(x) x，那么0 A/ Ah2令f (x) X ,那么2 3 2 2h h A 1 h A13从而解得Ao h故 h f (x)dx A1f ( h) A0f(0) AJ(h)成立。h3A1 h3hhf(x)dxh 425x dxhh5A1f ( h)A0f (0) A1 f(h) |h5故此时,hhf(x)dxAf h) A0f(0) Af(h)h故 hf(x)dx A1f ( h) A0f(0) Af(h)具有3次代数精度。2h2假设 2h f(x)dx A1f( h) Af(o)AJ(h)令f(x)1，

3、那么4h A1 Ao A令f(x) x，那么0 Aih Ah令 f (x) x2，那么h2A 1h2A从而解得A0 thAi8h2h2hf(x)dx2h x3dx2hA1f ( h) Aof(O) Af(h) 02h故 f(x)dx A1f ( h) A)f (0) A1f (h)成立。2h2h2hf("dx2h 464 5 x dx h2h5A1f ( h)故此时，16 5Af(0) A1f(h)h532h2hf(x)dx因此，Af h) Agf(0) Af(h)2h2hf(x)dxAf h) Agf(0) Af(h)具有3次代数精度。13假设1f(x)dx f( 1) 2f(&g

4、t;0 3f(x/3令f(x)1，那么i1 f(x)dx 2 f( 1) 2f(xi) 3f(X2)/3令f(x) x，那么01 2xi 3x2令 f (x) x2，那么2 1 2x2 3x；从而解得x 0.2899x1 0.6899或1x2 0.5266x2 0.1266令 f (x) x3，那么1 1 31 f (x)dx/3dx 0f( 1) 2f(xJ 3f(X2)/301故 1 f(x)dx f( 1) 2f(x1) 3f(x2)/3 不成立。因此，原求积公式具有 2次代数精度。h24假设 o f(x)dx hf (0) f (h)/ 2 ah2f (0) f (h)令f(x)1，那

5、么hf (x)dx h,h f (0) f (h)/ 2 ah2 f (0) f (h) h令f(x) x，那么h0 f(x)dxhxdx0!h22h f (0)f (h)/ 2ah2 f (0)f (h)!h22令 f (x)x2，那么h0 f(x)dx2dx0!h33h f (0) f (h)/ 2ah2 f (0)f (h)1h3 2ah2故有1h32ah231 . 3h2丄12令 f (x)x3，那么h0 f(x)dxh 3x3dx0hf(0)丄h441 2f(h)/ 2 -h2f (0)12f (h)1h421h441h44令 f (x)x4，那么h 415x dx h051 2h

6、f (0) f (h)/ 2 -h2f (0) 12h0 f(x)dxf (h)1h521h531h56故此时,h0 f(x)dx1 2hf(0) f(h)/2 11hf(0) f (h)，h12因此,0f(x)dx hf(0)f(h)/2 Hhf(0) f(h)具有3次代数精度。2分别用梯形公式和辛普森公式计算以下积分：10；xr、xdx,n 4;,n6；解:(1)n8,a0,b1,h18,f(x)x4 x2复化梯形公式为7f (xk)f(b)0.11140复化辛普森公式为S8 hf(a)6f(xk1)2f (Xk)f(b)0.11157n 10,a0,b1,h10,f(x)(1复化梯形公式

7、为T10 2f(a)f(Xk) f(b)1.39148复化辛普森公式为h9S06f(a)4k0f(xk 1)k 一2f(Xk)f(b)11.45471n 4,a 1,b 9,h2,f(x)复化梯形公式为h3t4 2f(a) 2k1f(xk) f(b)17.22774复化辛普森公式为S4 hf(a) 46f(xk1)2f(Xk)f(b)17.32222(4)n 6,a 0,b,f (x)4 sin236复化梯形公式为T6hf(a) 2f(xk) f(b) 1.035622k i复化辛普森公式为S66f(a) 46k 0f(xkl)252f(xj f (b) 1.03577k 13。直接验证柯特斯

8、教材公式 证明：柯特斯公式为2。4具有5交代数精度。f (x)dxb a苛7f(X0)32f(Xi) 12f(X2)32f(X3)7f(x4)令f(x)1，那么f (x)dxb a90b a907f(x°) 32f(xJ 12f(X2)32f()75)令f(x) x，那么f (x)dxdx(b2 a2)a 2b aEE 32f(X1) 12f(X2) 32f(X3)7f(X4)1 (b22(ba2)f (x)dxbx2dx (b3 a3)a3詈7f(X0)g)区)32心)7f(x4)1 (b3(b3a )f (x)dx3dx14 4秽a)詈7f(X0)32f(X1)12f(X2)32

9、f(X3)7f(x)扣4a4)bf(x)dxbx4dx 1(b5 a5)57 f(xo) 32f (xi) 12f(X2) 32f(xa) 7f(X4)- (b5 a5)905令 f (x) x5，那么f (x)dx5dxa和6b a1667 f(xo) 32f(xi) 12f(X2)32f(xa) 7f(S(b a )90令 f (x) x6，那么h0 f(x)dxJ"。)32f(x1) 12f(x2) g 7f(x4)因此，该柯特斯公式具有 5次代数精度。14。用辛普森公式求积分e xdx并估计误差。0解：辛普森公式为S 晋f(a) 4f(- b) f(b)2此时，a 0,b 1

10、, f (x) e ,从而有1 2 1S (1 4e 2 e )0.632336误差为R(f)b a180(专)4f(4)(1 1 0180 24 e0.00035,(0,1)5。推导以下三种矩形求积公式:f (x)dxf (x)dxf (x)dxf ( )2(b a) f (a) (b a);f ( )2(b a) f (b) -72(b a)2;(b a) f (ayb) f (b a)3;证明: I f(x)f(a) f ()(x a),(a,b)两边同时在a,b上积分,ba f (x)dx即(b a)f(a)b)a (x a)dxbf (x)dx a：f(x)(b a)f (a)f(b

11、) f (f (2)(b)(b a)i 2x),(a,b)两边同时在a,b上积分,bf (x)dx a即(b a) f (a)b)(b x)dx aba f(x)dx(b a)f(b)；f(x)a bf(=f!2a bf ()(x2)(ba)2f ( )/ (xa b 2_T),(a,b)两连边同时在a,b上积分，得bf (x)dx a(b a)f秽b)ba(xjdx2jdx2即bf(x)dxa(b aG)6。假设用复化梯形公式计算积分Jb24iIexdx，问区间0,1应人多少等分才能使截断误差不03a)；1 5超过-10 5 ?假设改用复化辛普森公式，要到达同样精度区间0,1应分多少等分?2

12、解：采用复化梯形公式时，余项为b a 2R1(f)h f ( ),(a,b)Rn(f)訓f()12121 5假设 Rn(f) 10 5，那么22 6 5h210 5e当对区间0,1进行等分时，212.85h 1n将区间213等分时可以满足误差要求因此，采用复化辛普森公式时，余项为(l)4f (),180 2尺(f)(a, b)又 I f(x)f (x)Rn(f)xe ,丄h4|f(4)( )|2880假设Rn(f)1 10 5，那么2h4144010 5当对区间0,1进行等分时1n 一h故有1n (耳40 105卩 3.71e因此，将区间8等分时可以满足误差要求。f (x)dx所得结果比准确值

13、大，并说7。如果f (X) 0 ,证明用梯形公式计算积分I明其几何意义。解：采用梯形公式计算积分时，余项为f ( )3Rt(b a)3,a,b12Rt0又；Rt 1 TI T即计算值比准确值大。其几何意义为，f (x) 0为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。&用龙贝格求积方法计算以下积分，使误差不超过10 5.2(2) ° xsin xdx ° x . 1 x2 dx.解:dx(1)IkT0(k)T1(k)T(k)T2T(k)T30123因此 I 0.7137272 I xsinxdx0kT0(k)T1(k)010 6110 710 21因此I 0(3)Io

14、9;x.1x2dxkTjk)T1(k)T2(k)T3(k)T4(k)T5(k)012345因此 I 10.20759229。用n 2,3的高斯-勒让德公式计算积分exs inxdx解：Iex sin xdx111x11,3,令 t x 2，贝y t 1,1用n2的高斯一勒让德公式计算积分I 0.5555556 f( 0.7745967) f (0.7745967)0.8888889 f (0)10.9484用n 3的高斯一勒让德公式计算积分I 0.3478548 f( 0.8611363) f (0.8611363)0.6521452 f( 0.3399810) f(0.3399810)10.

15、9501410地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是S a 冷(：)%n2 d ,这是a是椭圆的半径轴，c是地球中心与轨道中心椭圆中心的距离，记h为近地点距离,H为远地点距离，R=6371 km丨为地球半径，那么a (2R H h)/ 2,c (H h)/ 2.我国第一颗地球卫星近地点距离 h=439(km)，远地点距离 H=2384(km。试求卫星轨道的周 长。解：:R 6371,h439,H2384从而有。a (2R H h)/2 7782.5I 1.564646S 48708(km)即人造卫星轨道的周长为48708km11。证明等式nsin n试依据nsin( )(n 3,6,12

16、)的值，用外推算法求的近似值。n解假设 f (n)nsin ，n1315又 si nx x x x 1113!5!此函数的泰勒展式为f(n)n sinnn-£()3 +()5n3!n5!n3524III3!n5!nT(k)1 n当n3时，nsin 2.598076n当n6时，nsin 3n当n12时,n si n 3.105829n由外推法可得nT0(n)T1(n)T (n)1 2369故 3.1415812。用以下方法计算积分：?，并比拟结果。(1) 龙贝格方法；(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。 解3dyi(i)采用龙贝格方法可得kT(

17、k)T 0T(k)T(k)I2T(k)I 3T(k)I 401234故有 I 1.098613(2)采用咼斯公式时3dy此时 y 1,3,令x y乙那么x 1,1,dx,2f(x)利用三点咼斯公式，那么I 0.5555556 f( 0.7745967) f (0.7745967)0.8888889 f (0)1.098039利用五点高斯公式，那么I 0.2369239 f( 0.9061798) f (0.9061798)0.4786287 f ( 0.5384693) f (0.5384693)0.5688889 f (0)1.098609(3)采用复化两点高斯公式将区间1,3四等分，得x

18、5作变换y，那么41 1I1 1 dx,1x 51f(x) ,x 5I1 f ( 0.5773503)f (0.5773503)0.4054054x 7作变换y，那么41 1I2dx,21x 71f(x) ,x 7I2 f ( 0.5773503)f (0.5773503)0.2876712x 9作变换y _ _，那么41dx,1x 91f(x) ,x 9I3 f ( 0.5773503)f (0.5773503)0.2231405x 11作变换y，那么41 1I4dx,41x 111f(x),x 11I4 f ( 0.5773503)f (0.5773503)0.1823204因此，有I 1.0985381f(x)2在x 1.0,1.1，和1.2处的导数值，并估计误差(1 x)f (x)的值由下表给出:xF(x)解:f(x)1(1 x)2由带余项的三点求导公式可知f(X。)f (Xi)f(X2)h223愀)4術)g §f()f (Xo)f(X2)612hf (Xo) 4f(Xi) 3f(X2)又;f(x0) 0.2500,f (X1) 0.2268,f (x2) 0.2066,1f (Xo) 士 3f